6.3 平面向量基本定理及坐标表示 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

山3石解析：若a/®，则1A=小x5,郎得A=3若b上c,则a,=b词 mxtny =,所以cos〈F(a),F(b)〉=cos(a. b·c=0,即3×43-3n=0,解得A=4,则b=(3,4),33a-2b= b),故D错误故选ABC (5,1).设向量35a-2b与a的夹角为0，则c%0= 6.3阶段综合 (35a-2)·a25=5,因为9e[0,],故0=g故答案为 13w3a-2b1·1al2×22 6 黑题 阶段强化 36 1.C解析：对于A,由a=Ae1ue2,得(1，-2)=A(1,1)+u(1,2),所以 1=A, 12.(-2,-6)解析：由题意得0=(0，-1)是一个单位向量，由于0凉= -2=A+2μ 解得=4；所以存在实数A,4,使得a=A6,+a,所 4=-3, (-3,4),放成方向上的单位向量：=（子号）人：点C在 以A不符合题意；对于B,由a=Ae1+e2,得(1，-2)=A(0,0)+ 4(-2,),所以儿北解得=子Ae,存在实数A山，使得 -2=44, ∠A0B的平分线上，存在实数A使得元=A(可+e)=A(-号 a=Ae1ue2,所以B不符合题意；对于C,由a=Ac,we2,得(1，-2)= 1号)A(号号）A0:成1=2而(g A1,1)(2,2),所以三+2，无解，所以不存在实数A,4使得 1-2=A+2μ， 器)0，解得A9代人得元-(2，-6 a=Ae1ue2,所以C符合题意：对于D,由a=Ae1+ue2,得(1，-2)= A-1,2)u(2,-4),所以{儿-+2，A4满足24-A=1即可，所 (-2=2A-4μ， 13.解：(1)由题意知，市=(3,4)，4花=(-1,2)，因为（成+A心）1(4 以存在实数A,4,使得a=Ae1+e2,所以D不符合题意. tA花，所以(A成+Ad)·(丽-tAd)=A-2A衣=0，即25-52=0. 2.ABD解析：因为A店=(-5,1)，C=(m+4,n),若店=C,则 解得t=士√5. 4-5解得9所以m+9n=0,A正确：若1市，则 (2)由(1)知=(3,4)，A花=(-1,2)，所以店.A花=5，则a= n=1, ln=1, 高 -5(m+4)+a=0,即a-5狐=20，B正确：若应/动，则若 14.(1)解：因为=(7,3)-(1,0)=(6,3)，花=(4,4)-(1,0)=(3， 即m+5n=-4,C不正确：若与d动互为相反向量，则m+45·解得 n=-l, 4),所以cs(店，花=·花-18+1225 a3w5×55 m=山：即m与m互为相反数，D正确放选ABD ln=-1, (2)证明：因为D=(4,4)-(2,3)=(2,1),所以A店=3D,即AB∥ 3.B解析：集合A表示所有与x共线的向量，而集合B则表示平面内 所有与x和y共面的向量，故选B CD.因为B成=(4,4)-(7,3)=(-3,1)，i=(2,3)-(1,0)=(1,3), ! 所以不存在AeR使B武=AA,即BC,AD不平存.又1武1=√而， 4.B 解析：若向量a=(2,1),b=(-4,3),则cs0=a:6 lallbl 1A1=√O,所以1A1=B心1.综上，四边形ABCD是等腰梯形. 2×(-4)+1×3。-5 15.解：(1)如图，以点A为原点，分别以AB,AD 5x5 ，8e[0,m],则s血8=V个-9.25 ,1ax 所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系。 当AD=3时，AB=2,Ai=(2,0),A花= b1-lal Iblsin 0-5x5x25 10.故选B 5 (1,5),因此A花.Ai=2x1+0x3=2 5.B解析：由题意可知△ABC是以∠BAC为顶角 (2)设1A=t,即点P的坐标为(0，)(0≤ 的等腰三角形，如图所示，AD⊥BC,BE⊥AC, ≤5)，则哺=(2，-)，P元=(1,3-)，P市 则ADO BE=O,设Ad=AA币.