4.2.1 等差数列的概念-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

a10-4y=0,即0=g:当n>9时，a1-a,<0,即1<a,放a,<a2<!3.ACD解析：设等差数列的公差为d,对于A,a1+3-(a。+3)= …<ag=a>01>a2>…,数列|an1中最大项为g或8m,即最 a1-日，=d,为常数，因此a,+3非是等差数列，故A正确：对于B. 大项是第9项和第10项，其值为0 a21-a2=d(at*n)=d[2a1+(2m-1)d],不为常数，因此2不是 19 等差数列，放B错误：对于C,(a2+a1)-(a,1+a,)=a2-a。=2d, 方法二：设a(1)是数列a,的最大项，则≥a 为常数，因此+1+a,是等差数列，故C正确：对于D,2a+t+(n+ 1)-(2a,+n)=2(a1-an)+1=2d+1,为常数，因此2a。+n是等差 (广≥("） 数列，故D正确.故选ACD (）≥2(） 4入解析：由等差中项的定义，知，b的等差中项为+w55-2 2 10M+10≥11k, 整理，得 得9写k≤10.所以k=9或k=10,又1= (5-2)+(5+):5,故选A 11+11≥10k+20. 2×(3-2) 20 =o,即数列0，中的最大项为，=0 .101o ,即最大项是 5.D解析：由于a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根，所以2+a1=3.义 是等差数列，所以4，=24，所以4故选 第9项和第10项 6.A 压轴挑战 解析：由2a.3,a-6成等差数列，则2×3=2a+m-6,得a=4.放选A 7.C 解析：根据题意，a=01+3d=1+3×2=7.故选C 1.(985,21川)解析：税察题图可知，当i为奇数时，第列及第行的 8.C 解析：设等差数列，的公差为d,则2d=:,-a2=4,则g=42+ 数据将按从上到下，从右到左的顺序棒列，即a,。aa。,4,b,, 6d=1+3×4=13.故选C aaaa,-,“a,b逐浙增大，且aa=xi=己：当为偶数时，第 i列及第i行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列，即，· 9.B解析：由a1=a,+5可得.a1-an=5,数列1a,为等差数列.且 公差d为5.所以a.=a1+(n-1)d=5n.令an=5n=20,所以n=4,故 a,b“.…,ba心…，a<1.6逐渐增大，且a<1.b=ixi=, 选B 所以ac.b=312=961,ac15.=152=225,所以ac2.b=961+1=962 10.D解析：设|a。1的公差为d.因为a2+43=7,4+a6=22,所以 因为由题意可知第32行的数从第一个数开始连续32个数依次增加 a1+d+a1+2d=7, 1,第15行的数从第一个数开始连续15个数依次减小1.所以 解得，-1 所以0%=a,+7d=-1+7×3=20, (41+3d+a1+5d=22 (d=3, ae2.3=962+23=985,a<5.s=225-14=211.所以(a0,30· 故选D. 4<5,5)是(985.211).放答案为(985.211. 11.D解析：设等差数列首项为，=-12，公差为d,由从第10项开始 2解：)因为m(m+)4,0,则。，且=1，所以数列 为正数，所以≤0即一2+8≤0解得 (410>0, (-12+9>0. cds,故DE {二}是各项均为1的常数列，则片=1，可特。，所以数列。 故选D 的通项公式是a。=m 12.B解析：因为a:+。=10,所以4，=5，所以4=”？=2赦选 7-5 (2)由(1)可得6，=3”-An2,则b1-bn=[31-A(n+1)2]-(3” 13.B解析：由等差数列的性质得，a3+6+ao+a3=(@,+a13)+(a6+ An2)=2×3"-A(2m+1),若数列1b.}为递增数列，则b+1-b.=2×3- a0)=2a,+2ag=4a,=32,ag=8又d≠0，m=8.故选B A(2+1)>0对任意eN恒藏立，可得>A.令6一 2×3" 14.D解析：因为a.是等差数列，设公差为d,则a2++-(a1+n+ 2×3*2×3n a,)=3d,a+6+g-(a2t5ta,)=3d.