6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

B1=2,所以1BC1=1,又C=C+B+市=C+B+市=成+ 花=A矿〔AeR),应，不共线，所以A m'所以H= 4=1, 号成.所以0= Am,故选D √2x110= 解析：因为矿=元，所以成=+矿=成+花=威+ 3 2 (2)因为要求C示，C的最小值，所以不妨设Q点在P点的左侧，设 子（屁-威耐+成又威=A腐加AeR),所以 A0=mBC,0≤m≤2，则Cd=C++Ad=Bi+(m-1)B武，C=C+ 1 3 B+币=+m成，所以C.=(+m武)·[B+(m- 1)B=B+(2m-1).B武+(m2-m)心=m2-3m+5=m 9.A≠2 解析：当向量(e,-2e2)与(Ae1+e2)平行时，则存在唯一实 ）广当到.本重到最小值为 数，使得+4(6，-2).所以什，解得A1一子因为 1=-24. e-2e2,Ae,+e1是一组基底，所以e,-2e,Ae+e2两个向量不共 压轴挑战 线.所以A≠- C解析：因为向量a.b都为非零向量，设a=0,b=成.-b=0亦 故答案为A以号 2 黑题 应用提优 1.BC解析：由题意可知：因为e1,e2是平面a内两个不共线的向量 0 所以{：1，e:是平面《内所有向量的一个基底，根据平面向量基本定 可知-b与b共线，即点P在直线OB上，又因为1a+bl=Ia-(-b)1= 理可知：A,D说法正确，B说法不正确：对于，当A,=A,41=2=0 O-0币=P,当且仪当AP与直线OB垂直时，1a+b1取到最小 时，则A1e141e2=A2e142e2=0,此时任意实数A均有A,e141e2 A(A2e,4e2),放C说法不正确.故选BC. 值2，如图，可得血(a,b)=2 =,且<a.b》∈[0m].所以(a.b)= 2B解析：如图.因为C=D.所以A而= 名或做选心 号花.即d-2成，号A花，所以 6.3平面向量基本定理及坐标表示 市：号+2A动，因为点P是线段D上一 6.3.1平面向量基本定理 点，可设B亦=x励所以币-店=x(市-)，即A币=(1-)成+x市 白题 基础过关 .2 1.BCD解析：，不共线的任意两个向最均可作为平面的一组基底， 所以子解得A=石放选B x=2A, ∴B,C正确，A不正确：由平面向量基本定理知D正确.综上可得，B, 四方法总结 C,D正确 2.ABC解析：对于A,e1-e2=-(e2-e,),则e1-e3与e21为共线向 (1)4,B,C三点共我问题，利用A=A元构造方程求参数. (2)已知向量ma+b与ha+b(a与b不共线)共线，求参数值的 量，不能作为平面向量的基底：对于B,21-5=2e,-21 步聚： ①设ma+nb=A(ka+nb): 则2，心与12为共线向量，不能作为平面向量的基底：对于 C,-2(2e2-3e1)=6e,-4e2,则2e2-3e,与6e,-4e为共线向量，不能 ②参罪得(m-a)a=(Ap-n)b,款mAk, (n=Ap: 作为平面向量的基底：对于D,若存在实数A使得e1+e:=A(e,+ ③解方程组得参数值 一30，)，则无解，所以©te,与e,+3e,不共线，可以作为平而3.C解析：由已知可得=花-市=b-a,故D错误：因为.0，R分 向量的基底，故选ABC 别是△AC三边B,BC,C1的四等分点，由亦=成-成-= 3.B解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0,<0.故选B 4.C解析：因为点D,E分别为AC,BC的中点，F是DE的中点.所以 亦花成}花诚，即宁旅选c 5.C解桥：F为BE的中点成=子成=-成=- 办花访子放C正确故选C 2成：成=2武武=成=号应，则配=成+成=成+ 4.C解析：如图所示，延长AO交BC于E. 由已知D为△AC的重心，则点E为BG }函=成+（成）}产成故选心 的中点，可利动-2成，且：（ 6.a-2b解析：设c=a+yb,则xa+b=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)= （-36*-2时有邦.因化e=6-h A花，又由B成=4D元，可得D是BC的四等 y=-2, 分点测励，动：号正+屁=}d)+子（花 4 枚容案为a-2b. 而音配.肉为励花.所以a司言所 15 7.D解析：如图.因为=mD心，所以D心= 。应所以花=成=动应.因为 参考答案黑白题007 5.D解析：如图，过D作DM LAB,DN1BC,故Bi= 10.证明：(1)设=a=b,则C亦=C+=a+2b,B正=+正=-2a BV+B.由于∠ABD=30,AB=1,BC=√3，不妨设 b?点C,G,F和点B,G,E分别共线，存在实数A,4使C心 N=a,则BW=5a,故励=+成=B1 AC=Aa+2Ab,B成=uB=-2a-b,C=C-B成=(+2)a IBAI 2 成 =3aBi+“B成，结合=A+u成 (2h+u)b又C店=C+A店=2a+2b, A+24=2解得 =3" IBCI (2A+4=2. 2 3 (AeR),可得A=3a=是，放A-3知=0，故选D. BC:GE=CG:GF=2:1. 6.45°解析：因为直线1上有不同的三点A,B,C,所以存在实数A,使 (2)点A,G,D和点B,D,C分别共线，存在实数m,n使励 得B=AB配，所以-0成=A(0元-0成).即=(1-A)O成+AO元所 n BC=n(-2a-2b)AG=m AD=m(AB+BD)=m(2a-2na-2nb)= 以“所以血a“a,因为a是锐角，所以a=45只故 a-2m加-2又配-：成a-子子号a号b 答案为45. 2m-2mm=2 2 4 解析：连接DF,因为D,F分别为C,AC的中点，所以 解得{ 励=)成，即D为C的中点 2 1 21 你是△C的中位线，所货化子，则应成，办：-： -2mn=3· 2 号号号所以子所 11.