动=4成，则 1 t=2x1+(0(5-0=r52=(-号）月+20≤≤. A=- 2 A0= 1 当时成元即号 (3)设C(1,c)(c>0),P(0,)(0≤≤c),又B(2,0),则P店+P元= μ破=μ（破-=(1u)迹+μ=被+x花，所以u= (2,-t)+(1,c-t)=(3,c-2),Pi+P元1=√9+(c-2≥3，当t= 子应：花在mAAE中，mLC-侣店子放选R 气时取到等号，因此成+元的最小值为3 6,B解析：由题意可得花=成=店+励=硒+宁（成+动） 压轴挑战 ABC解析：对于选项A,因为a=(x,y),所以Aa=(x,Ay),所以 店+成+}成因为四边形EGH是平行因边形，所以花=-成， F(Aa)=(Ax+y,Ax-y)=A(x中y,xy)=AF(a),故A正确： 设b=(m,n),对于选项B,a=(x,y）,若a∥b,则nc-my=0,F(a)=(x+ 所以花=+成-花=店+2市4花，所以花=号+ y,x-y),F(b)=(m+n,m-n),所以(x+y)(m-n)-(x-y）(m+n)= 2my-2r=0,即F(a)∥F(b),故B正确； 号应因为向量衣在基底，4下的坐标为(4,2，所以店。， 对于选项C,若a⊥b,则mx+时y=0,F(a)·F(b)=(x+y)(m+n)+(x- ⑦=5e2 y）·(m-n)=2mx+2ny=0,所以F(a)⊥F(b),故C正确： 对于法项D,m(F(a.P(》:8品 因为+耐=成+：4动花：子亦+号动，所以 A在基底e1,2下的坐标是(3,4).故选B 2mx+2ny mx+ny +(mn+(m-F+y√m 7.BCD解析：对于选项A:C=号，易知△MBC是以点C为直角顶点的 参考答案黑白题011 直角三角形，且0为B的中点则Au=了A22=宁故A销： 设B=AB+(1-A)B励Bi=μB武，其中A,4∈[0,1] 对于选项B:由动=}d得3动-d+d成，所以a动-d-动 因为成=威+花=威+励，所以威-μ成=μ威+之励， 2 2 C市-Ci,则C=Oi+O成，故0为△ABC的重心，又因为0为△ABC的 A= 外心，所以△ABC是等边三角形，故B对： 所以 解得〈 故威=2威+1励=2花 2 3 3 对于选项C:若C⑦⊥A店，可得CA=CB,则A=4,故C对： u23 对于选项D:若A心了>了则Ag>山，放点0在△1G外，则 △ABC为钝角三角形，故D对.故选BCD. 8.√3解析：取BC边上中点为0，则A01 (2)因为四边形ABDC的面积为2×(2+4)x2=6,所以△ABE的面 BC,以点O为坐标原点，分别以BC,OA所 积为3.设1成1=a,则56=宁2a=3,解得a=3,则成励- 在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系， 则A(0.3),B(-1,0),C(1,0),因为点P -() 是正三角形ABC三条边上任意一点，不妨 假设点P在边AB上，则存在实数x,使得 压轴挑战 A市=xA(0≤x≤1)，因为店=(-1,3)，所以A市=(-x,-5x),则 c解析：对于①：若a=(2,4),b=（3,5),则{2C3所以a心b,放 pi=(x,5x),Pi=(x-1,5x-万)，P元=(x+1,厚x-3),所以pi+ 4<5 ①正确： P+P元=(3x,35x-23),放1P+P+P元1=√9+3(3x-2)= 对于②：取a=(1,1),b=(-1,-1),4=-1,A=2,满足a≥b,则a= ( (-1,-1),Ab=(-2,-2),满足a2Ab,但u<入，故②错误： 对于③：若a3b,则x1≥2且y1>y2,设c=(,0),则a+c=(1+0, 当=之时，网+成：戒1的最小值为5.故答案为3 o),b+c=(+,+o),可知t产，to所以(a+e)> y1+yo>y2+yo 9.2-2√互解析：易知AF⊥AB,以点A为坐标 (b+c),故③正确： 原点，分别以AB,AF所在直线为x,y轴，建立如 对于④：取a=(-2,-2),b=c=(-1,-1),可知a<b,但a·c=4, 图的平面直角坐标系，正八边形内角和为(8 b·c=2,即a·c>b·c,故④错误故选C. 2)×180°=1080°，则∠HAB= ×1080°=135， 1 6.4平面向量的应用 所以A(0,0),B(2,0),C(2+√2,2)，E(2,2+ 6.4.1平面几何中的向量方法 22).F(02+25),H(-2,2),Ai=(2,2+22),A=(0,2+ 白题 基础过关 22),A元=(2+2,2)，因为=AA花+μA市，则(2,2+22)=A(2+ 2,②)u(0,2+22),所以2=(22)A, 解得入=2 1.A解折：如图所示，由题意可得市：之+花)=砂=（应 2+22=2A+(2+22)4, ,解得AC=5.