4.2.2 等差数列的前n项和公式-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

a2=(A-3)a1+2=2A-4. 四方法总结 03=(A-3)2+4=2A2-10A+16, 等差数列前n项和的面数性质： 若数列a.为等差数列，则a1+3=2n2, 等老数列的前n项和公式为S.=,”》,将它可成关于m的 即A2-7A+13=0. 2 4=49-4×13<0.方程无实数解. d .不存在A的值.使数列|a|为等差数列 压轴挑战 写成S.=An2+Bn的形式. 当A=0,B=0(即d=0,41=0)时，S。=0是关于程的常数函数： 解：(1)：P,(a1,b,)是直线1：y=3x+1与y轴的交点(0，I), .a1=0,b1=1. 当A=0,B≠0（即d=0,1≠0）时，S。=Bm是关于n的正比例函数 数列1a。是公差为1的等差数列，.a.=n-1 (常数项为0的一次函数)： ,点P(a。,6n)在直线1：y=3x+1上. 当A≠0，B≠0（即d≠0）时，S。=An2+Bm是关于#的二次面数（常 ∴.b.=30.+1=3n-2 数项为0) 六数列a.|,b.|的通项公式分别为a,=n-1(m∈N·),b。=3n-27.B解析：①因为数列a是等差数列，所以a,=m1+(n-1)d=d·n+ (neN”): (,-),因此可以把a。看成关于n的一次函数，又>0，所以数列 (n-1,n为奇数。 a。|是递增数列，因此本命题是真命题：②因为数列1。！是等差数 (2)存在m)=3n-2,n为偶数。 假设存在k∈N”,使爪k+3)=4)成立 列，所以5=m+d,2。 2一，因此可以把s。看成 ①当k为奇数时.k+3为偶数.则3(k+3)-2=4(k-1) 关于和的二次函数.而二次函数的单嗣性与开口方向和对称轴有关. 解得k=11,符合题意， 虽然>0能确定开口方向.但是不能确定对称轴的位置，故不能判断 ②当k为偶数时，k+3为奇数，则(k+3)-1=4(3认-2) 数列S,的单调性，放本命题是假命题：③设=b,因为数列a, 解得=10 ,不符合题意 是等差数列，所以an=a1+(n-1)d=d·n+(a1-d),因此数列 综上可知，存在=11符合条件 {巴}的通项公式为6，=”. +d,显然当a,=d时，数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和及其性质 (巴}是常数列，故本命题是假命题：④设三=6，因为数列1a,是 n 白题 基此过关 7(a1a.7x2a=7a,=70,所以4=10，所以 等指数列所以S+宁(a-1)d=号，2 2n,因此数列 1.D解析：因为S,= 2 2 d=a4-a1=10-7=3.故选D (5}的通项公式为c,= 5.d 2a-d =2+2 所以可以把。看成关于 2.C解析：设等差数列1a,1的公差为d,由a1+04=0,得2a,+3d=0. ”的-次函数，而0，所以数列合} 是递增数列，因此本命题是 由25，+05+1=0，得2× 3×(a1+a3） 2 +85+1=0,即3×(a1+0)+a5+1= 真命题故选B 0,则7a,+10+1=0,解得d=2.故选C 8.-4解析：设等差数列1a的首项为a1,公差为d,所以S。=m,+ 3.AC解析：设等差数列18nI的公差为d,由S,=0,5=5,得 4a1+6d=0 解得/03 a号)又8(a*2户A+4A.所u 所以a。=2n-5,S。=n2-4n,放选AC la,+4d=5. d=2. 4+入=0，解得A=-4.做答案为-4 10×9 10n1+ d=10. 4.ABD解析：设数列a1的公差为d,由题意可得 2 9.7解桥：等差数列a,的前项和5=子（号）可看 a1+9d=10. 解得/，-8 成关于n的二次函数且s=S0对称轴为直线m=310:65 2 所以4，=0+4d=-8+42=0,S=5如，+3议4=5× （d=2, 又=56-65=7 (-8)+10x2=-20.故选项ABD正确. 5.15解析：因为a1+=6-2n6,又a,+=2a5,所以5+6=3，所 10.C解析：由等差数列{a.的前n项和的性质可得：So,S。 以S=10(a1,0m=5a,as)=5x3=15枚答案为15 50,50-5m也成等差数列，2(S-S1a）=50+(50-5m),2× (10-20)=20+5n-10,解得Sn=-30.