4.2 等差数列 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

意，所以d≠0，则a,=a4+(n-1)d=1+(n-1)d,则，1= :12.解：(1)设数列a。的公差为d,则an=1+(n-1)d=dn+a1-d因为 an0。l S。+21是等差数列，所以S1+(n+1)2-S。-n2为常数，S1+ [1+(a-)d(1+m)d【+n-)a1+n所以。 1+1 (n+1)2-5-n2=a1+2n+1=nd+a1+2n+1=(d+2)n+a1+1,所以 d+2=0,解得d=-2,即公差为-2 (2)因为a=-1,所以，=-2n+1.可得4 4n2 .a-1(-2n+1)(-2n-1) ）放(）答解得4=3.故m=1+9x3=28故 1 选C 6.A解折：设此数列为an,则1=3,4241=1,4-=2，…，a, aa-1兰m-1(n≥2)，听以a=(a.-a-1）+(a-4-an-2)+…+(m2-1)+ 压轴挑战 4,=(a-)+(a-2++1+3=a=1+)a-)+3=a（”》+3.所以 2 解：(1)5m=(a,+a2)+(+)+(a5ta6)+…+(a+m)=1+5+9++ 19×1 37=1+37)x10.190 a1e=- +3=174.故选A. 2 2 (2)a1=-2,a1+2=1a2=3,4+ae1=21-1①，a+2ta+1=2n+1②， 7.A解桥：设等差数列a的公差为山，由S=m,+a1》= 2 ②-①，得a2-a。=2,b1-bn=2*2-a=2b,=m=3,数列 b。|是以3为首项，公差为2的等差数列，∴.6n=2n+1, -2)n,又对任意neN均有5≤S成立.所以 （3)T.=3+2+1加=m2+2m.A+2m+32.+1)2+31.n+1+3 2 n+1 n+1 +1 d 0. 1d>0. +8 31 31 a+8d d n+1+ 由 ≥2，当组仅当a+1=补即aV-1时取等号 9 11 -5≤ ≤-4， 01+6 2 2 N当n=4时，站当=5附以67 +16a+ +6≤2.则e[2.31.故选A 31 67 67 1 d d+6 m+1 6A<6 8.ABD解析：由S4>Sg,得S。-S,=a5+a。+1+ag=2(a6+a,)<0,所以 4.2阶段综合 12(a1+a12） a6t,<0,则S2= =6(6+01)<0,A正确：因为S=S,所 2 黑题 阶段强化 以3-5，=a5ta6t,tag=2(a6+a,)=0,即a6ta,=0.因为a1>0,d≠ 1.C 解析：设等差数列4n的公差为d,因为a+6=16,且a3=4, 0,所以6>0，，<0，则d<0,等差数列1a,为递减数列.则S6是S。中 (a3+a6=2a1+7d=16 所以 所以/，=1， 故选C 最大的项，B正确：若S,>S。,则56-5，<0，即6<0.因为a1>0,d≠0， a5-n3=2d=4. (d=2. 则d<0,故as=a%-d,无法判断5的正负，故S=S+as,不能判 2.BD解析：设等差数列1a.I的公差为d 新S4>S,C错误：因为S>S,所以S。-S,=a4<0,因为a1>0,d≠0，所 对于A,a1a2=(a+1-a,)(ata)=(an+a1)≠常数a2 以d<0,则a=a4+d<0,则S=S+a5<S4D正确，故选ABD. 不是等差数列： 9.4045解析：设等差数列1"，的公差为d,由S,=4S2得41+6= 对于Ba1-a。=d,.a1-.为常数列，a1-a。为等差 4(2a1+d),整理得2a,-d=0①.由a2m=2a。+1得a1+(2n-1)d= 数列： 2[a1+(n-1)d]+1,整理得a1-d=-1②，由①2得a,=1,d=2.所以 对于C,[201+(n+1)2]-(2a,+n2)=2d+2n+1,12a。+m2不是等 a:=a1+2022d=1+2×2022=4045.故答案为4045. 差数列： 10.6或712解析：因为1a51=1,1,d<0,所以a3>0>4g,所以a,= 对于D,2a1-2an=2d2a.