8.3 简单几何体的表面积与体积 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

8.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.(2024·江苏连云港高一期末)用油漆涂100个 无盖圆台形水桶（桶内外侧都要涂，桶的厚度 忽略不计)，桶口直径为30cm,桶底直径 为25cm,母线长是27.5cm.已知每平方米需 分制线一片瓦 用油漆120g,共需用油漆（精确到0.1kg) (第3题) (第4题) ( 4.(2024·四川成都高一期末)如图，一个三棱 A.6.7 kg B.6.8 kg C.6.9 kg D.7.0 kg 锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D,E,F, 2.(2024·福建福州高一期末)如图①，在高为h 经测量知SD:DA=SE:EB=CF:FS=3:1, 的直三棱柱容器ABC-AB,C,中，AB= 设该容器的体积为V,该容器最多能盛的水 AC=2,AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水 深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面 的体积为V,则 上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水 29 A.3 55 面恰好为A,B,C(如图②)，则容器的高h为 c 甜 5.(多选)(2024·福建福州高一期中)约翰逊多 面体是指除了正多面体、半正多面体以外，所 有由正多边形面组成的凸多面体.其中，由正 多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面 体，台塔，又叫帐塔、平顶塔，是指在两个平行 的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍） A.22 B.3 C.4 D.6 之间加人三角形和四边形所组成的多面体各 3.(2024·湖北武汉高一期末联考)《天工开物》 个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角 是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性 台塔如图是所有棱长均为1的正三角台塔， 科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的 则该台塔 方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同 A.共有15条棱 学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆 B.表面积为3+23 桶，圆桶底面外圆的直径为20cm,高为 20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚 c商 度为1cm的黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏 土层分割成四等份（如图），等黏土干后，即可 D外接球的体积为子 得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片 6.(2024·安徽毫州高一月考)一个长方体的 瓦，全年级共1000人，需要准备的黏土量（不 长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个高为 计损耗)约为（参考数据：T≈3.14）( 3的贯穿上下表面的圆柱形孔后，其表面积没 A.1.3m3B.1.5m3C.1.8m3D.2.2m 有变化，则孔的半径为 必修第二册：RU黑白题068 7.(2024·江苏常州高一月考)将一个圆形纸片 压轴挑战 裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的 (2023·安徽合肥一中高一期中) 侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为S甲 数学史上著名的波尔约-格维也 和2，体积分别为，和V:若2 甲=2，则 纳定理：任意两个面积相等的多 边形，它们可以通过相互拼接得到.它由法卡 斯·波尔约和保罗·格维也纳两位数学家分别 Vi 在1833年和1835年给出证明.现在我们来尝 8.(2024·广东茂名高二期 试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积 中)《九章算术》中将正四 都与原平面图形的面积相等：(1)给出两块相 棱台体（棱台的上、下底面 同的正三角形纸片（如图①、图②），其中图①， 均为正方形)称为方亭.如 沿正三角形三边中点连线折起，可得到一个正 图，现有一方亭ABCD-EFHG,其中上底面与 三棱锥：图②，正三角形三个角上剪出三个相同 下底面的面积之比为1：4，BF=,方字 的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长 的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭 为三角形边长的？，有一组对角为直角，余下部 四个侧面的面积之和为125，则方亭的体 分按虚线折起，可折成一个缺上底的正三棱柱， 积为 而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三 9.