故选C 6.ABD解析：在等差数列a1中，a1>0,公差d<0,S。为其前n项 11.C解析：设该等差数列中有2n+1(n≥1，neN·)项.其中饵数项有 2 n项，奇数项有(+1)项，设等差数列a,的前n项和为8，则。 y= x上.d<0,二次函数的图象开口向下，故A. a1+1x(n+ 一，，1a1为等差数列，∴.01+ d a2 tasta。+*+g 12 2 B不可能，对称轴为直线x=- d >0,∴.对称轴在y轴的右侧，故 54.n+126 C可能.D不可能.故选ABD, 0a心S2解得n=23.2a+1=7小此数列 参考答案黑白题05 的项数是47.故选C 3a-=3数列{告}是以3为公差的等差数列… 5:4 126解析：因为1a,是等差数列，所以31=-×(2m-1) 2 (2m-1)a=10(2m-1)=110,解得m=6. S-2x3=6故谚B 2022 7.CD解析：a是等差数列，设S,=Am2+Bm, 03.10解析：由题知14，为等差数列，记数列6头，所以6 S.=An*+Bn=- m ((An+B)m=I 4=2.由义=1，可知61b=1,所以14，是以2为首项， 则 两式相减得B(m-n)=0,故 n+1 n S。=m2+Bm=, (Am+B)n=1. 为公差的等差数到，所以6，=之=2+(a-1)=n+1,所以5.=+n n·令=A(m+n)2=(m+n）二=m+n+2m B=0.A= 所以S。=110.故答案为110. neN,mn5m2+n2>2m,则Sn=m+n42m,-4放 14.三解析一数列1a,,6,均为等差数列，且其前n项和分别 mn 4 选CD. 7(s1+ 44 2 QD解折：因为a16,为等差数列，产：0所以可设S ”_2x17+1:3故答案为 为5.77b,+b73x7-4 kn(2n+3).T =kn(n+1)s=Ss-S=65k-44k=2k,bo=Tio- 2 5从做选D 四方法总结 不，=10k×11-9k×10=20.5201 9.2513100解析：设所求等差数列为a,,由题意可知数列a。1的 等差数列前n项和中常见的两个此例关系： 首项为110，公差为116-110=6，则“n=110+6(m-1)=6m+104,由 在等差数列1a,中，，=。@9。（2n-1)· 450≤6m+104≤600，得58≤n≤82，nN°，所以该数列在[450,600] 2 2 1Sm- 上有25项，其和5=2(0g+0)×25=13100 2n-12n-1 10,135解析：设等差数列1a。1的公差为d,首项为a1,由题意知数 若引a,{,b.|为等差数列，A。为数列|an的前n项和，B。为数列 列S,S6-S3,S-86,成等差数列.且公差d”=S6-S3-S3=a4+a5+ 6.}的前n项和，则二=小 a6-a-a-=9,记数列S,.S。-5,S,-56,…为cn,其前n项和 6。B- 为元则五=购r:受…(-号)又因为数列 2 黑题 应用提优 d 1.B解析：因为a.}是等差数列，故m,+a4=5+ao=9,于是S4= 2 =6 S3.S6-S3,S,-56,…的前n项和为6m2+3n,所以 解得 14(a1*a）=63.故选B. 2 2=3 2D解析：设公差为山，依题意得7，解和0-5所 d=2所以d= 4 （a1+9d=22. 八d=3, (c1=9, :子5=，+3=9.解得a=号所以 5.400405 以S0=10x(-5)+10x9×3=85.故选D. ao=a1+100l= =135.故答案为135 333 2 3.AD解析：a1二an+3,1-a,=3,数列a,是首项为-10， 四重难点拨 公差为3的等差数列，则a。=-10+(n-1)×3=3m-130-1-4。=3> 等差数列的性： (1)项的性质：在等差数列a。中， 0口，为递增数列，4正确：令10=3加-13，得n=3,不满足题意， 放B错误8，=3m-13-10)·432-23m Da,=a+(n-m)d(m.nEN)d n-m 2 2,S=3×5一23×5=20 2 2若mt#=ptg(m,p,geN).则anta,=a,tay 故C错误S=3n-13-10)·n_3n2-23n.S3n23 (2)和的性质：在等差数列引a}中，S.