为等差数列.故选BD. -g,所以+=0，所以a=0,所以当1≤n≤7时，n≥0：当n≥8 3.C解析：设等差数列1a的公差为d,由a是递增数列，则d>0, 时，<0，所以能够使前n项和S,取得最大值的正整数n的值是6 义a16=2a3,即a3+3d=2a3,即3=3d,即a0+3d=3l,得a1o=0, 或7.又5= 3(a0=13,=0,且5s=Sptap=0,所以Sa= 则Sg= 19x(a,+a19） 2 2 =19aw=0,5n=Sw+an=a0=am+10d=10d> -a:>0,所以使前n项和S,>0的正整数n的最大值是12 0,所以当S,>0时.k的最小值为20.故选C 1解：设（}的公为 7==-7,3=-7+2M,又+ 4.B解析：因为a+6=4,a5+bg=8,所以a+b5+a5+b,=12,即3+ a5+b,+bg=12,根据等差数列的性质可知a:+a5+b+g=2a1+2 4=-8,故78-7+2d,解得=1，所以 =-7+6d=-1,故 12,所以04+b,=6.故选B 3 5.A解析：由题意可得a,1-a=2,则数列1a21是以为首项，2为 S2=-7. 公差的等差数列，则a2=m+2(n-1),由3=5，故品=+2(13 (2)由题意得=-7+(n-1)=n-8,故53=m2-8m,所以5，-n=n2- 1)=25.即41=1（负值含去）.故a2=1+2(n-1)=2n-1,故a,= n9广81因为后N°，所以当n=4或5时，S,-n取得最 √2n-1,则 9n=24 1 √/2m+I-√2n-I 小值，最小值为-20. a.+a1√2n-1+√2m+T(2n-1+√2m+I)(2n+1-√2n-1) 选择性必修第二册，RJA黑白题O8 a(v2m2可.放85-+5- a,则连续两项取得最小值，令5=S1,bL,即a,-)4三（4 2m+1-2m+1 2 3++2a+-√2m-)=2+☐放选L ,”,整理得a+M=0,所以=受>1令=2， 1)a1+ 2 2 6.C解析：由题意可知，每人分得的棉花数量构成公差为17的等差数 01=-2d,则有a,=(n-3)d,令d=2,则.=2n-6为一个符合题意 的通项公式 列，设等差数列为a,,公差为d,前n项和为S.,则d=17,Sg=996, 8×7 19 所以8=8a+2x17=96,解得a=65,所以a:=a+d=65+17= 13 解析：由题意知，b+6=6g+,=2h西+，=2n心b+b, 82.所以第2个孩子分得棉花的斤数为82.放选C 1(a:tan) ,B解析：因为S,9(@a do a+ao 206 a+ou 2 Sn2x11-3_19放答 2 -=9as<0,所以as<0因为ds+a6=a,+ bs+b,26626.61+61,11(b1+b:)T,4×11-341 2 g>0,所以a6>-5>0,所以公差d=a6-a,>0,故当n≤5时，4.<0，当 n≥6时，a,>0,所以当#=5时，S。取得最小值，即S.}中最小的项 案为 41 是S.故选B 8C解析：因为a2+(-)”a。=2n-1,所以a3+a,=3,ao+s=11,an+ 14.0)证明(a-)(a,-1)=3[(a,-)-(a1-11心a- 012=19,4a1=1,a5-=5,…,0n-ag=17,因为前12项和为164， 所以a1++3++g=(a,+++an)+(a3+a4+…+a:)=164, 兮即或61数列是有项为1， 所以1+a1+…+,=131.即a1+(a,+1)+(a1+6)+(a1+15)+ (a1+28)+(a1+45)=131,解得1=6故选C 公差为}的等差数列， 9.ACD解析：设等差数列1a,1的公差为d,因为n∈N'时，(n+1)S。< 12_n+2 …即3a(=4版之a閃为8=am,a2. 2)棉6号号营1 +20,÷0t5 B+2 2 15.(1)证明：因为4,42=2a1-an+2,所以42-01-(a1-a.)