4.1 数列的概念-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

第四章 数列 4.1 数列的概念 白题 基础过关 很时：40min 题组1数列概念的理解 OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的 1.（多选)下面四个结论中正确的是 通项公式为an= A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或 它的有限子集{1,2,3，…，n)上的函数 B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群 孤立的点 ICME-7 D 2 C.数列的项数是无限的 6.已知数列{an}的通项公式为an=cn+dn,且 D.数列通项的表达式是唯一的 2.(多选)下列说法正确的是 中a号求o和a A.数列4,7,3,4的首项是4 B.在数列{an}中，若a1=3,则从第2项起， 各项均不等于3 C.数列1,2,3，…是无穷数列 D.a,-3,-1,1,b,5,7,9,11一定能构成数列 题组2数列的通项公式 3.(2024·云南昆明高二期末)已知数列{an}满 足a。=-4n-1,则下列数中属于该数列的项 的是 ( A.-23 B.-31 C.-33 D.-43 4.(2024·河南濮阳高二月考)数列0,23 38 题组3数列的递推公式 1 4,…的通项公式可能是 7.(2024·福建漳州高二月考)已知数列{a,}满 A.21 B201 足a1=1, n --l(n≥2)，则a,=（） n .1 C.n+ D.n-1 A.n-1 B.1 C.n D.1 n-1 5.如图①是第七届国际数学教育大会（简称 8.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ICME-7)的会微图案，会徽的主体图案是由如 A.at1=a+n,nEN" 图②所示的一连串直角三角形演化而成的，其 B.a=a-1+n,nEN',n22 中0A1=A1A2=A2A3=…=A,Ag=1,若把图②中 C.a=a,+(n+1),nEN',n=2 的直角三角形继续作下去，记O41,0A2,…, D.an=an-+(n-1),n∈N',n≥2 第四章黑白题01 9.(2024·湖北武汉高二期末)九连环是中国传 15.(2024·四川南充高二月考)已知数列{an 统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，将 的通项公式为an=kn2-n-2,若{an}为递增数 圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄， 列，则k的取值范围为 ( 玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆 A.(1,+∞） B.(0,+∞) 环分别解开，或合二为一，在某种玩法中，用 a,表示解下n(n≤9，neN')个圆环所需的最 D.(兮+】 少移动次数，{an}满足a1=1,且a1= 题组5数列的周期性 2an+2,n为奇数， 则解下5个圆环所需的最 16.(2024·河北邢台高二期中)在数列{a。}中， 2an-1,n为偶数， a1=-2,a。·a1=a,-1,则a2m的值为( 少移动次数为 A.31 B.16 C.14 D.7 A.-2 0. 10.(2024·河北承德高二月考)已知数列{a.} 17.(多选)若数列{an}满足a1= 3 5,aa+1 满足a1=1,a1-1+ -,则a3= 1 2an,0≤a.≤2 11.在数列{an}中，a1=3,aa+1=an n(n+1),则 则数列{an中的项的值可 通项公式a.= 2a-1,2<a.<1, 题组4 数列的单调性 能为 ( 12.已知数列{a.}的通项公式为a.= n ,按项 A.1 B.2 2n-1 0. 的变化趋势，该数列是 ( 题组6 数列的前n项和S,及其应用 A.递增数列 B.递减数列 18.(2024·广东湛江高二月考)设数列{an}的 C.摆动数列 D.常数列 前n项和为Sn=n2,则a,= ( 13.(多选)(2024·山西太原高二期末)下列 A.17 B.18 C.64 D.81 通项公式中，对应的数列是递增数列的是 19.