为其前m项和，则 2 2心22则数列 ①S2n=n(a1+en)=…=n(a.+a1): {会}是等差数列，故D正确故选 ②依次4项和成等差数列.即5，S以-，5454，…成等差数列， 4.A解析：由S1= 11(1tn） 11.解：若存在k,使得8-1>5且S<5+4,则<0，at>0.设等差数列 2 =1106,S11-S3=46+…+a1= an的首项为a1,公差为d 6(as+au 2 =3(doran).有3a+n) 3学子放香人 若选择条件①： 3 得+63解得-9 所以a。=-9+2(n 5.C解析：在等差数列1a,中，S=1,5=4.所以54=1.S%5,=3. (a4+as=-4,(2a1+7d=-4.ld=2. 放S,S-S4,S-S,S6-S:,Sm-S6构成公差为2的等差数列，所 )=2-11(neN).令，<0，得n<)所以当k=5时，满足a<0 以Sm-S16=1+(5-1)×2=9,即a,+es+aw+an=9故选C 6,B解析：41=a.+6.数列“。是以6为公差的等差数列。 a6>0,所以=5满足题意 若选择条件②： 8《n+1)m1+2×6,+"×6 2 2 -=a1+3n-a1- 3.得{+6=3. 解得=-9 所以4。=-9+2(n- n+1 n +1 (a1+a6=-6,(21+6d=-6. d=2. 选择性必修第二册，RUA黑白题06 )=2-1(neN)由，<0，得a<号所以当k=5时，满足e0, :8.C解析：由数列a。{的前n项和S。=n2+2,可得a2=S2-S:= 122+2×12-(112+2×11)=25.故选C a6>0,所以=5满足题意. 9.D解析：当#=1时，a1=S=2-3=-1,当n≥2时，a。=S。- 若选择条件③： 5-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(m-1)=4n-5,当n=1时，上式也适合. 由/=3 得/a1+6t=3. a=1, 1所以a,=+3（a-= 数列1a。的通项公式为an=4n-5..a,+a,=4p-5+4g-5=4(p+ 解得 5,=14.(7a,+21d▣14. d= 3 9）-10=10.故选D. 10.a,=2n解析：当n=1时，+2a1=4S1=4n1,因为a,>0,所以 1.2 3n+(neN”）,易知a,>0恒成立，所以不存在满足条件的k a1=2:当n≥2时.a2+2a.-a21-2an-1=48.-4sn-1=4nn,即(a,+ 第2课时等差数列的前n项和的综合应用 0-1)(a.a-1)=2(0.+。-1).因为a>0,所以a。-1=2.所以数 列1a。是首项为2，公差为2的等差数列.所以4。=2n.故答案为 白题 哥础过关 n.=2n. 1.A解析：L 11期11++L=1 a。n(n+1)An+1a1a: 22 11.D解析：设该塔共有(m+4)层.则5a+ax2=108-（1+3+3+ 1 3 .11 1.0故选N 2 +1001011010 5).即(m+12)·(n-8)=0,解得n=8或n=-12(会》，即该塔共有 2D解析：依题意，a,n+√ n+4=8+4=12(层).故选D. =n+1-m,所以S。=V2-1+√3 12.70解析：设每个月的收入为等差数列{，，公差为d,则1= √2++√m+I-m=√n+1-1,由S。=√n+1-1=8.解得n=80.故 25.sa5101+21=25.12m+12"=510解得4=l15.d 选D. (a,+d=1, 5,.a2=a1+11d=15+11×5=70.故答茶为70 3.2n*1 解析：由已知得 黑题应用提优 高（品）x[）(传 1c解折：因为2-=2(-）广-架即二次两数 4- )…(品)川小() 又=21的对称轴为直线和？.且开日向上.而N”,于是当 n三4时，S.取得最小值，所以当S,取最小值时，n的值为4故选C 4.C解析：由题意，等差数列1a,1的通项公式为a,=9-2n,则a1= 方法总结 9-2=7,故5.n(79-2n。-（m-42+16,即当n=4时.5，取得最 2 大值.即S。取得最大值时，n的值是4.故选C 由于等至列的首项8兮：宁一（号 5.D解析：因为1a。I是等差数列.且S>0,S24<0.