= 所以 a4atnd,即om空ba周为a+1>0 2a1-0.+2-2am1tan=2为常数，又a2-1=3,所以数列4t-4n 是公差为2，首项为3的等差数列所以a1=3+(n-1)×2=2加+ 恒成立，所以d>0.故等差数列4。为递增数列，A正确：则81+ 1,当n≥2时，(a。-口)+(a-1-0-2)++(a-a1)=2(n-1)+1+ 2=12a,+6.即a=g故a.a,a-ld=g(a-)d 2(n-2)+1+…+2×1+1,所以a。-1=m2-1.又41=1，所以a。=n2,又 n=1时.满足a。=n己，所以数列1a,的通项公式为a。=n2. (-）h由A选项知40，故eo=(0-）1<0, (2)解：由()知6，=n4冬，因为数列16.是递增数列，所以6 (-)b0,所以≥s放Sn为5的最小值，B错误：5 =aa(）上aa]小o.对 =a,+》=-19M4-,201因为keN°，故当k=20 neN恒成立，得到<(+1)己n2对neN恒成立，所以<4. 2 2 时.3=0，所以存在正整数，使得8=0.C正确：S,=20.5= 压轴挑战 2 (1)解：当=1时，=2a1-a1,解得a1=1或0，an是各项均为正数 9m604,令-204=9m,604,因为meN°，解得m=5,赦存 的等差数列.故a1=1,=25S。-4n①.当n≥2时，a2-1=251-0②. 2 2 2 则①-②，得a-2-,=2(S-S-1）-+a=a+an,故(a+a-）· 在正整数m,使得S.=S2,D正确.故选ACD (an-a-1-1)=0,因为a,>0,所以a+0-1>0,则a,-n-1=1,则1a.1的 10.18解折：由=7a,+ant.所以21am=7a,tant 公差为1，则a。=1+(n-1)=n,经检验，1=1满足要求，故通项公式为 2 a4),.3al=a5+ao+a4,即3a1=a4+an+a4,即2a1=a,+a4,由等 差数列下标和性质可得k=18故答案为18. :(2)证明：5n= n(ata,》_1+m,2S.+3a,=m2+n+3n=2+4,6 2 2 11,32m-1解析：数列1an的前n项和S。满足45.=(a.+1)2,则当 n=1时，4a1=(m1+1)2,解得a1=1,当n≥2时，4an=4(S-S1)= 2n-3,n=2-1keN”·当n为偶数时，=6h6.=(6+6+叶 4n+6,n=2k,k∈N°， (a,+i)2-(a-1+1)2,即(a-1)2-(a+1)2=0,整理得(a,-1)· b-1)+(2+b,+…+b.）=-1+3+…+2n-5+14+22+…+4n+6= (a.-g-1-2)=0.又数列1a.是正项数列.于是得a。-n-,=2,从而 得数列1a,是首项为1，公差为2的等差数列，则a:=3,a。=2n-1, 之-+2n-)2103+7n,当4≥6且n为偶数时， 2 当n=1时清足此通项公式，故a,=2n-1. 2 2 12.2-6(答案不唯一)解析：因为等差数列1a。的前n项和为8。= m,以子(，之）小若存在最小值且最小值不 (28+3,)7-+4如2>0，放7>2+3，：当a为奇数 2 2 等于：，则函数S对应图象为开口向上的拉物线，对称轴为直线 时，7.=71-b1-3a1247aD-4a+0-6=3n2+5n-0,当n≥ 2 之三2。>且少0，整理得4<-4若不存在正整 7且n为奇数时，T.-2S,+3,)=3如+5n-10-（m+4n)--3a-10 2 2 n= 1 数k,使得5>S1且S1<S2,且S,存在最小值且最小值不等于 2 n3)9>0,综上，当>5时，1>2，+3a (-281 参考答案黑白题094.2 阶段综合 黑题 阶段强 限时：50min 1.(2024·河南南阳高二期末)已知等差数列 人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则 {a.}满足a+a6=16,且a,-a3=4,则首项a1= 第2个孩子分得棉花的斤数为 ( ( A.48 B.65 C.82 D.99 A.