已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2+1 ( 1,则数列{an}的通项公式为 () A.a =n+n2,nEN' (3,n=1, B.a,=3-n,nEN' A.a=2 B.a.= 2",n≥2 1 C.a. 3a,n∈N C.a=2-1 D.a =2tI (n+1,n≤2 20.(多选)(2024·重庆一中高二期中)数列 D.a= 2-l,n>2 neN' {an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则 14.(2024·江西九江高二月考)已知数列1a.}的 下列说法正确的是 () 通项公式为a.=2m2-18n+5,则它的最小项是 A.数列1a,}是递增数列 ( B.an=-2n+8 A.第四项 B.第五项 C.当n>4时，an<0 C.第六项 D.第四项或第五项 D.当n=3或4时，S。取得最大值 选择性必修第二册·RUA黑白题02 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2024·河南郑州高二月考)有下列说法： 7.(2024·天津和平区高二月考)已知数列{an} ①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7： (3-a)jn+2,>8, ②数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列； 满足an (n∈N),若对 ③数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，…是同 a-1,n≤8 数列： 于任意neN”都有an>an1,则实数a的取值 ④1,1,1，…不能构成一个数列. 范围是 ( 其中说法正确的有 Ao,写） B.(o.z) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.(2024·云南昆明高二月考)数列1,35 49 D.() 1 7,…的第8项是 8.已知数列{an}的通项公式为a,=n2-1ln+a a,是数列{a,}的最小项，则实数a的取值范 15 B.32 13 13 围是 ( 3.（多选)数列1a,}的通项公式为a,=n+0若数 A.[-40,-25] B.[-40,0] C.[-25,25] D.[-25,0] 列{a。}单调递增，则实数a的值可以是( 9.(2024·辽宁沈阳高二月考)已知数列{an}的 A.2 B.0 C.-1 D.-2 n-3 4.(2024·吉林长春高二期中)已知数列{an}的 通项公式为a, 2n-7前n项和为S,则s, 前n项和为3，若3=n1+ 取得最小值时，n的值为 ( 2 2,S2=3,则a3= A.10 B.9 C.8 D.4 10.（多选)(2024·吉林通化高二月考)大衍数 A.-3 B.3 C.-2 D.2 列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五 5.在数列a,中，a,=2,a1=a,+ln(1+)(n≥ 十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的 太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极 1),则a10= ( 衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是 A.2+ln10 B.2+91n10 中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一 C.2+101n10 D.11+ln10 道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12， 6.对任意的a1e(0,1),由关系式a1=f八a)得 18,24,32,40,50,…,则下列说法正确的是 到的数列满足a1>a(neN),则函数y= ( f(x)的图象可能是 A.此数列的第20项是200 江2 B.此数列的第19项是180 C.此数列偶数项的通项公式为a2n=2n D.此数列的前n项和为Sn=n·(n-1) 第四章黑白题03 11.