所以 是关于n的二次函数，当，与异号时，S,在对称轴或离对称轴最 23(a1+0s） 近的正整数时取最值：当a1与d同号时，S,在n=1时取最值， 2 =23ae>0 24(a1+a4】 2 =12(a2+3)<0,即az*s<0, 2.A解析：因为anta2=2at,则数列a.为等差数列，设等差数列 所以a:>0,a<0,因为d=a,-02<0,所以等差数列1a,是递或数 {an的公差为d,则d=a-a,=-2,所以数列a。}的通项公式为an= 列，所以当n=12时.S。取得最大值故选D. 6.BCD.解析：由题意am=S0-S>0.an=Su-S1o=0.a12=S-S1<0. 13+(-1)x-2)=15-2a,令0=15-2a≥0解得n≤艺.所以当 又{a.是公差为d的等差数列，所以d<0,故A错B对：从面a1>m> >o>au=0>a2>…,所以Sn,S,均为5。的最大值，D对：而 1≤≤7，n∈N时，0，>0，当n≥8，n∈N时，4，<0，所以数列引an中 前7项的和S,最大故选A S4-S,=aotd1+az+an*a4=5au+5d=5d<0,所以S4<S,C对.故 选BCD. 3.B解析：由已知得a1=S1-S=2S15。,第2个等号两边同时除 7.15解析：由题意知a1>0,S=Sz,设等差数列a,的公差为d,则 8a1+28d=22a1+231d,即203d=-14u1,因为a1>0.故d<0,即等差数 以5得=2.即之-2.放数列}是以1为 列{an}为首项为正的递减数列，又山S,=S2,可得+an++aa= 首项，-2为公差的等差数列，则」=1-2(n-1)=3-2n,所以 0,即7(a5+16)=0,故a15>0,416<0,即等差数列1a,前15项为正， 从第16项开始为负，故S,取最大值时，n=15.故答案为15. 四方法总结 5,32m 在等差数列1，中，有类S。的最值问题： 4.D解析：设a,表示给第n个人的钱，由题可知，数列1a。}是首项为 ①当a>0,dk0时，游足0.≥0. 的m使得S。取得最大值S。(当 3,公差为1的等差数列：又a,+nta+…+a,=100a,故3n+”x 2 (an≤0 a1=0时，Sm=S1,S,S1均为5，的最大值)： 1=100n.即3+- =100,解得n=195.故选D. ②当a1<0,>0时，满足{.≤0， 的m使得S。取得最小值S.(当 四方法总结 (a1≥ 等差数列求和的实际应用的解题步豫： 41=0时，Sn=S1,Se,S1均为S的最小值)： ①判断阿题中涉及的数列是不是等差数列： ③利用等差数列与话数的关系来解决，等差数列的前n项和5。= ②若是等差数列，挽出首项，公差、项数： ⑤③确认问题是求a.还是S。: m”+(号）小可有浅关于n的三次商数，且 2 ④选择拾当的公式计算，并转化为实际问题的解 常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问愿， 5.C 解析：设公差为山，若d=0,则1十1++上=8，不满足题 参考答案黑白题07 意，所以d≠0，则a,=a4+(n-1)d=1+(n-1)d,则，1= :12.解：(1)设数列a。的公差为d,则an=1+(n-1)d=dn+a1-d因为 an0。l S。+21是等差数列，所以S1+(n+1)2-S。-n2为常数，S1+ [1+(a-)d(1+m)d【+n-)a1+n所以。 1+1 (n+1)2-5-n2=a1+2n+1=nd+a1+2n+1=(d+2)n+a1+1,所以 d+2=0,解得d=-2,即公差为-2 (2)因为a=-1,所以，=-2n+1.可得4 4n2 .a-1(-2n+1)(-2n-1) ）放(）答解得4=3.故m=1+9x3=28故 1 选C 6.A解折：设此数列为an,则1=3,4241=1,4-=2，…，a, aa-1兰m-1(n≥2)，听以a=(a.-a-1）+(a-4-an-2)+…+(m2-1)+ 压轴挑战 4,=(a-)+(a-2++1+3=a=1+)a-)+3=a（”》+3.所以 2 解：(1)5m=(a,+a2)+(+)+(a5ta6)+…+(a+m)=1+5+9++ 19×1 37=1+37)x10.190 a1e=- +3=174.故选A. 2 2 (2)a1=-2,a1+2=1a2=3,4+ae1=21-1①，a+2ta+1=2n+1②， 7.A解桥：设等差数列a的公差为山，由S=m,+a1》= 2 ②-①，得a2-a。