解：(1)由向量的线性运算法则，可得=A花+B①，=市+D成+ C2,因为M为线段BC的中点则Ci=-Bi,联立①2得2 丽成=成：成整理得矿：子+成由AM与m交 于点N,得B=1励，即A-市=t(市-花)，所以不=(1-t)A成+ :心因为A,共线，可知存在实数A,使得衣=入A 、121-a·1b3+31183x4×2+3=3故答米\ 7 8 7 6 3A 1-t= 4 = 5 为 解得 所 4 =2 8.证明：网边形ABCD是平行四边形，A花=A店+，且A=B武 y4k=c=号c应-元花d成=成-动 d所4 市-市=成-子动，应=元+成=+而-成 (2)由怒意，可设亦m应(0≤m≤分)）代人=：成y冲 市-=访-动成=成成=限，E∥m 并整理可得A花=x(A成-市)+y(市+D亦)=(x+m)A花+(y一x)i又 4 .四边形DEBF是平行四边形 无.流成越片国rw” 3 巴方法总结 y-x=1 用向量解浅平面几何问题的一般步骤： (1)选取不共线的两个平面向量作为茎底： 因为0≤m≤宁所以1≤≤子=-=-y(）广 (2)将相关的向量用基肉量表示，将几何何题转化为向量问题： (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解： 号在小，]小上单调递增则当y=1时.()=0，当y=弓时。 (4)再将向量问延的解转化为平面几何问题的解， ()=子，所以y的取值范国为 ] 9.(1)解：因为点M在线段AD上，可设=mA心.则0-=m(币 压轴挑战 i.即o=(1-m)0i+a励-(1-mai成 A解析：如图.因为四边形ABCD为平行四 又因为点M在线段BC上，可设Bi=nB成，则O成-O成=a(O元-0成). 边形，所以币=A,应+μ1B武=A,店+μ1花 即oi=n成+(1-n)0成=+(1-n)成 又点P在对角线AC上（不包括端点A,C), 所以A1=41且A1e(0,1),则2A子41=2A了 6 m=- 4 7 所以 解得 4 所以O=' 同理Ad=A2A店+4，Ad,因为点0在对角线BD上（不色括瑞点B,D), (2)证明：因为点M在线段EF上，设Ei=xE 可设B成=x证，所以Ad-店=x(市-A店)，即戒=(1-x)店+xA市，所以 所以0i=(1-x)0i+xO亦=A(1-x)Oi+xO成. 使得1且A00则实房-（六号）水 41=1, 由(1)可得 解得+3=7，即不论点B,F在线 3 A 1 = 7 内加院尝层西号当写 1+3为定值7. 段AG,D上如何移动，入+口 时取得等号，所以=子故击入 2 : 3 必修第二册·RJ黑白题008 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 3.BC解析：设Oi=a,0成=b,0记=c,0为坐标原点，则由c=Aa+(1- +6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 A)b(0<A<1)可知A,B,C三点共线，且C在A,B之间，选项A:A店= +63.4平面向量数乘运算的坐标表示 ! (-1,2),A花=(0,2)，A与A心不平行，选项A错误：选项B:A=(-2. 白题 甚础过送 4),元=(-1,2)，A与AC平行，且C在A,B之间，选项B正确：选项 1.A解析：设0为坐标原点，B点坐标为(，y),则花=(x,y)- C:=(-4.2),A元=(-2.1)，A与心平行，且G在A,B之间，选项 （-,2)=(+1,-2)=（1,3,则1解得=0所以B点坐标 C正确：选项D:A=(2,-2),A元=(-1,1)，A与A亿平行，但G不 (-2=3, y=5, 在A,B之间.选项D错误故选BC 为(0,5).故选A 4.D解析：由题可知4a+4b-2c+2a-2c+d=0.即d=-6a-4b+4e= 2.C解析：因为A(2,3),B(4,2).所以=(2，-1).所以=21-.故 (-6,18)+(8.-16)+(-4,-8)=(-2.-6).放选D. 选C. 5.D解析：a在基底p,9下的坐标为(-2,2)， 3.BCD解析：由平面向量基本定理知A结论正确：若a=(1,0)≠(1， ,am-2p+2g=-2(1.-1)+2(2.1)=(2,4). 3).但1=1.故B结论错误：，向量可以平移，：a=(x,y)与a的起点 设(x,y)为a在基底m,n下的坐标.则a=xm+n=(-x+y,x+2y）,即 是不是原点无关，故C结论错误：当a的终点坐标是(x,y)时.a=(x, 2,解得=0 y)是以a的起点是原点为前提的，故D结论错误故选BCD. (2.4)=(-x+y+2y).心x+2y=4, (y=2. :a在基底m,n下的坐标为(0,2).故选D. 4.B解析：B=0-0=(1,-2)-(-3,-5)=(4,3).故选B 6.C解析：设a=(x,y),对于集合M,(x)=(1,2)+A(3,4),即(x-, 5.A解析：3a+2b=3(-1,2)+2(3,-5)=(3,-4).故选A 6.A解析：设c=xa+b.x,yeR,则(7,3)=(2x+y,-x+6),即 2)=A(3,4).则-1=3，-12 -2=4,34 ①.对于集合N,(x,y)= 期 ,.c=3a+h.故选A. r=1. （-2.-2)+A(4,5),即(x+2y+2)=A4,51.则2=4A,+2 7.D解析：由两向量共线可知m·(m-2)=4×2,即m2-2m-8=0,解 (y+2=5A.4 得m=4或m=-2故选D, 22由①2解得x=-2,=-2故选C 5 8.B解析：由已知a+b=(3.5).只有(6.10)=2(3,5).即只有(6,10) 7.B解析：如图所示，建立平面直角坐标 与a+b平行.故选B. 