所以a,+a4+a,a2+a5+as, 8nx3" 则c1t2n+32n+(2m+3)(2n+D>0对任意aeN恒成 +n6+g也成等差数列.所以a,+6+ag=2(a2+a5+0g)-(,+a:+ 立，可知数列c.|为递增数列，则c,≥c1=2,所以A<2,即A的取值 1,）=2×24-15=33.故选D. 范围为(-0,2) 15.ABC解析：db0,则1a.是递增数列，因此由a1+++a0=0得 a1<0,a1o>0,a,ta2++aw=5(a1+a0）=5(a5+a6)=0,a+6=0, 4.2 等差数列 a1+ao=0,又a2+a1=a1+ao+20,做选ABC. 42.1等差数列的概念 16.7解析：，a1ta2*3+*12=21.a1+a1n=a2+1=+n0=a4+ 217 0g=as+0g=a6+u,= 白题 基础过关 62六a+t+nn=7.故答案为7元 17.36解析：因为4+s=42+a1,所以4u-a5=:-42=9,因此 111111 1.C解：对于，326432因为6所 5=(ag-43)(a+n2)=9×2a5=36故答案为36. 1,因为 18.C解析：a,是等差数列，若1<2<a3,可得d=a-1=a,-2>0, 以A不是等差数列：对于B,g6-g5=g了，g7-g6=g 所以数列1“，是递增数列，即充分性成立：若数列a.是递增数 7 7 37 g9g。所以B不是等差数列：对于C,g1口。g。 列，则必有a1<a2<a3,即必要性成立所以a1<a2<a3”是~数列a, 是递增数列"的充分必要条件，故选C, 所以C是等差数列：对于D.3-2=1.5-3=2,因为12.所以D不是 19.B解析：根据题意可知，1。是非负数，故am=10-2m≥0，m≤5. 等差数列.故选G. 故m的最大值为5.故选B. 2.B解析：由数列1a,I的通项公式a。=n+b,得a。}是等差数列.且 20.(2,+)解析：由%，是等是数列且是递增数列可知.函数八x)= ,--1=切+h-(-1)-b=k,故公差为素，故选B. (k-2)x+3在R上是增函数，根据一次函数的图象与性质，可得k- 参考答案黑白题03 2>0,即>2，所以实数4的取值范围是(2，+ 21.0=n+1(答案不唯一，只要等差数列的首项为2，公差0即可) a+2=5a=1,期a-2h=a-2x(）=子放选 解析：由题意可知，函数代x)是一次函数，且是增函数，所以等差数 6.CD解析：由a,=1,a,+a1=2n(aeN),得a2=2-a1=1,a3=4 列的首项为a1=2,因此满足条件的等差数列的公差d>0.当d=1 42=3,4=6-3=3,A错误：则42-a1=0,0-a2=2,B错误：由a,+ 时，数列的通项公式为。=4，+(n-1)×1=2+(m-1)×1=n+1.(答案 4+1=2n,得01+2-2=2(n+1),两式相减得22-a。=2,故数列 不唯一)】 .所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，C正确：所以数列 重难聚焦 是以2=1为首项，2为公差的等差数列，所以“2n=1+( 2.C解折：因为22=1，所以{3} 1)×2=2n-1.D正确.故选CD. 为等差数列.公差为1.首项 7.2,5,8,11解析：设这四个数依次为a-3d.a-d.n+d.a+3d(公差 =8+n-1=+7,所以层= 2 因为an>0.所以4.= 为2).因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，所以 a +7 a= 13 a= 2 4a=26. 2 2 √n+7=√9+7=4 解得 (a-d)(a+d0=40, 或 所以这个数列为2.5. 3 3 23.2解析：依题意，a=1,√a1=√an+1,所以数列1a是首项 d22 d=- 2 为@=1，公差为1的等差数列，所以a。=,所以a,=n2.故答案 8.11.故容案为2.5.8.11. 为n2 四方法总结 2解桥：因为1一1=2(n≥2).所以{号}为等差数列 等差数列的常见设项技巧： 24. Ga-l datl da (1)根号已知条件直接设首项和公差：当题目中给出与首项？1和 公差d相关的条件时，可以直接设首项为41，公差为，然后利用已 -=2, 知条件建立方程求解 d=4,所以=2+4(a-1)=4h-2,所以a,4n一之故答案为4n-之 (2)利用数列的对称性设项：对于等差数列，如果项数为奇数，可以 设中何一项为a,然后用公差d向两边分期设立项，例如：ad,a,a+ 25.C解析：设十二个节气的日影长分别对应等差数列14。