4.3 等比数列 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

(2)设王先生每月还款为x元，则x+1.003x+1.0032x+…+1.003”x= 80000x1.03m,即x.1-1.031 间长度和为兮进行了第：次强作后，去裤区同长度和及一宁 1-1.003 =800000x1.00310,解得x=7943, 7943<700,故王先生该笔贷款能够获批 21 2 3 门-传-（后）品 压轴挑战 (1)解：当n2时，a。=(a,-a1)+(a1-an2）*…+(函-2)+(a2 2 a1)+a1=2n-1+2n-3+…+5+3+1=n2,又a1=1=12,因此an的通项公 式为a。=n2 5.68,又n∈N·,n的最小值为6.故选C （2)证期：由(0)知。，=，因此学-二因为8=分马号号 14 6.ABD解析：由S1=2S.+2得S1+2=2(S,+2),所以{S+2是以2 为公比的等比数列，首项为5，+2=3，故A正确：所以S,+2=3·21, 7 7110 ,S=g+了=g,所以当n=1,2,3时，8。<2因为当n≥4时， 即5n=3·2-1-2,当n≥2时，an=5。-5-1=3·2-1-2-(3· (1,n=1, 故B正确：对于C,当n 学（层广'侣”】 21-2)=322,所以4{322，n≥2，} 1时，5，=1,2a1-2=0,显然S1≠2a1-2,故C错误：对于D,取m,n, 2 1- p∈N”,且1<m<n<p,假设存在am,a,a,能构成等差数列，则2a.= an+0,则有2·3·22=3·2m-2+3·22,即2-1=2-2+22，所 0[-(）厂]09物a综上.8a 以2l-29=1因为2-2P=1,所以0m1与1<m6np子 p-m=0 4.3阶段综合 盾；假设存在1，aa,a,能构成等差数列，则2an=1+a。,即2· 题 阶段强化 321=3…22+1,则3(21-22)=1，即21-22=号，显然 1.C解析：因为a,}是等比数列，所以aay=a,a2a6=,又aa,= 当m,neN”时无解；所以{an中任意三项不能构成等差数列，故 D正确故选ABD. 8a4,所以a4=8,又a2,a6是方程x2-34x+m=0的两根，所以m= 42a6=a=64故选C. 7.2解析：设前3项的公差为d,后7项的公比为g>0,则g= 2.B解析：设等比数列{a。!的公比为9，由题意可得 ∫a+a4=a1+a1g3=8, =16，且p0,可得4=2，则=1+24：7即1+21=3，可得4=， 12 解得 所以a2=41+d=2.故答案为2 (a4ta,=a192ta19=1, 所以一号放选R 9=2 息云解折：看数列{仔一}为梦想数时.测女2>00c,宁 3.ACD解析：对于A,a2-1=2n-2,所以a21=2,故a2a1=4a2-1,又 .所以o为等比数列故A正确：对于B女-（合）门。 24(26=2即，且6 为等比数列，且公比为了 ,所以6，是以61=为首项，为公比的等比数列，则 首孩为1故{日} 子（仔广石故案为 是递减数列，故B错误；对于C,1oga。= 9.3600解析：因为每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数 log22-1=n-1,所以{1og2a.}为公差为1的等差数列，故C正确：对于 成等差数列，由1，a,4成等比数列，得a2=4,所以4=2或a=-2:由 D.S1o-Ss =0s+az+as+ag+an=gSs,Sis-S1o=an+an2+an+ans+ais= 4,d,20成等差数列，得到4=4+20 2 =12:由b,6,d成等比数列，得到 g(a6+a,+as+ag+ao）,又S3=31,所以S3,S0-S,S5-S1o成等比数 列，故D成立，故选ACD. 36=bd=12b,所以b=3,由1，b,c成等差数列，得到2b=c+1,解得c= 5:又由c,e,20成等比数列，得到e2-100,即e=10或e=-10:由a, 4.D解析：由题意，要使a1最小，则a1,a,a5都是负数，则a2和au选 6.e成等差数列知.ate=2×6=12,所以e=10.a=2,所以abede=2×3× 择1和4，设等比数列1a.}的公比为q(g<0),当2=4时，a4=1,所 5×12×10=3600,故答案为3600. 以2号所以g所以a名4-8当o=1时， a2 91 10.1024解折：因为数到1a为等比数列.4=16，公比g=子所以 2 11 4所4所以=-2.所以4宁宁 2综上，1 ,=16×（）,所以7，=a14··,先考虑6，=16× 的最小值为一8故选D 时，T,最大，即 (b1≤1 5.C解析：第一次操作去掉的区间长度为了：第二次操作去掉两个长 6x()广1， A-I 度为)的区间，长度和为号：第三次操作去掉四个长度为分的区 16x(）广s1. 