系，所以A(1,0),P(0.1),又扇形的半径 9.(9）解折：南已知(2.3).成=(6，-3)，则=成- 为1，L40B=行，所以B(m至 (4.-6). 点P是线段极靠近4的三等分点，则市=号市=（子，-2)且 血)即（）所uaa 亦=亦-成则亦=n=(9）即r(9 0,o.成-（号9 ,由0币=ai+60成，得(0,1)= 10.-2解析：当a∥b时，由向量a=(x,1),b=(4,x),有x2-1×4=0, 2b=0 la=3' 解得x=2或x=-2.当x=2时，a=(2.1),b=(4.2),此时b=2a,4与 2w3 所以a+6=3,2 33 b方向相同.不满足条件，当x▣-2时.a=(-2.1),b=(4,-2).此时 6 3 b=-2a.a与b方向相反.满足条件.故答案为-2 3,故选B 11,D解折：由题意可知A访=(m-6,-2),A亿=(2，m-2),由于A,B,C 三点共线，所以A疗与AC共线，所以(m-6)(m-2)=-4一(m-4)2= 8.4.2)解析：设P(,）,则可=(6-，3-y),0币=(，).由= 0→m=4.所以A房=(-2，-2)，故选D. 2(6x) 解得=2即P(2,).设B(a.b).因为P 12,AD解析：A:假设a=Ac,则有=人显然不成立.放向量a,c不是 (y=1, l0=A, 2(3= 共线向量，所以符合题意：B:b-c=(-1,0),因为a=-(b-c),所以 2+0 a,b-c是共线向量，因此不符合题意：C:a+b=(1,1),因为a+b=c, 2 是OB的中点，所以 所以c,a+b是共线向量，因此不符合题意：D:a+b=(1,1),b-c b+0 a=4即B(4,2 1= 解得b=2. 2 1.0).假设ah4(b-e),则有0，显然不成立，故向量a+9.3解析：张题意，a+b=1,-)+(-,2)=(a-1,-n+2),b-mc b,b-e不是共线向量，所以符合题意，故选AD (-1,2)-m(-3.3)=(-1+3m,2-3m),而(na+b)∥(b-mc),则(n 13.(3,3)解折：由0，P,B三点共线，可设币=A成=(4h,4从).则 1)(2-3m)=(-n+2)(-1+3m).整理得n=3m,且m,n不为0.所以 币=0亦-可=(4-4.4).又A元=0元-0=(-2,6).由A币A心共线， =3.故答案为3 得(4-4)x6-4hx(-2)=0,解得A=子，所以亦=(3.3). 10.解：(1)A=Ai+成=(2e,+e2）+(-e,+ae2)=e1+(1+A)e因为A, 4 所以点P的坐标为(3,3)，故答案为(3,3) E,C三点共线.所以存在实数k,使得A正=kE元，即e,+(1+A)e2= (-2e1+e2),得(1+2k)c1=(k-1-A)e.因为e1,e2是平面内两个 黑题应用提优 k=- 1.BD解析：由题意，向量a=(1,-2).b=(-1.2),可得1×2-(-2)× 不共线的非零向量，所以+2：0，解得 2 (-1)=0.所以a∥b,所以A结论正确，B结论错误：又由a+b=(1- k-1-A=0. 3 1,-2+2)=(0.0)=0,所以C结论正确：因为b-a=(-2.4),所以b 2 a=-2a,所以b-a与a方向相反，所以D结论错误.故选BD. (2)B=+E=(-e1+Ae:)+(-2e,+e2)=-3e,+(A+1)e2=-3(2, 2.B解析：若向量a∥b,则3×2-A(A-1)=0,即A2-A-6=0,解得 A=-2或A=3.所以“A=3”是“a∥b”的充分不必要条件：故选 0+(A+10(2,-2)=-32.1)-2.-2)=(-7.-2 参考答案黑白题009 (3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以A币= 应用提优 设A(x,),则Ai=(3-.5-y),因为武=(-7，-2).所以 1.D解析：a⊥b,b∥e, 2+m=0解得m=-之，：m+n=-L故 --7解得任10即点A的坐标为(10,7) m+1=-n, (n=1, 5-y=-2, (y=7. 选D. 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 2.B解析：，a=(1,1),2a+b=(4,2),b=(2a+b)-2a=(2,0), .a+2b=(5,1),1a+2b1=/5+1=26.故选B 白题 基础过关 3.C解析：由=A-A=(1,-3),B1=√个+(3)产=1.得=3， 1.C解析：因为a=(-2,4).b=(1.1),则a-b=(-3.3),所以a·(a 则BC=(1,0),所以MB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C. b)=-2×(-3)+4×3=18.故选C 2.A解析：因为a·b=-x+6=3.故x=3.故选A 4.A解析：因为向量a,b满足1al=2.b=(1,22).且a·b=3w5.所 3() a·b。355 解析：设b=(x,y)(y0),则依题意有 以ma.bai62xms号.因为a.）e[0,a.所以(a X= b)=石故选 {F解得（会去）或 2 (5x+y=5. Y=0 故=（） y2 5D期折：由已知可得，6在a上的投影向量为。日-动 4.B解析：由m=(-1,2),n=(2,1),得m-n=(-3.1),所以1m-n1= 之a=(A.0.又b在a上的投影向量c=(0）所以A=所 √9+T=I0.故选B. 5.B解析：依题意，1a=√+(3)2=2，与a共线的单位向量为 a I 选D. 6,C解析：设m=(x,y)是模为5的“等模整向量“，则由模长公式得 6.7解析：因为a·b=2+2x=-4,解得x=-3,所以b=(2,-3),2a+ +=5,即x2+y2=5,由于xe[-5,5],ye[-5,5](x b=(4,1),所以12a+b1=√17.