|中的前12项， d:如果项数为偶数，可以设中同两项分别为a一d和a+d 且a,的公差为山，根据题意.有n=16, a1to2t1-(an tan?+口)=18， 247 8.an= 201+9d=16. a1=11, 3+3 23解析：由31=3h-2.得0--子所以 解得 2所以立夏的日影长为0o=a,+9d= (-27d=18, 4=- 3 数列a,是首项山=15，公差山=-号的等老数到，所以=15 11-6=5.故选C 2 2 日D-子+7由a·a<0,得a>0,4c0令4， 26.12解析：设彗基出现的年份为数列1a。l.由题意可知彗星出现 的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，所以4，= 3=0,得n=4 4 2所以a23>0,a4<0,所以本=2 1740+83(n-1)=83n+1657,令2024≤a.≤3000.即2024≤83n+ 1 657≤3000解得≤≤'3又neN,所以m=3,6,,16, 9解：(0)设兮和1的测和中项为6，依题意得3，，1成等差数列，所 所以从现在(2024年)开始到公元3000年，人类可以看到这颗挡星 以1.3+1 2,解得6=弓故兮和1的调和中暖为了 的次数为16-5+1=12（次）.故答案为12 黑2 应用提优 (口发题意，{日}是等茶数列，设其公差为么则对：子石 26则 1.D解析：设16个数对应公差为(d>0)的等差数列1a.1的前16项 d= 11 则由题意可知，a1=1,16=3引，故06-1=15d=30,解得d=2故选D a。a1 2.D解析：设mn的公差为d,因为a3+a,+a1=3a7,所以3(a,-a7)= 6d=-1.d=-故选D. :10.《1解.因为4，=2且a1=2·当n=1时，2=2a,=2当 6 14 n=2时，41=2 3.ACD解析：1=9，S3=1+a2+a3=3m2=21,放a2=7,d=-2,= 93 11-2n,故AC正确，B猾误：因为d=-2<0,所以数列a,|为递减数 列，故D正确.故选ACD. (2)证明：因为=2，所以411三两边同时取 4.D解析：a。,{b都是等差数列，设其公差分别为d1,d2,故 4。-1+1， c1。=a1+961-a。-9%,=d1+9h,所以fcn是等差数列，其 倒数有1 a-令6,1 ,有4， 中e1=a1+9%1=2+18=20.又a3+9b1=25,故c2-01=25-20=5,所 以c=e1+8×5=20+40=60.故选D 可1,6-6，=1，所以数列6，是以1为首项1为公差的等差 巴重难点拨 数列，所以么.=n,所以口， (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量，n,d, 口，5。，知道其中三个洗能是出另外两个（简称“知三求二"）. 1.解：)4=2,4=-1，a=(-3到a1+2A=3 2 (2)骑定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项，和公差d 5.B解析：设甲，乙，丙，丁.戊所得钱分别为a-2d.a-d,a.a+d,a+2d, 42+2号 2 则a-2d+a-d=n+a+d+a+2d,解得a=-6d.义a-2l+a-d+a+a+d+ (2)不存在理h:a1=2,1=(A-3)a,+2, 选择性必修第二册，RJA黑白题04 a2=(A-3)a1+2=2A-4. 四方法总结 03=(A-3)2+4=2A2-10A+16, 等差数列前n项和的面数性质： 若数列a.为等差数列，则a1+3=2n2, 等老数列的前n项和公式为S.=,”》,将它可成关于m的 即A2-7A+13=0. 2 4=49-4×13<0.方程无实数解. d .不存在A的值.使数列|a|为等差数列 压轴挑战 写成S.=An2+Bn的形式. 当A=0,B=0(即d=0,41=0)时，S。=0是关于程的常数函数： 解：(1)：P,(a1,b,)是直线1：y=3x+1与y轴的交点(0，I), .a1=0,b1=1. 当A=0,B≠0（即d=0,1≠0）时，S。=Bm是关于n的正比例函数 数列1a。