第六章 平面向量及其应用 真题演练-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

第六章 真题演练 黑题 真题体验 限时：60min 考点1平面向量 的中点，若1P01=√2，则P·P的最大值为 1.(2024·新课标全国I)已知向量a=(0,1), b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( B.1+22 A.-2 B.-1 A.1*2 C.1+2 D.2+√2 2 2 C.1 D.2 7.(2023·新课标全国Ⅱ)已知向量a,b满足 2.(2024·北京)设a,b是向量，则“(a+b)· la-b1=√3，la+b1=12a-bl,则1b1= (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 ( 8.(2024·天津)在边长为1的正方形ABCD中。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 点E为线段CD的三等分点，CE=之DE,B= C.充要条件 AB+uBC,则A+μ= ;F为线段BE D.既不充分也不必要条件 上的动点，G为AF中点，则A正·DC的最小 3.(2022·新高考全国I)在△ABC中，点D在 值为 边AB上，BD=2DA.记Ci=m,Ci=n,则CB= A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 4.(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a=(3,4), 考点2解三角形 b=(1,0),c=a+h,若(a,c〉=(b,c〉，则t= 9.(2023·全国乙文)在△ABC中，内角A,B,C ( 的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且 A.-6 B.-5 G,则 C.5 D.6 5.(多选)（全国高考）已知0为坐标原点， c P (cos a,sin a),P2 cos B,sin B), 10.(2024·全国甲理)在△ABC中，内角A,B,C P(cos(a+β)，sin(a+β)，A(1,0),则( A.10p1=10P 所对的边分别为a,b,c,若B=60,B=9。 B.IAP'I=IAP;I 则sinA+sinC= C.OA.o=0p·0P N.2 B.2 D. 2 D.O.0p=0p·0P 11.(2023·全国甲理)在△ABC中， 6.(2023·全国乙理)已知⊙0的半 ∠BAC=60°，AB=2,BC=√6， 径为1，直线PA与⊙0相切于 ∠BAC的平分线交BC于点D, 点A,直线PB与⊙O交于B,C两点，D为BC 则AD= 必修第二册·RJ黑白题042 12.(2024·新课标全国I)记△ABC的内角A,14.(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB, B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ a2+b2-c2=√2ab. √3cosA=2. (1)求B; (1)求A. (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的 周长 15.(2024·北京)在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,A为钝角，a=7,sin2B= 13.(2023·新课标全国I)已知在△ABC中，A+ 月a B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求A; (1)求sinA; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中 (2)设AB=5,求AB边上的高. 选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 △ABC的面积 13 条件①：6=7；条件②：cosB=1条件 ③，如4a 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分。 第六章|黑白题04312 如图2，当点A,D位于直线Pm同侧时，设∠0PC=a.0≤a<牙，则 令y= 2 i,成mi励m(年-a）1x/o c(牙-a） 当占即6=3时，y有最大值名，此时了有最小值0 (此 415 3 2 时PE=3P0D=3PF与b=e可以同时敢到)： 第六章真题演练 4 黑题 真毯体验 平背2如+受-受时，可同.防有最大值 2 1.D解析：因为b⊥(b-4).所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0, 即4+x2-4x=0,故x=2,故选D. 2.B解析：因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,可得a2=b2,即1a1=1b1, 统上可得，.洲最大值为故选人 可知(a+b)·(a-b)=0等价于1al=1b1, 7.5解析：方法一：因为1a+b|=12a-b1.即(a+b)2=(2a-b)2.则 若a=b或a=-b,可得1al=bl,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性 a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0.又因为1a-b1= 成立： 3,即(a-b)2=3.则a2-2a·b+b2=b2=3.所以1b1=3, 若(a+b)·(a-b)=0,即1al=Ib1,无法得出a=b或a=-b, 方法二：设c=a-b,则1c|=3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b,由题意可得 例如a=(1,0),b=(0,1).满足1a1=1b1.但a≠b且a≠-b.可知充 (c+2b)2=(2e+b)2,则e2+4e·b+4b2=4c2+4e·b+b2,整理得c2= 分性不成立 b2,即1b1=lcl=√3.故答案为3 综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b"的必婴不充分条 8.45 件.