故答案为√17 yeN),则列举：当x=1时，3=±2：当x=-1时，y=±2：当x=2时，y 7.B解析：因为a=(1.0).b=(-1.1),所以a+2b=(1.0)+2(-1.1)= ±1：当x=-2时，y=±1.满足题意的(x,y)总共有8个故答案为C. (-1.2),所以(1,2)·(-1.2)=1×(-1)+2×2=3.(2,1)· 7.ABD解析：对于A:a+b=(3.4),(a+b)·a=3×(-4)+4×3=0,所以 (-1,2)=2×(-1)+1×2=0,(1,-2)·(-1,2)=1×(-1)+ (a+b)上a,故A正确： (-2)×2=-5.(2.-1)·(-1.2)=2×(-1)+(-1)×2=-4.故选B. 对于B:a-b=(-11,2),所以1a-b1=√(-11)2+2=55，故B正确： 8.B解析：因为a=(-1.1),b=(-3,4).所以a-b=(2,-3).因为1a1= 2,a-b1=√万，所以cs(a,a-b)=a:(a-b） -5 对于c:1a1v=5则有合（子号）-日 ial·la-b12×13 52而，故选B (，子)，即与向量平行的单位向量有（号）（ 26 9.B解析：a+b=(m-2.-1),由a⊥(a+b),则有a·(a+b)=-2(m 子）故c错误： 2)-1x3=0,解得m=故选B, 对于D:向量a在向量6上的投影向量为：b.。-4:6 10.AD解析：向量a=(A,1),b=(1,-2),期a·b=A-2.a∥b台-2入= (-4)×7+3x1.b= 1解得4=号 (72+12)2 0,放D正确放选AD 8.A解析：由于AB⊥BC,AD⊥CD.如图，以点 对于A,当A>2时，a·b>0,且a.b不共线，因此0为锐角，A正确： D为坐标原点，分别以DA,DC所在直线为 对于B,当A<2时.a·b<0,而A=时，0为平角，B错误； x,y轴建立平面直角坐标系，连接AC.由 于AB=AD=1.则△ADC≌△ABC. 对于C.当A=-2时.a·b=-4≠0,0不为直角.C错误： 而∠BAD=120°，故∠CAD=∠CMB=60°，则 对于D,当A=-】时，a,b反向共线，0为平角，D正确故选AD ∠=60.则D0.0).41.0,B( 11.B解析：因为AC·BD=-2×2+1×4=0,所以AC⊥BD,义|AC1= 31 √(-2)+下=5.Bi=√2+4平=25.所以四边形ABCD的面 2)c0..设(0，).0≤y≤5.则武=1..扇=（月 积S=了4C,BD=x5x2,5=5放选B 时 12.B解析：因为a=(2,3),b=(-1,1),则1al=√22+32=√13，a 京·有最小值头故选九 16 6-231,所以在a上的投影向量为·名=（倍 2 9、 10 解析：由题意可设a=(2,-1),b=(3,2).2a+b=(7,0), 3 3放选B a-b=(-1,-3),因此向量2a+b与a-b的夹角的余弦值是 13C解折：向整力在向量a上的投影向量为行·品依题意。 (7,0)·(-1,-3)√10 7x√/10 10 Q·b。,即号=-之解得1.则b=(1,1),于是a·b2放 10.(0.-2)(答案不唯一，满足x+y=-2即可)解析：由题意得a·c= 4x+4y.b·c=-4-4=-8,由于a·c=b·c,所以有x+y=-2,可以取 选C x=0.y=-2,得a=(0.-2).故答案可以为(0.-2) 必修第二册·RJ黑白题010 i2石解折：若a/.则1xA=5x5.解得A着b1c则ab)论 mx+ny 一，所以eos(F(a）,F(b))=%(a, b·c=0.即w3×43-3A=0.解得A=4.则b=(3.4).35a-2b b),故D错误故选ABC (3,1).设向量33a-2b与a的夹角为8，则osB= 6.3阶段综合 (33a-2b)a25-5,因为0e[0,1,放0=石故答案为 13/3a-2b1·1a2x22 6 黑题 阶段强化 36 1.C解析：对于A,由a=Ae,ue2,得(1，-2)=A(1,1)+a(1,2).所以 12.(-2,-6)解析：由题意得0=(0，-1)是一个单位向量，由于0成 三A业，解得=4；所以存在实数A4,使得a=Ae,+e,所 -2=λ+2μ. 4=-3. (-3,-4).放方向上的单位向量c=(子号）~点G在 以A不符合题意：对于B,由a=Ae1+ue2,得(L,-2)=A(0,0)+ 4以-2,4，所以儿业解得=-子AeR,存在实数A,使得 (-2=4μ， ∠40B的平分线上存在实数A使得元=A(可+e)=A(-号 a=Ae,ue2,所以B不符合题意：对于C.由a=Ae,*ue2,得(l,-2)= 号）a(子-号）A>a成1=2而(8 A1.)(2.2),所以三+2，无解，所以不存在实数A,使得 "(-2=A+24. a=Ae,ue2,所以C符合题意：对于D,由a=Ae,+ue2,得(1，-2)= )0,解得A9代人得元(-26 A(-1,2)(2。-4.所以{-2=2AA4满足24-A=1即可，所 13.解：(1)由题意知，A凉=(3,4)，元=(-1,2).因为(+1亿)1(A 以存在实数A4,使得a=Ae,ue2,所以D不符合题意 1A心，所以(A正+1A·(Ai-1A心)=A在-2A衣=0，即25-52=0， 2.ABD解析：因为A市=（-5,1)，C=(m+4,n),若店=C,则 解得1=±5， m4-5解得-9所以m+9=0.A正确：若店1成.则 (2)由(1)知店=(3,4)，A花=(-1,2)，所以店.A花=5，则a= (n=1, ln=1, 高动 -5(+4)+n=0.即4-5狐=20，B正确：若访/成.则装气 14.