是公差为1的等差数列，.a.=n-1 (常数项为0的一次函数)： ,点P(a。,6n)在直线1：y=3x+1上. 当A≠0，B≠0（即d≠0）时，S。=An2+Bm是关于#的二次面数（常 ∴.b.=30.+1=3n-2 数项为0) 六数列a.|,b.|的通项公式分别为a,=n-1(m∈N·),b。=3n-27.B解析：①因为数列a是等差数列，所以a,=m1+(n-1)d=d·n+ (neN”): (,-),因此可以把a。看成关于n的一次函数，又>0，所以数列 (n-1,n为奇数。 a。|是递增数列，因此本命题是真命题：②因为数列1。！是等差数 (2)存在m)=3n-2,n为偶数。 假设存在k∈N”,使爪k+3)=4)成立 列，所以5=m+d,2。 2一，因此可以把s。看成 ①当k为奇数时.k+3为偶数.则3(k+3)-2=4(k-1) 关于和的二次函数.而二次函数的单嗣性与开口方向和对称轴有关. 解得k=11,符合题意， 虽然>0能确定开口方向.但是不能确定对称轴的位置，故不能判断 ②当k为偶数时，k+3为奇数，则(k+3)-1=4(3认-2) 数列S,的单调性，放本命题是假命题：③设=b,因为数列a, 解得=10 ,不符合题意 是等差数列，所以an=a1+(n-1)d=d·n+(a1-d),因此数列 综上可知，存在=11符合条件 {巴}的通项公式为6，=”. +d,显然当a,=d时，数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和及其性质 (巴}是常数列，故本命题是假命题：④设三=6，因为数列1a,是 n 白题 基此过关 7(a1a.7x2a=7a,=70,所以4=10，所以 等指数列所以S+宁(a-1)d=号，2 2n,因此数列 1.D解析：因为S,= 2 2 d=a4-a1=10-7=3.故选D (5}的通项公式为c,= 5.d 2a-d =2+2 所以可以把。看成关于 2.C解析：设等差数列1a,1的公差为d,由a1+04=0,得2a,+3d=0. ”的-次函数，而0，所以数列合} 是递增数列，因此本命题是 由25，+05+1=0，得2× 3×(a1+a3） 2 +85+1=0,即3×(a1+0)+a5+1= 真命题故选B 0,则7a,+10+1=0,解得d=2.故选C 8.-4解析：设等差数列1a的首项为a1,公差为d,所以S。=m,+ 3.AC解析：设等差数列18nI的公差为d,由S,=0,5=5,得 4a1+6d=0 解得/03 a号)又8(a*2户A+4A.所u 所以a。=2n-5,S。=n2-4n,放选AC la,+4d=5. d=2. 4+入=0，解得A=-4.做答案为-4 10×9 10n1+ d=10. 4.ABD解析：设数列a1的公差为d,由题意可得 2 9.7解桥：等差数列a,的前项和5=子（号）可看 a1+9d=10. 解得/，-8 成关于n的二次函数且s=S0对称轴为直线m=310:65 2 所以4，=0+4d=-8+42=0,S=5如，+3议4=5× （d=2, 又=56-65=7 (-8)+10x2=-20.故选项ABD正确. 5.15解析：因为a1+=6-2n6,又a,+=2a5,所以5+6=3，所 10.C解析：由等差数列{a.的前n项和的性质可得：So,S。 以S=10(a1,0m=5a,as)=5x3=15枚答案为15 50,50-5m也成等差数列，2(S-S1a）=50+(50-5m),2× (10-20)=20+5n-10,解得Sn=-30.故选C 6.ABD解析：在等差数列a1中，a1>0,公差d<0,S。为其前n项 11.C解析：设该等差数列中有2n+1(n≥1，neN·)项.其中饵数项有 2 n项，奇数项有(+1)项，设等差数列a,的前n项和为8，则。 y= x上.d<0,二次函数的图象开口向下，故A. a1+1x(n+ 一，，1a1为等差数列，∴.01+ d a2 tasta。+*+g 12 2 B不可能，对称轴为直线x=- d >0,∴.对称轴在y轴的右侧，故 54.n+126 C可能.D不可能.故选ABD, 0a心S2解得n=23.2a+1=7小此数列 参考答案黑白题054.2等差数列 4.2.1 等差数列的概念 白题 基础过关 很时：50min 题组1等差数列概念的理解 题组3等差数列的通项公式 1.下列数列中成等差数列的是 7.(2024·陕西渭南高二期中)已知等差数列 A94 {a.