解得4≤n≤5，所以当m=4或n=5时，T',最 间，长度和为分以此类推，第。次操作去掉2个长度为的区 neN', 参考答案黑白题15 大r4=16×(分)）=2×(）=2，当=16x 故从n=到n=+1,左边所要添加的项是】，1 2+12+2故选D. (号）广时，=7>0,7，=-0，所以元的最大值为 3.证明：当n=1时，左边=1，右边=12=1，等式成立：假设当n=k (keN)时，1+3+5+…+(2k-1)=2成立，那么当m=k+1时，1+3+ T4=20=1024,故答案为1024. 5+42k-1)+(2头+1)=2+2张+1=(k+1)2成立综上所述，1+3+5+…+ 11.(1)证明：由a,-3-2a ,两边取铜数，并整理得子，测 (2n-1)=n2对于任意neN”成立 a13a 之（）小因为号所以数列{是等比 4B解析：第一步，当a=2时，验证不等式为1宁号2放选B 数列， 5D解折：调为a小1子号分所以1宁… ②期：由a)得士-1（合1）小（兮）”=品，则 共2项则+1D=1+子++ 23+…+ 共 1,1 21项，所以f+1)比k)共增加了21-2=2（项），故选D. 1 () n+1- <10,显然{a+1}为 6日样折：当=1时左边行右边高分，了号不成 单调递增数列，则满足条件的最大整数：为99 立当2时边品右动品子号不成立当 12.(1)证明：01-3 0.3=.+4x3”-31 -0m+4×3-3×3n 4.-3 4n-3m 时，左边品号右边品子号成立，即左边大于 -a。+3" 。.-3-1,所以1a,-3”是以a-3=-1为首项，-1为公比的等 右边，不等式成立，则对任意n>(m,keN)的自然数都成立，则k的 最小值为2，故选B. 比数列，所以a,-3”=(-1),所以4。=3+(-1) 7,AD解析：若当n=4时命题成立，则当n=5时命题也成立，与题设 (2)解：因为6。=an-(-1)”=3”,所以nb,=n·3”,5n=1×3'+2× 矛盾，即当n=4时，命题不成立，A正确：若当n=1时命题成立，则当 32+3×33+4x3+…+n·3”,38n=1×32+2×33+3×3++(n-1)3”+ n=2时命题成立，继续推导可得当n=5时命题成立，与题设矛盾， nx31,作差可得-2S.=3+32+343++3-nX3m13x1-3） B不正确：当n=6时，该命题可能成立也可能不成立，若当n=6时命 1-3 题成立，则当n=7时命题也成立，继续推导可得对任意n≥6，命题都 g所以82g2 成立，C不正确，D正确放选AD. 压轴桃战 8.解：（由a1a,1-a,=0可知a11ta,当n=1时，代人a (1)证明：由a1=2a,-n+1,得aa+1-(n+1)=2(an-n),而a1=2,则 a1-1=1.又6。=a、-n,因此b+1=2b。,61=1,所以数列{b,1是以1为 1解得当=2时，代人号解得a,写当3时，代 首项，2为公比的等比数列 ②相：海=2，测会-六，令最别{六}的 人a,=了解得a=4 (2)猜想数列。.的通项公式为。，一片当a=1时，左边=a,-1,右 项人人宁子宫品六人宁宁… 12 边=1,0，=成立假设当a=keN~)时，a=成立，则当 品两式相减得宁人(：宁) 11 1.1 会2尝则4兴 42所以及=nM,=n+43 2- n=k1时，有a11+a1 ak1 11+k 1也成 即当n=k+1时，a,= k n+2 -(n+1)·21-n·2n (3)证明：由(2)知c.“an+·2a·2°：(a*1)·2n2 立综上，4=上对任何neN都成立 1111 1 (a*m2772x22x23网t…2a*1·2m 黑题 应用提优 之(a+1)2m,而a+):2m>0,所以T< 1 1 1 1.C解析：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a1_1- 1-g(a1, neN·),在验证n=1时，把n=1代入，左边=1+a+a2,故选C. 4.4”数学归纳法 2.D解析：由题意可知P()对n=3不成立（否则m=4也成立），同理 白题基础过关 可推得P(n)对n=2,n=1也不成立，故选D. 1.B解析：由题意八n)=1+2+3+…+(4n-1),(neN·),即从1起连 3D解析：由题意对于定义域内任意的k,若八)≥2成立，则f(k+ 续(4n-1)项正整数之和则f代1)为从1起连续3个正整数之和，故第 1)≥(k+1)2成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成 一步应证明(1)=1+2+3.