(2024·浙江金华高二月考)在数列1a,}中，压轴挑战 若a=1an2则ao 1.将正整数按如图所示的规律排列， 把行与列交叉处的那个数称为某行 12.(2024·江苏南通高二期末)已知数列{a.} 某列的元素，记作a)(ijeN),如第2行第 [1-an,n为奇数， 满足a1=3,a1= 1 则 4列的数是15，记作a2=15,则有序数对 ，n为偶数， a (a(2,M,a5,5)是 a7= 数列{a.}的前99 项 4→5 16→17 和为 15 13.请写出一个符合下列要求的数列{a.}的通项 98*-7 14 19 10-→11→12→13 公式：①{an}为无穷数列；②{a.为单调递 25+24-23.-22+2 增数列：③0<a<2.这个数列的通项公式可 以是 2.已知数列{an}中，a1=1,且满足na1-(n+ 14.已知数列{a。}的通项公式是an=(n+1)· 1)·an=0. 侣广(aeN:).试问该数列有设有最大项 (1)求数列{an}的通项公式； 若有，最大项是第几项？并求出最大项的值： (2)记bn=3-Aa,若数列{b.为递增数列， 若没有，请说明理由。 求入的取值范围！ 进阶突破拔高练PO 选择性必修第二册·RUA黑白题04正文参考答案 第四章数列 4.1数列的概念 11.41 1 解析：因为a10,*an十D即a1a, 白面燕础过关 11 11 11 10n-2n2n-3n-2, aw-1= 1.AB解析：由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数 11 集或它的有限子集{1,2,3，·，n,选项A,B正确：由于数列有有穷 a2=)了，2-a1=1-7,所以an-a-1ta--4-2ta-2-03++ 数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限 111111,11 的，所以选项C不正确：数列通项的表达式可以不唯一，例如：数列 1厅+2-3n2+23切2， a3-a2ta2-a1=- 1,-1,1,-1,…的通项可以是a,=（-1)1,也可以是a。= ! 即4，-a4=1又因为，=3，所以a,=1-+n1=4-,放答案 cos(n-1)m,选项D不正确.故选AB. 2.AC解析：根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是 为41 首项，即4，故A正确：同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错 误：由无穷数列的概念可知C正确：当a,b都代表数时，能构成数列： n-1 当α，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定 12.B解桥：因为当n≥2时，。，-012n2-) 的顺序排列的一列数，故D错误故选AC (2-1)(2n-3)0,所以该数列是递减数列故选B 3.C解析：由数列通项为an=-4n-1,分别使a.取选项中的值，发现 1121 仅当a,=-4n-1=-33时，n=8eN”,其他选项中的数没有对应的正 13.AD解桥：对于A,因为a,=n+2=气a+2)-neN,由二 整数n.故选C 次函数的单调性可得数列为递增数列；对于B,因为4。=3-n, 4.D解折：对于A选项，当n=1时，2”-1≠0，故A错误：对于B neN”,由一次函数的单调性可得数列是递诚数列；对于C,因为 n 透项，当2时2，宁号放B错误，对于C港现，当1 。.3eN”,由指数函数的单调性可得数列是递减数列：对于 1 时20放C错误：对于D造项，因数列0，子号？…可 (n+1,n≤2， D,因为，一{226N,当n≤2时，数列是递增数列，当 以写成1片2子3号4…，故其通项公式可以写成， 1 1 n>2时，数列为递增数列，而a,=4>3=42,所以数列是递增数列.故 选AD. A,故D正确故选D. 14.D解析：因为a。=2n2-18n+5,所以设f八x)=2x2-18x+5,其对称轴 -189 5.m解析：0A,=1,0A2=2,0A3=√5，…，0An=n,a1=1, 为直线x=2X2之且开口向上，又因为neN”,所以a,的最 2=√2，a3=√5，…，4n=m. 