}的首项a1=1,公差d=2,则a.等于() B.Ig 5,1g 6,lg 7 A.5 B.6 Clga D.2,3,5 C.7 D.9 8.(2024·黑龙江大庆高二月考)在等差数列 2.若一个数列的通项公式是an=m+b(其中k,b {an}中，a2=1,a4=5,则ag= 为常数)，则下列说法正确的是 ( A.9 B.11 A.数列{an一定不是等差数列 C.13 D.15 B.数列{an}是以k为公差的等差数列 9.(2024·河南驻马店高二期中)已知数列{an} C.数列{an}是以b为公差的等差数列 满足a1=5,a+1=an+5,若a.=20,则n等于 D.数列{a不一定是等差数列 ( 3.(多选)若{a。}是等差数列，则下列数列为等 A.3 B.4 C.5 D.6 差数列的有 ( 10.(2024·湖北武汉高二期中)已知{an}为等 A.{an+3} B.Haz 差数列，a2+a3=7,a4+a6=22,则ag等于 C.a++a D.2a,+n ( 题组2等差中项 A.21 B.17 C.23 D.20 4.已知a= 63-2则a,6的等差 ,b= 11.(2024·山东泰安高二月考)首项为-12的等 3+2 差数列，从第10项开始为正数，则公差d的 中项为 ( 取值范围是 ( A.3 B.迈 Ab号 B.d<3 c 号 4 C.3 ≤d<3 5.在等差数列{an}中，a2,a4是方程x2-3x-4=0 D.3sds 2 的两根，则a,的值为 题组4等差数列的性质 12.(2024·辽宁大连高二月考)在等差数列 A.2 B.3 C.±2 {an}中，若a4+a6=10,a=9,则公差d= 6.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)若三个 数2a,3,a-6成等差数列，则a的值为( A.1 B.2 A.4 B.3 .1 D.-1 C.3 D.4 第四章黑白题05 13.已知等差数列{a.}的公差为d(d≠0)，且 重难聚焦 a+a6+a1o+a13=32,若an=8,则m为( 题组6 构造等差数列求通项公式 A.12 B.8 C.6 D.4 22.(2024·四川广安高二月考)在数列{a. 14.{an}是等差数列，且a1+a4+a1=15,a2+a5+ 122 中，an>0,a1 2'd1a =1,则a。=( ag=24,则a3+a6+ag的值为 ( A.24 B.27 C.30 D.33 A.2 15.(多选)(2024·福建泉州高二月考)在等差 B号 D. 数列{a,}中，公差d>0,a1+a2+…+a1o=0,则 23.(2024·湖北武汉高二期末)在 下列一定成立的是 数列{an}中，a1=1,√a A.a1<0 B.as+as=O √a+1,则an= C.az+au>O D.a2+a1<0 24.(2024·河北衡水高二期中)在 16.已知在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+…+ 数列1a.}中@三240且 a2=21,则a2+a5tag+am= 17.已知等差数列{an}满足a=2,a1=11,则 1+1-2(n≥2)，则a,= an-1 Gatl an a-aj= 题组7等差数列在数学文化中的应用 题组5等差数列的函数特征 25.(2024·河南洛阳高二月考)《周 18.设{a}是等差数列，则“a1<a2<a”是“数列 髀算经》中有这样一个问题：从 {an}是递增数列”的 冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒 A.充分不必要条件 大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨 B.必要不充分条件 立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数 C.充分必要条件 列，假如雨水、惊蛰两个节气的日影长之和 D.既不充分也不必要条件 为16尺，且最前面的三个节气日影长之和 19.设等差数列{an}的通项公式为a.=10-2n 比最后面的三个节气日影长之和大18尺， (n∈N),且a1+a2+…+am=la1l+la2l+…+ 则立夏的日影长为 ( 1anl,则正整数m的最大值是 ( A.4尺 B.4.5尺 A.4 B.5 C.6 D.7 C.5尺 D.5.5尺 20.