-1 B.0 C.1 D.3 7.(2024·天津和平区高二期末)若{an}是等差 2.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等 数列，S.表示{an}的前n项和，a+a>0,S,< 差数列的是 0,则{Sn}中最小的项是 () A.{a2} B.a-a A.S B.S3 C.S D.S, C.{2an+n2} D.2a 8.(2024·广东佛山高二月考)数列{a,}满足 3.(2024·安徽滁州高二月考)已知等差数列 an2+(-1)“an=2n-1,前12项和为164，则a1 {a.}是递增数列，其前n项和为Sn,且满足 的值为 ( a16=2a13,当S4>0时，实数k的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 9.(多选)(2024·浙江温州高二月考)设等差数 ( 列{an}的前n项和为S。,若Sg=S2,且(n+ A.10 B.11 C.20 D.21 4.(2024·四川南充高二期中)已知数列{an}与 1)Sn<nS1(neN),则 A.数列{an}为递增数列 {bn}均为等差数列，且a3+b=4,a5+b,=8,则 B.S。和S,均为Sn的最小值 a4+b,= ( C.存在正整数k,使得S=0 A.5 B.6 C.7 D.8 D.存在正整数m,使得Sm=S 5.(2024·安徽毫州高二期中)定义“等方差数 10.(2024·四川成都高二期中)设S。是公差不 列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平 为0的等差数列{an}的前n项和，若S21= 方与它的前一项的平方的差都等于同一个常 7(a+ao+a4),则k= 数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常 11.已知正项数列{a.}的前n项和S。满足4S。= 数叫做该数列的方公差.设数列{a.}是由正 (an+1)2,则a2= ,an= 数组成的等方差数列，且方公差为2，a1=5, 12.设数列{a.}的前n项和为S。,写出一个同时 则数列 的前n项和S。= 满足条件①②的等差数列{an}的通项公式 a.= √2n+1-1 √2n-1-1 A ①S,存在最小值且最小值不等于a1; 2 B 2 ②不存在正整数k,使得S>S+1且S1<Sk+2z C.√2n+1-1 D.√2n-1-1 13.(2024·安徽安庆高二期中)设等差数列 6.(2024·河南驻马店高二月考)《算法统宗》中 {an},{bn}的前n项和分别为S.,Tn,若对任 说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每 人多十七，要将第八数来言：务要分明依次第， ，意正整数n都有=-3，则+ b4+bs 孝和休惹外人传.意思是：有996斤棉花要给 8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每 bs+b7 选择性必修第二册·RUA黑白题14 14.已知数列{a.}满足(a.1-1)(an-1)=3(a,-压轴挑战 a4）,a=2,令b.a- (2024·重庆八中高二月考)已知{a}是各项 均为正数的等差数列，其前n项和为S。,满足 (1)证明：数列{bn}是等差数列： (2)求数列{a,}的通项公式 a2=2Sn-an对任意的neN'成立. (1)求{a.}的通项公式： 2an-3,n为奇数， (2)令bn= 记T.为数列{b, 4a+6,n为偶数。 的前n项和.证明：当n>5时，T.>2Sn+3a. 15.(2024·云南昆明高二月考)已知数列{am} 满足：a1=1,a2=4,a2=2an1-an+2. (1)证明：{a1-an}是等差数列，并求{a. 的通项公式； （2)设么，，会若数列6，是道增数列，求 实数k的取值范围。 第四章黑白题15