=2,b1-bn=2*2-a=2b,=m=3,数列 b。|是以3为首项，公差为2的等差数列，∴.6n=2n+1, -2)n,又对任意neN均有5≤S成立.所以 （3)T.=3+2+1加=m2+2m.A+2m+32.+1)2+31.n+1+3 2 n+1 n+1 +1 d 0. 1d>0. +8 31 31 a+8d d n+1+ 由 ≥2，当组仅当a+1=补即aV-1时取等号 9 11 -5≤ ≤-4， 01+6 2 2 N当n=4时，站当=5附以67 +16a+ +6≤2.则e[2.31.故选A 31 67 67 1 d d+6 m+1 6A<6 8.ABD解析：由S4>Sg,得S。-S,=a5+a。+1+ag=2(a6+a,)<0,所以 4.2阶段综合 12(a1+a12） a6t,<0,则S2= =6(6+01)<0,A正确：因为S=S,所 2 黑题 阶段强化 以3-5，=a5ta6t,tag=2(a6+a,)=0,即a6ta,=0.因为a1>0,d≠ 1.C 解析：设等差数列4n的公差为d,因为a+6=16,且a3=4, 0,所以6>0，，<0，则d<0,等差数列1a,为递减数列.则S6是S。中 (a3+a6=2a1+7d=16 所以 所以/，=1， 故选C 最大的项，B正确：若S,>S。,则56-5，<0，即6<0.因为a1>0,d≠0， a5-n3=2d=4. (d=2. 则d<0,故as=a%-d,无法判断5的正负，故S=S+as,不能判 2.BD解析：设等差数列1a.I的公差为d 新S4>S,C错误：因为S>S,所以S。-S,=a4<0,因为a1>0,d≠0，所 对于A,a1a2=(a+1-a,)(ata)=(an+a1)≠常数a2 以d<0,则a=a4+d<0,则S=S+a5<S4D正确，故选ABD. 不是等差数列： 9.4045解析：设等差数列1"，的公差为d,由S,=4S2得41+6= 对于Ba1-a。=d,.a1-.为常数列，a1-a。为等差 4(2a1+d),整理得2a,-d=0①.由a2m=2a。+1得a1+(2n-1)d= 数列： 2[a1+(n-1)d]+1,整理得a1-d=-1②，由①2得a,=1,d=2.所以 对于C,[201+(n+1)2]-(2a,+n2)=2d+2n+1,12a。+m2不是等 a:=a1+2022d=1+2×2022=4045.故答案为4045. 差数列： 10.6或712解析：因为1a51=1,1,d<0,所以a3>0>4g,所以a,= 对于D,2a1-2an=2d2a.为等差数列.故选BD. -g,所以+=0，所以a=0,所以当1≤n≤7时，n≥0：当n≥8 3.C解析：设等差数列1a的公差为d,由a是递增数列，则d>0, 时，<0，所以能够使前n项和S,取得最大值的正整数n的值是6 义a16=2a3,即a3+3d=2a3,即3=3d,即a0+3d=3l,得a1o=0, 或7.又5= 3(a0=13,=0,且5s=Sptap=0,所以Sa= 则Sg= 19x(a,+a19） 2 2 =19aw=0,5n=Sw+an=a0=am+10d=10d> -a:>0,所以使前n项和S,>0的正整数n的最大值是12 0,所以当S,>0时.k的最小值为20.故选C 1解：设（}的公为 7==-7,3=-7+2M,又+ 4.B解析：因为a+6=4,a5+bg=8,所以a+b5+a5+b,=12,即3+ a5+b,+bg=12,根据等差数列的性质可知a:+a5+b+g=2a1+2 4=-8,故78-7+2d,解得=1，所以 =-7+6d=-1,故 12,所以04+b,=6.故选B 3 5.A解析：由题意可得a,1-a=2,则数列1a21是以为首项，2为 S2=-7. 公差的等差数列，则a2=m+2(n-1),由3=5，故品=+2(13 (2)由题意得=-7+(n-1)=n-8,故53=m2-8m,所以5，-n=n2- 1)=25.即41=1（负值含去）.故a2=1+2(n-1)=2n-1,故a,= n9广81因为后N°，所以当n=4或5时，S,-n取得最 √2n-1,则 9n=24 1 √/2m+I-√2n-I 小值，最小值为-20. a.+a1√2n-1+√2m+T(2n-1+√2m+I)(2n+1-√2n-1) 选择性必修第二册，RJA黑白题O84.