(2024·陕西咸阳高一期中)如图，某种“笼 棱柱的上底 具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层 分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的 底面相同，圆柱有上底面，制作时接头忽略不 计.已知圆柱的底面周长为32πcm,高为 (1)试比较图①与图②剪拼的正三棱锥与正 30cm,圆锥的母线长为20cm. 棱柱的体积的大小： (1)求这种“笼具”的体积 (2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如 (2)现用100m2的纱网材料制作这种“笼 图③)，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使 具”，问至多可以制作多少个“笼具”？（假 它的全面积与给出的三角形的面积相等请 设纱网材料没有浪费，结果保留整数)》 仿照图②设计剪拼方案，用虚线标示在图 ③中，并作简要说明 3 进阶突破拔高练P05 第八章|黑白题069丽丽)+号x(时+时+V所)=2x4+}x 955 6464 故选B 3(=x16tex416mx4)+万(=x16mx1+v16a) 5.ACD解析：台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条 棱，A选项正确： 43√2π(m3),故选D. 台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均 17.128m解析：由题意，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后，所得 3 3 为1，得表面积为S=6x之X1×1×+3x1×1+4× =3+ 几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体，侧该 5w3 组合体的体积V金林=V+-V球=子×m发4X4+mX4X4- ,B迹项错误： 如图①，上底面正三角形ABC在下底面正六边形DEFGⅢ内的投影 为△A'BC,则O点是正六边形DEFC的中心，也是△A'B'C的 18,C解析：设两球的半径分别为R,r,4πR-4m2=48r→R2-r2= 中心 12,,(R+r）(R-r）=12.又2πR+2r=12π→r+R=6,,-t=2.故 选C. 四方法总结 球的截面的性质： (1)球心和载面凤圆心的连线套立于载面： (2)球心到截面的距高d与球的岸径R及线面圆的半径r之问满足 △AB'C和△ODE都是正三角形，C是△ODE的中心，棱长为1，则 关系式d=√R-7 19.A解析：设球0的半径为R依题意，00+=R2=00+r行，则(4- BC=有如腾2，所以台塔的高c心=VBC-C=,√号， 1-3.6 002)2+1=00+9.解得002=1，因此R2=10.所以球0的表面 C选项正确： 积S=4m2=40m.故选A 如图③①，设上底而正三角形ABC的外接圆圆心为O,则半径「1= 20.500m解析：如图，设正方体上底面所在平 3 3,下底面正六边形DEFG的外接圆圆心为O,则半径，=1， 面截球得小圆M.侧圆心M为正方体上底面正方 形的中心，设球的半径为Rcm,根据题意，球心0 到正方体上底面的距离等于(R-2)cm.而圆M 的半径为4m,由球的截面圆性质，得R2=(R-2)2+42,解得R= 5m将球的半径代人球的体积公式得gx:0四(m。 4 3 8.3阶段综合 2 6 黑题阶段强化 设台塔的外接球率径为，0，=a,则有+1=(。+)广 1.C解析：30m=0.3m,25cm=0,25m,27.5em=0.275m,120g= 0.12kg,Sw=m×0.275× /0.3.0.25 2+2=0275×0275m,s=m, (停）广或4=（停）广片（停）广部得0所以=1 4 4 02)=0125×0125,故一个桶需要涂漆商积为3=2(5如+ 台塔的外接球体积V=了mR'=了，D选项正确，故选ACD .3解析：长方体被钻掉一个圆柱形孔后，长方体的表面积诚少了两 Se)=0.1825T(m2),故100个桶需要涂漆100×0.12×01825π= 个园柱的底面积大小，同时又增加了例柱的侧面积，在上而往下面 69(kg).故选C. 结一个圆柱形孔后其表面积没有变化，.圆孔的侧而积与两个底面 2.B解析：由题图2知6-44,35么6,4，其中h表示三棱桂的 的而积和相等，设圆柱的底面半径为r,则2π2=2mr·3,即r=3.故 容案为3. 商，放vcm中，=Vc444-Ve-4,=Sa44,-35a4,h= 7.√而解析：设母线长为1，甲圆锥底面半径为1，乙圆锥底面半径为 3564,6,h,因此可知无水部分休积与有水部分体积比为1：2.所 622所以2平2平2期学1 S231h 以题图①中无水部分与有水部分的高度比为1：2得=3.故选B. 所以=子宁所以甲网锥的高，=P- 2 P5.乙 3.A解析：由条件可得四片瓦的体积V=π×112×20-×102×20= 9 3 420加(3)，则1000名学生，每人制作四片瓦共需黏土的体积为 1 1000×420云=420000r(m3),又T3.14.所以共需黏土量约为 13m3.故选A. 维的高2=P-。P.22, V吧 31 4.B解析：如图，连接DE,DF,EF,当D,E.F三 9 3 点在水平面时，该容器盛水最多，因为SD: √10.故答案为0 =EB=3:1.所以-（任）月 56 8.3 解析：由题意得5.1 B2,设EF 6又因为GF:俗=3：1，所以C,F到平 9 2x,则AB=4x,BF=6x,过点E,F在平 面ABFE内分别作EM⊥AB,FN⊥AB,垂 面SB的距离之比为4：1，所以。