(1)解：因为=(7,3)-(1,0)=(6.3).A元=(4,4)-(1,0)=(3， 即m+5n=-4,C不正确：若与d互为相反向量，则m45·解得 n=-1, 4).所以ms(心=市·花.18+1225 A1A元3w5×55 ml:即m与m互为相反数，D正确，故选ABD (n=-1, (2)证明：因为D元=(4,4)-(2,3)=(2,1)，所以应=3D元，即AB∥ 3.B解析：集合A表示所有与x共线的向量，而集合B则表示平而内 所有与x和y共面的向量，故选B Cn.因为B减=(4,4)-(7.3)=(-3.1).Ai=(2.3)-(1.0)=(1.3), 4.B解析：若向量a=(2,1),b=(-4,3),则cs8= a·b 所以不存在A∈R使B武=AAi.即BC,AD不平行.又IB成1=而， llbl= =√/I0,所以A市1=B配1.综上，四边形ABCD是等腰梯形. 2x(-4)+1×3.5 15.解：(1)如图，以点A为原点.分别以AB,AD 5×5 ,0e[0,,则m0=个0-25 所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系 当AD=3时，AB=2.A=(2.0).AC= b1=lal1blsin 0=/5x5x25 =10.故选B (1.5).因此A元.A店=2×1+0×5=2. 5.B解析：由题意可知△ABC是以∠B4C为顶角 (2)设A1=,即点P的坐标为(0，)(0≤ 的等腰三角形，如图所示，AD⊥BC,BE⊥AC, ≤3).则P=(2,-).P元=(1,5-).P. 则DnE=0,设d=A市，B动=4成，则 =2x1+(--=-52=(-）0≤1. A= 2 1 当时成元脚得 4 (3)设C(1,e)(c>0),P(0,)(0≤r≤e),又B(2,0).则Pi+P元= μ成=访μ（正-=(1-）+μ正=访+花，所以a (2,-)+(1,c-1)=(3,c-21)Pi+P=9+(c-21)≥3.当1= 子成花.在m△E中，s乙RC福酒子放连B 二时取到等号.因此风的最小值为3 压轴挑战 6.B解斩：由圈意可得花=店+屁=破+=+（心+） ABC解析：对于选项A.因为a=(x,y),所以Aa=(Ax,Ay),所以 应：配+}成.因为四边形FGH是平行网边形，所以花：-成 F(Aa)=(Ax+Ay,Ar-Ay)=A(x+y,x-y)=AF(a),故A正确： 设b=(m,n),对于选项B,a=(x,y）,若a∥b,则x-my=0,F(a)=(x+ 所以d=*成衣=访+而-衣，所以G=号 y:-y).F(b)=(m+n,m-n),所以(x+y)(m-n)-(x-y）(m+n)= 2m-2=0,即F(a)∥F(b),故B正确： 号应因为向量不衣在基底64下的坐标为(4,2).所以：50 对于选项C,若a⊥b,则m+y=0,F(a)·F(b)=(x+y)(m+n)+(x- AD=5e2 y)·(m-n)=2mx+2ny=0,所以F(a)⊥F(b),故C正确： 对于志项D.m(F(a,F(》·88 因为=+耐=：成，耐=亦+市花}，号而所以 A在基底e,2下的坐标是(3,4).故选B. 2mx+2ny mx+ny (xty)(x-y)(mn(m-m) 7.BCD解析：对于选项A:C=T,易知△ABC是以点C为直角顶点的 2 参考答案黑白题0116.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 白题 基础过关 很时：25min 题组1平面向量基本定理的理解 C.a+2b D. 1,(多选)下列说法中，正确的是 ( A.一个平面内只有一对不共线向量可作为表 示该平面内所有向量的基底 B.一个平面内有无数对不共线向量可作为该 平面内所有向量的基底 (第4题) (第5题) C.零向量不可作为基底中的向量 5.(2024·安徽铜陵高一期中)如图，四边 D.对于平面内的任一向量a和一组基 形ABCD为平行四边形，D正=2E元，F为线段 底e1,e2,使a=Ae,+ue,成立的实数对(A, BE的中点，若以A疗，B正为基底表示向量BC, 以)一定是唯一的 则BC= 2.(多选)(2024·福建福州高一月考)若 e1,e2|是平面内的一个基底，则下列四组向 A证 B号证 量中不能作为平面向量的基底的是( c,防 n成 A.e1-e2,e2-e} B2,64 6.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量，a= C.2e2-3e1,6e,-4e2}D.{e1+e2,e,+3e2 3e,-2e2,b=-2e,+e2,c=7e1-4e2,用向量a和 3.如图所示，平面内的两条相交直线OP,和OP b表示c,则c= 将该平面分割成四个部分I,Ⅱ，Ⅲ，N(不包 题组3利用平面向量基本定理求向量中的参 括边界).若O币=a0P+b0P,且点P落在第 数问题 Ⅲ部分，则实数a,b满足 7.(2024·浙江宁波高一期末)在梯形ABCD P 中，AB∥CD,且AB=mD元(m>0),若AC= AAB+uAD(A,AeR),则 A.入+μ=m B.m=1 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.入=m D.4=入m C.a<0.b>0 D.a<0,b<0 8.(2024·江苏盐城高一期中)已知在△ABC 题组2用基底表示向量 4,(2024·广东汕头高一月考)如图，点D,E分 中，M为AC上的一点，且A=M元，若B= 别为AC,BC的中点，设AB=a,AC=b,F是DE ABA+地BC(A,从eR),则u-A= 的中点，则AF= ( 9.(2023·福建福州高一期中)已知e1与e,不 2 B、 共线，{e,-2e2,Ae,+e2}是一组基底，则实数 20+2b 的取值范围是 第六章黑白题013 黑题 应用提优 限时：45min 1.