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时 等差数列的前n项和及其性质 白题 基础过 很时：30min 题组1等差数列的前n项和公式 7.已知等差数列{an的公差d>0,则下列四个命 1.(2024·江西九江高二月考)已知S。为等差数 题：①数列{an{是递增数列；②数列{Sn是递 列{an}的前n项和，若a3=7,S,=70,则公差 增数列：③数列片}是递增数列：④数列 d= ( A.-1 B.1 C.2 D.3 是递增数列.其中真命题的个数为( 2.(2024·四川广元高二期中)已知等差数列 A.1 B.2 C.3 D.4 {an}的前n项和为Sn,a1+a4=0,2S3+a5+1= 8.(2024·江西南昌高二月考)数列{a,}为等差 0,则公差d= ( 数列，它的前n项和为S。,若Sn=(n+2)2+入， A.-2 B.1 C.2 D.4 则入的值是 3.（多选)(2024·陕西渭南高二期中)记S。为 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 等差数列{an}的前n项和，已知S4=0,a5= S3=S1o,S6=S4,则k的值是 5,则 ( 题组3等差数列前项和的性质 A.a=2n-5 B.a。=3n-10 10.(2024·广东深圳高二期未)设等差数列 C.S=n2-4n D.S-202-2n {an}的前n项和为Sn,若S1。=20,So=10, 则So= () 4.(多选)已知等差数列{an},Sn是其前n项和 A.0 B.-10 C.-30 D.-40 若S1o=a1o=10,则 ( 11,(2024·广东茂名高二期末)已知一个等差 A.a1=-8 B.a5=0 数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和 C.S=18 D.S=-20 为264，所有偶数项的和为253，则此数列 5.(2024·河南焦作高二期末)记等差数列{an} 的项数是 ( ) 的前n项和为Sn,若a1+a,=6-2a6,则 A.43 B.45 C.47 D.49 S1o= 12.设等差数列{an}的前n项和为S.若am= 题组2等差数列前项和公式的函数特征 10,S2m1=110,则正整数m= 6.（多选)(2024·福建宁德高二月考)在等差数 13.(2024·江苏常州高二月考)在等差数列 列{an}中，a,>0,公差d<0,S。为其前n项和， Sm S.=1, {a,中，a=2,其前n项和为Sn+1n 对任意正整数n,若点(n,S,)在以下4条曲线 则S1o= 中的某一条上，则这条曲线不可能是( 14.(2024·安徽马鞍山高二月考)已知S。,T.分 小A 别是等差数列a,6,的前n项和，且≥ 。 3n1,那么 2n+1 第四章黑白题09 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2024·山西太原高二月考)记等差数列{a,} (m,neN,m≠n),则下列各值中可以为S.n 的前n项和为Sn.若a=7,a1o=2,则S4= 的是 ( ( B.3.5 C.4.5 D. A.49 B.63 C.70 D.126 2.(2024·湖北襄阳高二月考)已知等差数列 8.(2024·湖北武汉高二月考)已知等差数列 {a.}的前n项和为S.,a=7,ao=22,则So= {a,}与b,的前n项和分别为S,T.,且7 ( A.65 B.75 C.80 D.85 ,则2的值为 2n+3 ( 3.(多选)(2024·四川成都高二月考)已知数列 13 {an}的前n项和为S.,若a,=-10,a1=an+ B.21 10 C D别 3,则下列说法正确的是 ( ) 9.已知等差数列110,116,122，…，在区间[450， A.{an}是递增数列 600]上，该数列有 项，它们的 B.10是数列{an}中的项 和为 C.S3=20 10.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若数 D.数列倍}是等差数列 列S3,S。-S,S,-S6,…的前n项和为6n2+3n, 则a101= 4.已知等差数列{a,}的前n项和为S.,若 11.在以下这三个条件：①a.