小项为第四项或第五项故选D 「3 d 15.D解析：a,=kn2-n-2,若1an1为递增数列，则ai>a,(neN), 6解：将子42代人适项公式a中，得 2 2 解得 3 4c+4 有(m+)2-(a+1)-2>63n-2,解得>2(aeN),则 2 1 1 d=2. 40=0,22 (2）,当=1时，（公）=所以6则的取值 41010 范围为（行，+）故选D 01n(n≥2)，所以9.142 7.D解析：因为8-- 0 16.C解：在数列1a,中，由a1=-2,4·a1=0,-1,得a2=11 -,上述各式相乘得二。上因为41=1，所以0，=人经检验，4= 3 a1 n ，同理可得a产了，4=-2，…，所以a3=a,则am4=a2 1满足a,=,所以a,=故选D. 3 4=之故选C 8.B解析：由2-a1=3-1=2,a1-2=6-3=3,a4-4=10-6=4,a5 a4=15-10=5,归纳猜想得a,-a1=n(n≥2)，a。=a-1+n, n∈N·,n≥2.故选B.、 17.CD解析：已知数列1a,满足a,= 2a,0≤a,≤2 5,a+1= 则 1 9.A解析：由a1=1可得a2=2a1+2=4,43=2a2-1=7,a4=2a+2= 2a,-1,2<a.<l 16,a=2a4-1=31.最少移动次数为31.故选A 3 2 24 4=24-1=2×亏-1=5,4=24=5,44=2a,=2×5=5 10号得折：周为1a所以品宁品 4 3 a=2a4-1=2×51=5=a1,以此类推，对任意的neN”,a4= 1 21 a。,因此，数列{an|是以4为周期的周期数列，所以数列{a,I中所 、113,放a=，故答案为3’」 .1 有可能的取值有子，行，号，专放选m 参考答案黑白题01 18.A解析：由数列1a.}的前n项和S。=n2,得=S,-5s=92-82=17.: 0<a<1, 故选A 所以3ac0, 1 19.B解析：当n≥2时，5-1=2“-1,4，=S。-8-1=21-1-2+1=2“; 解得2<a<1.故远C (3,n1故 当=1时，4=8=21-1=3，不符合a=2,则a,{2,n≥2， (})o2 选B 四方法总结 四易错提醒 应用数列单调性的关能是判断单阔性，判断数列单调性的常用方法 有两个： 只有当n≥2时，S.-1才存在，所以要单独考鹿n=1时的情沉，若符 ①利用数列对应的函数的单调性判断： 合求得的通项公式a,(n≥2)，则41可与a,(m≥2)合并：若不符合， ②对数列的前后项作差（或作岗），利用比较法判断， 则霸分段表示。 20.BCD解析：数列{an}的前n项和Sn=-n2+7n,当n≥2时， 8,D解析：a,是数列1a,}的最小项，a,≥a5,即2-11n+a≥ n an=5.-5-1=-n2+7m-[-(m-1)2+7(n-1)]=-2n+8,而a1=51=6 号30，整理得(a-5)(a-6)≥a当n≤4时，a≥5a(a-6)i成 满足上式，所以a.=-2n+8.B正确：a1=6,a2=4,a1>2,放数列 5n 立，则a≥-25.当n≥6时，a≤5n(m-6)恒成立，则a≤0.综上，-25≤ |a,}不是递增数列，A不正确：当n>4时，a.=-2(n-4)<0,C正确； a≤0枚选D. 当m≤4时，a.=-2(m-4)≥0，即数列{a,}前3项均为正，第4项为 n-3 0,从第5项起为负，因此当n=3或4时，5。取得最大值，D正确.放 9C解折：令，无产0，解得A≤3政 2心当n≤3时8，≥0 选BCD. 故当n=1,2时S.递增，且S3=S2,当4≤n≤8时，a,<0,放当n=4,5, 黑题应用提优 6,7,8时5n递减：当n≥9时，an>0,故当n≥9时5.递增，且a1= 1.A解析：①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是 2 1 方a=0,9,…a-5,故5<5S取得最小值 无序的：②说法错误，两数列的数排列顶序不相同，不是相同的数列； 时，n的值为8.故选C ③说法错误，数列1,3,5,7是有穷数列，面数列1,3,5,7，…是无穷数 10.ABC解析：观察此数列，偶数项的通项公式为aa=22,奇数项是 列：④说法错误，由数列的定义，可知1,1,1，…能构成一个常数列故 用它的后一项减去它后一项的项数，即a2-1=42。-2n,故C正确：由 选A. 