（多选)(2024·广西贺州高一月考)若e1,e2 是平面《内两个不共线的向量，则下列说法 B. c.5 不正确的是 ) 5.(2024·山东威海高一月考)在Rt△ABC中， A.Ae,+ue(A,u∈R)可以表示平面a内的所 ∠ABC=90°，AB=1,BC=√3，D是△ABC内一 有向量 点，∠ABD=30°，设BD=AB+uBC(A,4∈ B.对于平面中的任一向量a,使a=Ae,ue R),则 () 的实数入，：有无数多对 A.入+3u=0 C.A141,A2,h2均为实数，且向量入，e,+4,e2 n失-3 与入，e,+42e2共线，则有且只有一个实数 C.4=3 D.A-3=0 A,使入e,tw,e2=A(A,e1te2) 6.(2024·山东青岛高一月考)直线1上有不同 D.若存在实数入，u,使Ae,+ue2=0,则A= 的三点A,B,C,0是直线1外一点，对于向量 u=0 OA=(1-cosa)0B+sina0C(a是锐角)总成 2.(2024·江苏宿迁高一期中)在△ABC中，点D 立，则= 是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且 7.如图，在△ABC中，AB=a, C=D,A-正+AA元，则A AC=b,D,F分别为BC,AC 的中点，P为AD与BF的交 D.3 点，且A正=2EB.若B那=xa+ 3.(多选)(2024·湖南常德一中高一月考)如图 yb,则x+y= ;若AB=3,AC=4, 所示，已知P,Q,R分别是△ABC三边AB,BC, ∠BAC=胥则m.历 CA的四等分点，如果AB=a,AC=b,以下向量 8.如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角 表示正确的是 ( A.p 线AC上的两点，且AE=FC=4AC,用向量方 4 法证明：四边形DEBF是平行四边形 C.P=-1a+3 qa+b D.BC=a-b 4 (第3题) (第4题)】 4.(2024·湖北黄冈高一期末)如图，点0是 △ABC的重心，点D是边BC上一点，且BC= 4DC,0i=mA+nAC,则"= ( 必修第二册：RJ黑白题014 9.(2024·福建南平高一期中)如图所示，在11.(2024·河北石家庄一中高一月考)如图，在 △MB0中，0元=}Oi,0而=丽，AD与BC相 等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2BC= 2CD=2DA,M为线段BC中点，AM与BD交 交于点M,设0i=a,0正=b. 于点N,P为线段CD上的一个动点， (1)试用向量a,b表示0i: (1)求 (2)过点M作直线EF分别交线段AC,BD于 M 点E,F,记0E=入0,0F=u0i,求证：不 (2)设A元=xD厉+yAP,求y的取值范围。 论点E,F在线段AC,BD上如何移动，入 3为定值 10.如图，在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中 点，BE与CF交于点G. (1)用向量法证明：BG:GE=CG:GF= 压轴挑战 2:1: (2024·河南郑州高一月考)已知 (2)连接AG并延长交BC于点D,求证：D是 口ABCD中，点P在对角线AC上 BC的中点 (不包括端点A,C),点Q在对角 线BD上（不包括端点B,D),若AP=入AB+ u,B元，A0=入，AB+u,BC,记2A?-4的最小值 1+2的最小值为n,则 为m2入2 19 9 A.m=- 8,ns 2 B.m=-1 ,ns 9 1.9 C.m=- 8 ,n= D.m=- 4 4n=4 进阶突破拔高练P02 第六章黑白题015 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示 日6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 白题 基础过关 限时：25min 题组1 平面向量的正交分解及坐标表示 题组3向量共线的坐标运算 1.(2024·浙江湖州高一月考)已知向量AB 7.(2024·湖北黄冈高一期中)已知向量a= (1,3),点A(-1,2),则点B的坐标为( (4,m),b=(m-2,2),若a与b共线，则m= A.(0,5) B.(-2,-1) ( C.(2,1) D.(5,0) A.-4 B.4 C.-2 D.-2或4 2.(2024·广东梅州高一月考)如果用i,Jj分别 8.(2024·浙江温州高一期中)若向量a=(1,2), 表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2, b=(2,3),则与a+b共线的向量可以是( 3),B(4,2),则AB可以表示为 A.(2,1) B.(6,10) A.2i+3) B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j C.(-1,2) D.(-6,10) 3.(多选)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐 9.已知点0(0,0)，向量0A=(2,3),0B=(6. 标平面内的任一向量a,下列结论错误的是 -3),点P是线段AB靠近A的三等分点，则点 ( P的坐标为 A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) 10.已知向量a=(x,1),b=(4,x),当x= B.若x1,x2y1,y3eR,a=(x,y)≠(x2y2), 时，a与b方向相反. 则x1≠x2,且y1≠y2 题组4平面向量坐标表示的应用 C.若x,yeR,a=(x,y),且a≠0，则a的起点 11.