+a5=-4;②a2+a6= Su Su-S =3,则6= -6;③S,=14中任选一个，补充在下面的问 ( 题中，若问题中的k存在，求出k的值：若k 5 不存在，请说明理由。 0. 问题：等差数列{an}的前n项和为S。,a,=3, 5.(2024·广东深圳高二期末)已知等差数列 若 ,是否存在k,使得S1>S {an}的前n项和为Sn,S4=1,Sg=4,则a12+ 且S4<S+1? a18+a19+a20= ( A.7 B.8 C.9 D.10 6.(2024·河北保定高二期末)已知数列{a.满 足a1=an+6,{an}的前n项和为S。,则 S2.04 S2022 20242022 ( A.12 B.6 C.3 D.2 7.(多选)(2024·广东广州高二月考)已知等差 数列a,的前n项和为S,且8=品8=丹 m n 选择性必修第二册·RUA黑白题10 第2课时等差数列的前n项和的综合应用 白题 基础过关 限时：30min 题组1裂项相消法求和 7.(2024·天津东丽区高二月考)已知等差数列 1.(2024·浙江杭州高二期末)若数列{a.}的 {an}的前n项和为Sn,且a1>0,Sg=S2,则Sn 通项公式为a,=n2+n,则上+1++1 1 取最大值时，n= a az a100 题组3等差数列中a,与S,关系的应用 ( 8.（2024·江苏盐城高二期中)如果数列{a.}的 A.00 C.101 D.99 前n项和Sn=n2+2n,那么a2的值为() 101 B. 101 100 100 A.23 B.24 2.(2024·江苏苏州高二期中)在数列{an}中， C.25 D.26 a,= ,若Sn=8,则n= ( 9.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N), n+n+1 A.77 B.78 C.79 D.80 若ptg=5(p,9eN),则a,+a,= () 3.已知等差数列{an}的前n项和为S。,且a2= A.6 B.8 C.9 D.10 11,S4=60,则数列 的前n项和 S.+n-1 10.已知S。为数列{an}的前n项和，an>0, T.为 a+2an=4S。,则数列{a.}的通项公 题组2等差数列前项和的最值问题 式为 4.(2024·安微合肥高二期末)已知等差数列 题组4等差数列前项和的实际应用 an}的通项公式为an=9-2n,则其前n项 11.(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)一百零八 和S,取得最大值时，n的值为 ( 塔是始建于西夏时期的实心塔群，塔的排列 A.6 B.5 C.4 D.3 顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第 5.(2024·山东泰安高二月考)已知等差数列 三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五 {an}的前n项和为S。,若S2a>0,S4<0,则S。 层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5， 取得最大值时，n的值是 ( 公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该 A.23 B.13 .14 D.12 塔共有 ( 6.(多选)(2024·湖北荆州高二月考)设{a.}是 A.八层 B.十层 公差为d的等差数列，S。为其前n项的和， C.十一层 D.十二层 且S,<So,So=S1>S2,则下列说法正确的是 12.(2024·天津河西区高二月考)中国古代数 学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某 A.d>0 贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始， B.a11=0 每月比前一月多入相同量的铜钱)，第3月人 C.S<S 25贯，全年（按12个月计）共入510贯.”则 D.So,S1,均为S,的最大值 该人第12月营收贯数为 第四章黑白题11 黑题 应用提优 限时：40min 1.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2-17n, 6.