9x1.9 6w16*6所以 足分别为M.N,如图. 在等腰梯形ABFE中，因为EF∥AB,EM⊥AB,FN⊥AB,则四边 参考答案黑白题039 形MNFE为矩形. 所以MN=EF=2x,EM=FN 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 因为AE=BF,EM=FN,∠A1E=∠BNF=0 8.4.1平面 所以R△AME2R△BNF,所以AM=BN=B-EF 基础过关 2 = 白题 1.D解析：“点A在直线1上，1在平面a内"用数学符号表示为Ae 在RI△BNF中，由勾股定理得FN=√BF-B=5x. 1Ca.故选D 所以等腰梯形ABFE的面积为S=2+4 ·5x=35x2=35,所以 2.B解析：对选项A:经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A 能确定一个平面。 x=1,所以EF=2=2,AB=4x=4,方亭的高h=√(、5)-1=2，故方 对选项B:对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面， 故B不能确定→个平面. 亭的体积为3hx(S1+S年+1F)=写×2x(4+16+v网) 对选项C:经过两条相交直线有且只有一个平面，故C能确定一个 的故答案为9 平面 对选项D:经过两条平行直线有且只有一个平面，故D能确定一个平 9.解：(1)设圆柱的底面半径为r,高为，圆维的母线长为1，高为血， 面故选B 由题意，2(=32m,.r=16m, 3.B解析：如图，连接AD1,BC,BD,BE 则h1=√20-7=√202-16=12(cm), ,Oe直线AE,AEC平面ABC,D,,Oe平面ABC,D, 这种笼具的体积=rh-号rh,=(6x30- 又：OE平面BB,D,D,平面ABC,D1∩平面BB,D,D=BD1,∴O∈直 3×16x 线BD1∴D1,O,B三点共线 △AB0△EDO,OB:OD1=AB:ED1=3:1.0B=30D-故 12=6656a(m3). 选B (2)由(1)可知，圆柱的侧面积S,=2mh=2π×16×30=960r(em2), 圆柱的底面积S2=2=256π(cem2),圆雏的侧面积53== 320m(cm2). 这种“笼其“的表面积S=S,+52+S3=1536m(cm2), 至多可以制作100x10 ✉207（个）“笼具“ 1536m 压轴挑战 (第3题) (第4题) 解：(1)依题中剪拼方法，有V:>Ve 4.A解析：如图.空间四边形ACD. 推理：设给出正三角形纸片的边长为2，那么正三棱锥与正三棱柱的底 因为EFC平面ABC,(GHC平面ACD,所以点ME平面ABC,且M∈平 面都是边长为1的正三角形，其面积为现在计算它们的高。 面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC.所以点Me直线AG.因为AC与 4 BD没有交点，所以ME直线BD.故选A 如图①所示，在正三棱锥中 5.D解析：分两类进行讨论.①若B.C,D三点不共线，则它们确定一 个平面a.A,B,C,D共面，，点A在平面a内 ,B.C.D,E共面，∴.点E在平面a内， 在题图②一顶点处的四边形中，如图②所示。 .点A,E都在平面a内，即A,B,C,D,E五点一定共面 ②若B.C.D三点共线于1.若AeL,Ee1,则A,B,C.D,E五点一定共 面，但平面不唯一： 若A.E中有且只有一点在1上，则A,B.C,D,E五点一定共面：若A, E都不在1上，则A,B,C,D,E五点可能共而，也可能不共面 6.D解析：如图.在正方体ABCD-A,B,C,D,中， AM1,AB,AD三条直线两两相交，但AM1,AB,AD 不共面：AB.AD.BC都在平面ABCD中，但AD BC不相交所以空间中有三条直线a,b,c,则“a 6.e两两相交”是“：，b,c共面”的既不充分也不 直三校性商N=LPN:N=m名××2-1)=x号 必要条件故选D. 32 7,D解析：对于A,空间四点共面.如平面四边形，其中任何三点不共 g-=(m号a）厚-（管5）9经2 线.故A错误： 24>0. 对于B.空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四 .柱>e 点不共面，故B错误： (2)如图3，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条 对于C,空间四点中任意三点不共线，则此四点可能共面.如平面四 线段的中点为顶点作三角形 边形，故C错误： 以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形 对于D,空间四点不共面，如果任意三点有共线的.那么此四点就共 三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形。 面.与已知矛盾，故D正确.故选D. 可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直 8.证明：a∥b.a,b确定一个平面.：anc=A,bne=B,Ae4,Be 三棱柱，再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱 b.Ae,Bea,ABCa,即eC,,b,e三条直线共面 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 白题 础过美 1,D解析：由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的 两条直线故选D. 必修第二册·RJ黑白题040