(2024·江西景德镇高一月考)已知点A(1, 是原点 D.若x,y∈R,a≠0，且a的终点坐标是(x,y), 3),B(m-5,1),C(3,m+1),若A,B,C三点 则a=(x,y) 共线，则AB的坐标为 题组2平面向量线性运算的坐标表示 A.(-2,2) B.(2,-2) 4.(2024·浙江宁波高一期末)已知向量0A= C.(2,2) D.(-2,-2) (1,-2),0B=(-3,-5),则B= 12.(多选)(2024·福建泉州高一月考)已知向 A.(-2,-7) B.(4,3) 量a=(1,0),b=(0,1),c=(1,1),在下列各 C.(-4,-3) D.(2,7) 组向量中，可以作为平面内所有向量的一个 5.(2024·河南商丘高一期中)已知向量a= 基底的是 ( ) (-1.2).b=(3,-5),则3a+2b等于( A.a,c B.a,b-c A.(3,-4) B.(0,-4) C.c,a+b D.a+b,b-c C.(3,6) D.(0,6) 13.已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),0为坐标 6.已知向量a=(2,-1),b=(1,6),c=(7,3) 则c可用a与b表示为 ( 原点，则AC与OB的交点P的坐 A.3a+bB.a+3b C.3a+2b D.3a-b 标为 必修第二册：RJ黑白题016 黑题 应用提优 限时：30min 1.(多选)(2024·广东佛山高一月考)已知向量 则MN等于 ( a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论不正确的是 A.1(1,1) B.1(1,1),(-2,-2) C.1(-2,-2) D.☑ A.a∥b 7.(2024·广东梅州高一期末) B.a与b可以作为基底 如图，在扇形AOB中，扇形的 C.a+b=0 半径为1，∠408=点P在 D.b-a与a方向相同 2.(2023·四川宜宾高二期中)已知入∈R,向量 AB上移动.0币=aO+b0成当∠A0P=时，a+ a=(3,入)，b=(入-1,2)，则“入=3”是“a∥b”的 b= ( 3 A.必要不充分条件 N.2 B.3 C.2 033 2 B.充分不必要条件 8.已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 01上，且0示=？P,P又是0B的中点，则点B 3.(多选)(2024·江苏徐州高一月考)已知向量 的坐标为 a,b,c满足c=Aa+(1-入)b(0<入<1)，且c= 9.(2024·广东中山高一月考)已知向量a= (1,2),则a,b的坐标可以为 (1,-1),b=(-1,2),c=(-3,3).若非零实 A.a=(1,0),b=(0,2) 数m,n满足(na+b)∥(b-mc),则 B.a=(2,0),b=(0,4) n m C.a=(3,1),b=(-1,3) 10.(2024·江西宜春高一月考)已知e,e2是平 D.a=(2,1),b=(4,-1) 4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2) 面内两个不共线的非零向量，AB=2e,+e2, 若表示向量4a,4h-2c,2(a-c),d的有向线段 BE=-e,+Ae2,E元=-2e,+e2,且A,E,C三点 首尾相接能构成四边形，则向量d为( 共线。 A.(2,6) B.(-2,6) (1)求实数入的值： C.(2,-6) D.(-2,-6) (2)若e,=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标： 5.若a,B是一组基底，向量y=x+B(x,y∈ (3)已知点D(3,5),在(2)的条件下，若A, R),则称(x,y)为向量Y在基底a,B下的坐 B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边 标现已知向量a在基底p=(1,-1),q=（2, 形，求点A的坐标 1)下的坐标为(-2,2)，则a在另一组基 底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(） A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2) 6.已知向量集合M={aa=(1,2)+入(3,4)，入e R,N={ala=(-2,-2)+A(4,5),A∈R}, 第六章黑白题017 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 白题 基础过关 限时：25min 题组1数量积的坐标运算 9.(2024·山东威海高一月考)已知向量a= 1.(2024·河北沧州高一月考)已知a=(-2,4), (-2,3),b=(m,-4),若a⊥(a+b),则m= b=(1,1),则a·(a-b)= ( ) A.6 B.-6 C.18 D.-18 17 2.(2024·福建莆田高一月考)若向量a= A.2 c 0. (x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x= ( 10.(多选)(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)已 5 知向量a=(入，1)，b=(1,-2),记向量a,b的 A.3 B.-3 c D. 3 夹角为日，则 3.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位 A.入>2时，0为锐角 向量，且a·b=√3，则向量b的坐标为 B.A<2时，0为钝角 题组2向量的模的坐标运算 C.