此可得a0=2×102=200,故A正确：a9=a2n-20=180,故B正确；按 2A解折：现聚1子子当可看片子号 135,7…,分母 照D选项中的前n项和公式可得S4=12,但是0+2+4+8=14，不符 合，故D错误 是2n-1,分子为m2,故第8项为64 故选A 11巧解折：由a12 。+2所以2.. “n+2%.可得21。n a1 a2 a3 3.BCD解析：因为数列{a,单调递增，所以a1>a,即+1+ aw12.3 只整理得aen,即ac+a,aeN恒成立因为a)=+n在 a(a*产na所以g 2 2 21 2一因为a1=1,所以a.=nn+所以4010x1i药，放答 neN·时的最小值为2，所以a<2 4.B解折：由31），变形得到28=a1+a),当=1时。 美为行 2 1-a。,n为奇数 241=2S1=1+a1,解得a1=1:当n=2时，2S2=2×(1+42)=2×3=6,解 12.3 97 解析：由a1=3,a1=《 1 得a2=1-a1=-2, 得2=2：当n=3时，2S,=3×(1+a3)=2(3+a3),解得43=3.故选B n为偶数， a. 5A解：在数列a中，4=2a,+h(+） 1 3 1 a 2,a=1-a3= 1=3,4,=1-=-2,所以数列a,是以6为周期的周期数列，所 以数列{a,|的前99项和为16(a1+a2+a3+a4+asta6)+a1+a2+a,- 3 h2+h=2h(2x2x…)24hn.故a=2h10 3 ?故答案为3，受 故选A 13.a,=2-(答案不唯一)解析：因为函数a,=2-的定义域 四重难点拔 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： 为N”,且a=2-在N~上单调递增，a,是无穷数列，0<2 ①当出现a1=ann)时，用累加法求解： ②当出现=n)时，用累乘法求解 。2,所以满足3个条件的数列。的通项公式可以是。，=2一日 d. (答案不唯一)。 6.A解析：依题意，由关系式a1=八a,)得到的数列a,满足a1> a。,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象，只 14.解：方法-4-6，=(a+2)(9）”-(a+1)(9）广 有A选项满足，故选A. 7.C解析：因为对于任意neN”都有a.>aa1, (当9时1>0，即%当a=9时 选择性必修第二册·RUA黑白题02 a0ag=0,即a0=ag:当n>9时，an1-a,<0,即a1<a,故a1<2<!3.ACD解析：设等差数列1a.的公差为d,对于A,a1+3-(a.+3)= <ag=a10>01>az>…,数列1a,中最大项为ay或a10,即最 a1-a=d,为常数，因此{a,+3是等差数列，故A正确：对于B, 大项是第9项和第10项，其值为10 a21-a=d(a1+a.)=d[2a1+(2n-1)d],不为常数，因此a2}不是 19 等差数列，故B错误；对于C,(a2ta1)-(a1ta,)=a2-an=2d, 方法二：设a(>1)是数列a,1的最大项，则≥ 为常数，因此{a1+a,}是等差数列，故C正确：对于D,2aa+1+(n+ ae≥aklt 1)-(2an+n)=2(a1-an)+1=2d+1,为常数，因此{24n+n是等差 数列，故D正确.故选ACD 1 1 (）≥2( 4A解析：由等差中项的定义，知a,6的等差中项为3+W万万一互 2 10k+10≥11k, 整理，得 得9≤k≤10，所以k=9或k=10.又a1= 《5-2)+(5+)-5,故选A 11k+11≥10k+20. 2×(3-2) 20 a,a0,即数列{a,中的最大项为a=a0 ,即最大项是 101o 5.D解析：由于42，a4是方程x2-3x-4=0的两根，所以a2+a4=3.又 第9项和第10项 6,是等差数列，所以a:=24,所以=子，故选D 压轴挑战 6.A解析：由2a,3,a-6成等差数列，则2×3=2a+a-6,得a=4.故选A 7.C 解析：根据题意，a4=a1+3d=1+3×x2=7.放选C. 1.(985,211)解析：观察题图可知，当i为奇数时，第i列及第i行的 8.C 数据将按从上到下，从右到左的顺序排列，即a1,心，aa,,aa,心，…， 解析：设等差数列1a.}的公差为d,则2d=a4-a2=4,则ag=2+ 6d=1+3×4=13.故选C. 4a,Daa,>,,aa.逐渐增大，且aa.