故选B 立，反之不成立对于A,当k=1或2时，不一定有f八)≥2成立：对 11 于B,只能得出对于任意的k≥5，均有f()≥成立，不能得出对于 2D解析：当n=k时，等式的左边为12了}…-12邓，当 任意的k≤5，均有f)≥2成立：对于C,(7)<49成立不能推出任 111 1111 何结论；对于D,八4)=25≥16，对于任意的≥4，均有fk)≥ n=k41时，等式的左边为12+34+…2k-12张2k+12k+2 成立故选D, 选择性必修第二册·RJA黑白题164.3阶段综合 黑题 阶段强 限时：50min 1.(2024·陕西西安高二月考)已知{a,}是等比 区间段0，]，[子，1]分别均分为三段，并各 数列，aa5=8a4,且a2,a6是方程x2-34x+m=0 的两根，则m= 自去掉中间的区间段，记为第二次操作：如此 A.8 B.-8 这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的 C.64 D.-64 各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间 2.(2024·河南驻马店高二月考)在等比数列 的区间段操作过程不断地进行下去，以至无 {an}中，a1+a4=8,a4+a,=1,则a5=( 穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使 A司 去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作 C.1 D.4 的次数n的最小值为（参考数据：lg2= 3.(多选)(2024·四川成都高二月考)已知等比 0.3010,lg3=0.4771) ( 数列{an}满足a1=1,g=2,则 ( A.4 B.5 A.数列{a2-1}是等比数列 C.6 D.7 B.数列日}是递增数列 6.（多选)(2024·湖南永州一中高二月考)已知 首项为1的数列{an的前n项和为Sn, C.数列{log2a.}是等差数列 且S1=2S.+2,则下列结论正确的是（) D.数列{an}中，S,S。-S,S5-So仍成等比 A.数列{S,+2为等比数列 数列 B.数列{an不是等比数列 4.(2024·陕西渭南高二期中)已知实数a1,a2, C.Sn=2a.-2 a3,a4,a5成等比数列，集合A={a1,a2,a3,a4, D.{an}中任意三项不能构成等差数列 a5},且{1,4{a1,a2,a3,a4,a5},则a1的最 7.(2024·陕西咸阳高二月考)我国度量衡的发 小值为 展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于 B、I 64 砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚 环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 c D.-8 的数列{a},该数列的前3项成等差数列，后 5.(2024·山东日照高二月考)十九世纪下半叶 7项成等比数列，且a1=1,a5=12,a,=192,则 集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名 a2= 的“康托三分集”是数学理性思维的构造产 8.(2024·安徽淮北高二月考)若正项数列{an} 物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将 满足a+1=4a,+6,则称{a.}为“梦想数列”，已 闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段 (兮，号)，记为第一次操作；再将剩下的两个 知数列公2为“梦想数列，且6=}则 第四章黑白题25 9.(2024·陕西渭南高二期中)在如图所示的表12.(2024·山西吕梁高二期末)已知数列{an 格中，每个空格中填入一个数字，使每一行方 的首项a1=2,且满足an+1+an=4×3”. 格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等 (1)求证：{a.-3是等比数列，并求出{a.} 差数列，则所填数字之积abede的 的通项公式； 值为 (2)设b,=a。-(-1)”,求数列{nbn}的前n项 和Sn 20 10.已知数列{an}为等比数列，a1=16,公比q= 宁若元是数列。的前n项积则工的 最大值为 11.(2024·安徽阜阳高二期末)已知数列{a.} 的首项a-号且a322 an+1 (1)证明：数列{-1是等比数列 压轴挑战 a. (2)求满足+1+++<100的最大整 (2024·江西南昌高二期末)已知数列{a,}满 a az as a 足a1=2,an1=2an-n+1.记bn=an-n. 数n. (1)证明：数列{bn}为等比数列： (2)求数列爱}的前a项和sS: (3)若c. n+2 n(n+1)b.+2 数列{c.|的前n项和为 T,求证T<2 选择性必修第二册·RUA黑白题26