已知数列{an}是等差数列，且(n,an)在函数 26.（2024·山东潍坊高二期中)诺沃尔在 f八x)=(k-2)x+3表示的图象上，若{an}是递 增数列，则实数k的取值范围是 1740年发现了一颗彗星，并推算出在 21.函数y=f(x),x∈[1，+∞)，等差数列{an}满 1823年、1906年.…人类都可以看到这颗 足an=f(n),neN',①函数f(x)是增函数； 彗星，即该彗星每隔83年出现一次.从现 ②数列{a.}的最小值是2.则同时满足①② 在(2024年)开始到公元3000年，人类可以 的数列的通项公式为 看到这颗彗星的次数为 选择性必修第二册·RJA黑白题06 黑题 应用提优 很时：45min 1.(2024·陕西西安高二月考)在1和31之间插 C.数列{a2-1}是等差数列 入14个数，使它们与1,31组成公差大于零的 D.a2n=2n-1 等差数列，则该数列的公差为 7.(2024·陕西西安高二月考)成等差数列的四 个数之和为26，第二个数与第三个数之积为 B.30 C.-2 D.2 40,这四个数为 2.(2024·江西南昌高二月考)已知{an}为等差 8.已知数列{a,}满足a1=15,且3a1=3a.-2.若 数列，若a+a,+a11=3a,+1,则{a.}的公差为 a4·a1<0,则数列{an}的通项公式 ( 为 ,正整数k= R号 6 9(2024·吉林长春高二月考)若数列{。}是等 3.(多选)已知S。为等差数列{an}的前n项和， 差数列，则称数列{a.}为调和数列.若实数a, 若1=9，S3=21,则 ( b,c依次成调和数列，则称b是a和c的调和 A.数列的公差为-2 中项。 B.a2=3 C.an=11-2n (1)求和1的调和中项： D.数列{an}为递减数列 (2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an} 4.（2024·四川南充高二期中)数列{an},1bn} 的通项公式。 都是等差数列，且a1=2,b1=2,a2+9b2=25, 若cn=an+9b.,则cg的值为 A.0 B.25 C.45 D.60 5.（2024·山东烟台高二月考)《九章算术》是我 国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有 五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各 得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五 人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所 得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数 列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种 质量单位)这个问题中，甲所得为( 6.（多选)(2024·福建莆田高二月考)对于数列 {an},若a1=1,an+a1=2n(n∈N),则下列 说法正确的是 ( A.a4=4 B.数列{an}是等差数列 第四章黑白题07 10.(2024·浙江绍兴高二期中)已知数列{an 压轴挑战 满足a,=2,0=2(neN),令6，。-了 已知点P.(a.,b.)(n∈N')在直线l:y=3x+1 a。 (1)求a2,a3的值； 上，P1是直线l与y轴的交点，数列{a,}是公 (2)求证：数列{b}是等差数列，并求出数列 差为1的等差数列. {an}的通项公式. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,n为奇数， (2)若f(n)= 是否存在k∈N”, bn,n为偶数， 使f(k+3)=4(k)成立？若存在，求出所 有符合条件的k值；若不存在，请说明 理由。 11.数列{an}满足a1=2,an1=(入-3)an+ 2"(nEN'). (1)当a2=-1时，求入及a3的值 (2)是否存在入的值，使数列{a.}为等差数 列？若存在，求出其通项公式：若不存 在，请说明理由。 进阶突破拔高练PO 选择性必修第二册·RUA黑白题08