入=-2时，0为直角 4.(2024·河南南阳高一月考)设平面向量m= (-1,2),n=(2,1),则1m-nl= D.A=2时，0为平角 ( A.5 B.√/10 C.13 D.35 11.(2024·广东佛山高一期末)已知四边 5.(2024·云南昆明高一月考)已知向量a=(1, 形ABCD中，AC=(-2,1),BD=(2,4),则四 边形ABCD的面积为 3),则下列选项中与a共线的单位向量是 A.3 B.5 ( C.6 D.10 题组4投影向量的坐标运算 12.(2024·河南周口高一月考)若向量a=(2, c.() 3),b=(-1,1),则b在a上的投影向量的坐 6.(2024·湖南株洲高一月考)已知向量a= 标是 ( (1,2),b=(2,x),若a·b=-4,则12a+b1 B. 题组3利用向量的坐标运算求解夹角与垂直问题 c品) 7.已知向量a=(1,0),b=(-1,1),则以下与 13.(2024·陕西咸阳高一月考)已知向量a= a+2b垂直的向量坐标为 ( (0,-2),b=(1,1),若向量b在向量a上的 A.(1,2) B.(2,1) C.(1,-2) D.(2,-1) 投影向量为-20，则a·h 8.(2024·广东汕头高一月考)已知向量a=(-1, 1),b=(-3,4),则c0s(a,a-b〉= A.2 B.- 2 A.526 526 B. C. 26 D. 1 C.-2 26 26 13 D.V26 13 3 必修第二册RJ黑白题018 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2024·广东广州高一月考)已知向量a=7.(多选)(2024·山西朔州高一月考)已知向量 (2,m),b=(n,1),c=(m+1,-1),若a⊥b, a=(-4,3),b=(7,1),下列说法正确的是 b∥c,则m+n为 ( ( A.(a+b)⊥a B.3 C.1 D.-1 B.1a-b1=55 2.(2024·浙江台州高一期中)已知向量a=(1. c与向量a平行的单位向最仅有（子》 1),2a+b=(4,2),则1a+2b1= ( A.25+2 B.√26 D。向量a在向量b上的投影向量为-力 C.34 D.4+2 8.(2024·江苏常州高一月考)如图，在平面四 3.(全国高考)已知AB=(2,3),AC=(3,t), 边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD= 120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点， 1BC=1,则AB·BC= 则EA·EB的最小值为 ( A.-3 B.-2 C.2 D.3 D.2 16 4.(2024·云南昆明高一期末)已知向量a,b满 足1al=2,b=(1,2√2)，且a·b=33,则a,b 的夹角为 ( A君 C.2n 3 (第8题) (第9题)》 5.(2024·广西南宁高一期中)已知向量a=(2, 9.如图，在2×4的方格纸中，若a和b是起点和 0),b=（A,),若向量b在向量a上的投影 终点均在格点的向量，则向量2a+b与a-b的 夹角的余弦值是 10.平面直角坐标系xOy中，已知向量a=(x, 向量c=(分，0)，则1b1 y),b=(-1,-1),c=(4,4),且满足a·c= b·c,则a= .(写出满足条件的一种 A.3 B.√7 C.10 D.1 表示即可) 4 11.(2024·福建厦门高一期中)已知向量a= 6.(2024·福建三明高一期中)若对于一些横纵 (1,3),b=(3,入)，c=(43,-3).若a∥b, 坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标 则入= :若b⊥c,则向量33a-2b 不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向 与a的夹角为 量a=(1,3),b=(-3,-1),即为“等模整向 12.在平面直角坐标系xOy中，已知A(0,-1), 量”，那么模为5的“等模整向量”有( B(-3,-4)两点，若点C在∠AOB的平分线 A.4个 B.6个 上，且1OC1=2√10，则点C的坐标 C.8个 D.12个 是 第六章黑白题019 13.(2024·四川凉山高一期末)已知在平面直15.(2024·浙江杭州高一期中)如图，在直角梯 角坐标系中，点A(1,1),B(4,5),C(0,3) 形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，AB=2, (1)若(AB+1AC)⊥(A店-tAC),求t的值： CD=1,P是线段AD(包括端点)上的一个 (2)记AB在AC方向上的投影向量为a,求a 动点 的坐标 (1)当AD=√3时，求AC·AB的值： (2)在(1)的条件下若P店.P元-，求： (3)求1P呢+PC1的最小值. 14.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1, 0),B(7,3),C(4,4),D(2,3) (1)求向量AB与AC夹角的余弦值： (2)求证：四边形ABCD是等腰梯形. 压轴挑战∥ (多选)(2024·黑龙江大庆实验中学高一期 中)对于非零向量a=(x,y),定义变换F(a)= (x+y,x-y),得到一个新的向量，则关于该变 换，下列说法正确的是 A.若A为任意实数，则F(Aa)=AF(a) B.若a∥b,则F(a)∥F(b) C.若a⊥b,则F(a)⊥F(b) D.存在a,b使得cos(F(a),F(b))=cos(a, b+2 进的突破拔高练P肥 必修第二册：RJ黑白题020