=xi=2,当t为偶数时，第 i列及第行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列，即a,b, 9.B解析：由a1=a.+5可得，a1-an=5,数列{a,1为等差数列，且 公差d为5，所以a,=a1+(n-1)d=5n令a。=5n=20,所以n=4.故 ad,2b,aa,…,a,Da心1，D,…,a<,b逐渐增大，且a<b=ixi=2, 选B 所以ae31.13=312=961,ae15,3=152=225,所以acm.b=961+1=962. 10.D解析：设|a.}的公差为d,因为2+a1=7,04+a6=22,所以 因为由题意可知第32行的数从第一个数开始连续32个数依次增加 (a1td+a1+2d=7, 1,第15行的数从第一个数开始连续15个数依次减小1，所以 得-l所以o,=4+7a=-1+7x3=20, (a1+3d+a1+5d=22, d=3, a<2,w=962+23=985,a<15.1=225-14=211,所以(a<2,20, 故选D a<15,15)是(985,211)，故答案为(985,211). 11.D解析：设等差数列首项为a1=-12,公差为d,由从第10项开始 2解：(1)因为a4-(a+)4,=0,则会，且=1，所以数列 n+l 1 为正数.所以0-仁Bt0解得子≤子，故D正确 (a1o>0,(-12+9db0, {骨}是各项均为1的常数列，则÷-1，可得a,,所以数列1。， 故选D. 的通项公式是a.=m 12得折：因为aa=10,所以，=5，所以=7g2故选R (2)由(1)可得6，=3-An2,则b4-6,=[3-A(n+1)2]-(3” 13.B解析：由等差数列的性质得，a+a6+a1o+a13=(a+a1s)+(a6+ An2)=2×3-A(2n+1),若数列1b!为递增数列，则b1-bn=2×3°- a1o)=2a,+2ag=4ag=32,ag=8又d≠0，m=8故选B A(2m+1)>0对任意neN·恒成立，可得2x3 2×3" 2n+>A,令6=2 14.D解析：因为an是等差数列，设公差为d,则a2+a5+ag-(a1+a4+ 2×3+12×3n a)=3d,ag+as+ag-(az+as+as)=3d,a+as+ar,a+as+as, 8n×3n 则c6,2n+32n+2n+32n+>0对任意neN”恒成 a+6+ay也成等差数列，所以a+6+ag=2(a2+a5+a,)-(a1+a,+ 立，可知数列{c.|为递增数列，则c,≥c1=2,所以A<2,即入的取值 a)=2×24-15=33.故选D. 范围为(-0,2) 15.ABC解析：d>0,则a.是递增数列，因此由a1+a2++ao=0得 a1<0,ao>0,a1ta2+tao=5(a1+an）=5(as+as)=0,a5+a6=0, 4.2 等差数列 a1+a1o=0,又a2+a1=a1+a1o+2d>0,故选ABC. 4.2.1等差数列的概念 16.7解析：a1+a2+a++a12=21,a1+au=a+a1n=+a0=a4+ 217 白题 a,=a+0=a6+62心a++at01=7.故答案为7 17.36解析：因为a5+a=+a,所以a1-a5=ag-a2=9,因此a哈 111111 1 1 1.C解析：对于A,326,432因为6≠-2所 a=(ag-a2)(4+m2)=9x24y=36故答案为36. 以A不是等差数列：对于B,k6-g5=g号，67-g6=g行，因为 6 18.C解析：a,是等差数列，若a1<a2<a,可得d=a2-a1=a3-a>0, 所以数列{a.}是递增数列，即充分性成立：若数列|an是递增数 7 37 1 g名g石，所以B不是等差数列：对于Cg1。g一8 列，则必有a<a,<a3,即必要性成立.所以“a1<a<a3"是“数列1a. 是递增数列”的充分必要条件故选C 所以C是等差数列：对于D,3-2=1,5-3=2,因为1≠2，所以D不是 19.B解析：根据题意可知，am是非负数，故am=10-2m≥0，m≤5， 等差数列，故选C. 故m的最大值为5，故选B. 2.B解析：由数列{a,}的通项公式a,=n+b,得|a.}是等差数列，且 20.(2,+∞)解析：由|a,1是等差数列且是递增数列可知，函数八x)= an-a.-1=k+b-k(n-1)-b=k.故公差为k,故选B. (k-2)x+3在R上是增函数，根据一次函数的图象与性质，可得k 参考答案黑白题03