故选B. 3 18 解析：因为CE=0E,母d=号贰.则成=成，正： 3.B解析：因为点D在边AB上，D=2D4,所以=2D,即Ci-C= 号武成.可得A=寸=1，所以A=于 4 2(C-C).所以C2=3C-2C=3n-2m=-2m+3n,故选B 4C解析c=(3+,4,s(a.c=m(b.c,即43416_3.解得1 由题意可知B成==1，.成=0， 51el lel 因为F为线段BE上的动点，设=k应=+k成，ke[0,, 5,故选C. 5.AC解析：A0P=(cs在，sina).0P=(csB.-imB),所以 所以成-(（行威成 10p1=√ea+ina=1,10P1=comB+(-inB)=1,故 10P1=OP1,正确：BA=(ee-l,nx),护=(csB-l,-inB), 又因为G为水中点，所以成=成+花=-底+市：号（行 所以1Ap1=√(cosa-1)2+im2a=√cmma-2osa+1+in2a= 1(1)成 v2ma四=√4m受=2血号同理1丽1= m=1(-咖即=2血号故11与不-定相 可得.成-[（行-1）成+成]·[片（行-1）应 等，错误；C.由题意得O·0P=1×eos(a+B)+0×sin(x+B)=cs(a+ (2-1)成]=3（-1）+(-1)=号( B),0P·0=csa·eo*B+sin&·(-inB)=s(a+B).正确： 6123 D.由题意得0·0P=1×c%a+0×ina=cosa,0p.0P 510 sB×cos(a+p)+(-iB)×in(a+B)=c0s(B+(a+β))=os(a+2B), 又因为ke[0,山，所以当k=1时，衣.心取到最小值-这放答案 一般来说.O.0P≠0P,.0.故错误.故选AC 6.A解析：1OA1=1.10P1=2.则由题意可知∠AP0=45°，由勾股定 为好品 理得PA=√OP2-0A2=1, 9.C解析：由题意结合正弦定理可得s对nAmB-in Beos A=sinC, 如图①，当点A,D位于直线P0异侧时，设L0PC=a,0≤a<,则 即sin Acos B-sin Beos A=in(A+B)=sin Aeos B+sin Beos A,整理可 得sin Beos A=0,由于B∈(0，T),故simB>0.据此可得%A=0,A= 号则86=号写品故选c 1+c052ax 2 。10.C解析：因为B=60,2=},则由正弦定理得血nC司 g sin'B=1 4 3 ,当2a- 时 iPi有最大值 由余弦定理可得62=n2+2-ac= 4r,即a2+e=13 13 13 根据正弦定理得in2A+inC= 4sin Asin C= 12 7 所以(inA+inC)2=im2A+im2C+2 sin Asin C=4 因为A,C为三角形内角，期s血A+mC>0,则mA+血C=5 2 选C 参考答案黑白题025 11.2解析：如图所示，记AB=c,AC=b.BC=a. 方法一：由余弦定理可得22+2-2×2×b× 14解：1由m5cs=2可得}n4: 2sA=1 cs60°=6因为6>0，解得b=1+3.由 即m(4+号）-1， /Sac=SBAM+S△cn可得为 -×2×h×in60°= 2×2xi0xsim30+2×10 bx.in30, 由于Ae0,)→子e(行智)故4号受解得A:后 (2)由题设条件和正弦定理得、2simC=csim2Ba2 sin Bsin C= 解得AD=3251+)=2故答案为2 2sin Csin Beos B, 6 1* 3+√3 又BCe(0,),侧inc≠0，进面月=2，得到B=开方 方法二：由余弦定理可得22+2-2×2××6%60°=6.因为b>0,所以 是C=-A-B= 7a b=1+w3. 6 由正弦定理可得 m60“mB“mC解得mB=6+2 2 4 sin C=sin()=sin(B)=sin Acos Bsin Bcos 4 由正弦定理可得” b sin Asin B"sin C' 即2 分·解 因为1+3>6>2.所以C=45°.B=180-60°-45°=75°. 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2.故客案为2. 得b=22,c=6+2,故△ABC的周长为2+√6+3w2 12.解：(1)由余弦定理有a2+b2-e2=2abc%C,对比已知a2+2-c2= 2ab,可得sG.+-c2.2山2 15.解：（由圈意得2加omB==:,因为1为施角。 2ab2ab 2 2 。7 因为C(0,),所以imC>0,从而mC=√1-。C= 76,则6 所以mB≠0.则2inB= B万”m不解 号 7 因为mC=√2cmsB,即cosB= 之又因为B∈(0，m）,所以B=元 得m小 2 3 3,cos C 因为4为纯角，则4=知 3 (2)由(1)可得B= 2,Ce(0,),从面C= 44 (2)选择①6=7.则inB= 53 号，因为：所以B为 面4血管血（任君）号9号对6 视角，则公=号 此时A+B=开，不合避意，舍弃 5项红行·从”4兰、 由正弦定理有“ b 4 .c= 选择②B=经，因为B为三角形内角，则mB 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△做= 代人2imB=5b得2x35_ 7 147 b.解得6=3. }6inc=,G.6.2.3+5 22℃228, 21 由已知△A8C的面积为3+3，可得3+，3=3+3，所以e=22. 8 ()海语 13.解：(1)A+B=3C百-C=36,即C=4 则sAc2bG7x7x3x5253 2sin (A-C)=sin B=sin(A+C),..2sin Acos C-2cas Asin C= 14 4 sin Acos C+cos Asin C,.'.sin Acos C=3c06 Asin C,.'.sin A=3c0s A, 选择③csin A= 55.则有x 3.5厚，解得c=5 22 tan A=3.0< 2 sin A=- 3310 010 则由正弦定理得· ,75 nAc即方mc解形咖交 14 (2)由(1)知，c0sA=- 1o10,sinB=si血(A+C)= 1 m4mG+m4inG=2x(3V而，而）.25 2*（10+10 ，由正弦定理得 因为6为三角形内角：则一G=,√(-告 5x25 血CnB可得6： 5 2 =20.2Bh=2AB· 兴()源 310 AC.sin A,..h=b+sin A=210x- 10 =6 则5auc=子oin月=x7x5x23语-155 14=4 必修第二册·RJ黑白题026