(2024·湖南长沙高二期末)南宋数学家杨辉 则当S取最小值时，n的值为 在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提 A.4或5 B.5或6 出了高阶等差数列的概念.如数列1,3,6,10， C.4 D.5 后、前两项之差得到新数列2,3,4，新数列2， 2.(2024·天津河西区高二月考)已知数列{am 3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数 的前n项和为S,a,+a2=2a+1,且a1=13, 列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后 a2=11,则当S.取得最大值时，n= 一般称为“垛积术”现有二阶等差数列，其前 ( 7项分别为3,4,6,9,13,18,24，则该数列的第 A.7 B.8 C.9 D.10 19项为 3.设S。是数列{an的前n项和，且a1=1, A.174 B.184 aa1=2SSn1,则Sn= ( C.188 D.190 A.3-2n 1 B.3-2n 7.(2024·河北唐山高二月考)已知等差数列 {an}的前n项和为Sn,对任意neN',均 1 C.2n-1 D.2n1 有S,≤S成立，则2的取值范围是() 4.(2024·河南驻马店高二期中)我国古代数学 A.[2,3] 名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人 B.[3,+o) 钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五 C.(-∞，-3)U[3,+)】 钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分 D.(-0,-3]U[3,+∞) 之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给 8.(多选)(2024·江苏苏州高二月考)等差数列 若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人 {an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0，则 给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分 () 完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分 A.若S>5,则S12<0 得100钱，问有多少人？则题中的人数是 B.若S=Sg,则S6是Sn中最大的项 C.若S>S6,则S4>S A.145 B.165 D.若S>S4,则S4>S C.185 D.195 9.(2024·浙江湖州高二期末)已知S。为等差数 5.(2024·四川成都高二月考)已知{an是等差 列{an}的前n项和，若S4=4S2,a2n=2an+1,则 数列，且a1=1, 1 一+…+ 1 a20m= aa2 a2d3 agGy 2则 10.在等差数列{a.}中，la,1=lagl,公差d<0,则 a10= 使前n项和S。取得最大值的正整数n的值 A.15 B.26 是 ,使前n项和S,>0的正整数n的 C.28 D.32 最大值是 选择性必修第二册·RUA黑白题12 11.(2024·安徽毫州高二月考)已知S是数列压轴挑战∥ a,的萌n项和，者（受}是等差数列，且 (2024·广东中山高二期中)已知数列{a.}满 足a1=-2,a+a+1=2n-1,数列{bn}满足 a1=-7,a2+a3=-8. (1)求S,的值： b=a2n (2)n为何值时，S。-n的值最小？ (1)求数列{a,的前20项和S0; (2)求数列{b}的通项公式； (3)数列{6.}的前n项和为Tn,若T.-(n+1)· λ+32>0对任意n∈N恒成立，求实数入的 取值范围。 12.(2024·山东淄博高二期中)已知等差数列 {a}的前n项和为Sn,且{Sn+n2}也是等差 数列， (1)求数列{an}的公差； (2)若4，=-1，求数列{4n} 的前n项和Tn ana。+】 进阶交破拔高练P2 第四章黑白题3