故选A 2,4=22-2,所以A+μ=2：设P(,y）,则-2≤x≤2+2，A币= 衣脚c子4c 4 (x,y),A店=(2,0)，则市.店=2x≥-22，所以，当点P在线段GH 上时，A币，A取最小值-22.故答案为2：-22. 10.(1)解：0在O方向上的投影向量为：0 ·0i.2x1+0x3 1012 12+(3)2 2.35解析：由题意可知1D1=11=6,(D,E)=60°，则· 函=6x6x子=1保因为点M是A极的中点，点N是D的中点，则 (2)证明：因为0元=(1-A)0+a0成，则0元-0i=A(0成-0i, Ni=市+Di+成，N耐=N应+E成+B=-N市+E成-成，两式相加可得 即A花=AA店，又AC与AB有公共点，所以A,B,C三点共线. 2N丽=D+E店，则4N=(Di+E)2=D+2D.E店+E=36+ 1012=0心=(1-A)20+A20+2(1-A)A0i.0i=4(1-A)2+ 36+36=108,即N7=27,所以1N1=35.放答案为35. 3.证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方 444(1-AA=4(a2-A+1)=4(-）广3，当A=2时，成 形的边长为1，DP=A(0<入<2)，则A(0,1) 的最小值为5 p(Ξ)）r(停.o） 11.证明：令成=a,C=b为一组基底由已知可得成=a,C=mb. Ai=A花+Ci=-a-b,=nA=-na-nb.M立=Ai+=(-1)a (1）（停1 b①，Bi=Bd+Ci=a+mb②，Ci=Ci+Ai=-na+(1-n)b③， 把①②③代人A+Bi+C=0,则有(-n)a+(m-a)b=0.根据平面 向量基本定理，有1-n=m-n=0.故l=m=n 12.解：(1)由题意可得AC1AB,AB⊥BD,因为1A花1=1A,OA=0C,所 i-√(（受v-a. 以BC1CD,因为A花=(2，-2)，A店=(2,2)，所以1A店1= 心1=2+2=2，成1=√4+4=22,1B励1=8+8=4，所以 =√（经-1+（受）v-2a*, 励-2衣市+励硒。动记 : 六PI=E,PA=EF 必修第二册·RJ黑白题0126.3阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.已知向量a=(1,-2),若存在实数入，4，使得6.(2024·湖北十堰高一期末)若向量a,b是一 a=Ae1+ue2,则e1,e2不能是 ( 组基底，向量m=xa+yb(x,y∈R),则称(x,y) A.e1=(1,1),e2=(1,2) 为向量m在基底a,b下的坐标.如图，某人仿 B.e1=(0,0),e2=(-2,4) 照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行 C.e1=(1,1),e2=(2,2) 四边形拼成一个大平行四边形，其中E,F, G,H分别是DF,AG,BH,CE的中点.已知向 D.e1=(-1,2),e2=(2,-4) 2.（多选)(2024·福建泉州高一期中)已知向 量e1,e2分别是与向量AB,A⑦同向的单位向 量A店=(-5,1)，C⑦=(m+4,n),下列结论正 量，且向量AG在基底e1,e2下的坐标为(4,2)， 确的是 则Ai在基底e1,e2下的坐标是 A.若AB=CD,则m+9n=0 B.若A店⊥C,则n-5m为定值 C.若AB∥CD,则m-5n为定值 D.若AB与CD互为相反向量，则m与n互为相 A.(4,3)B.(3,4)C.(4,1) D.(2,4) 反数 7.(多选)(2024·浙江嘉兴高一月考)设0为 3.已知x,y是一组不共线的向量，集合A={a △ABC的外心，且CO=入CA+uCB(A,4eR), a=入x,入∈R},B={blb=入x+4y,入，ueR,则 下列命题正确的是 关于集合A,B的说法正确的是 A.0年A B.ACB A若C=2则W C.BCA D.A=B 1 B.若A=μ= 4.(2024·山东淄博实验中学高一期中)已知两 则△ABC为等边三角形 个非零向量a与b的夹角为0，我们把数量 C.若C⑦⊥A店，则A=4 lallb1sin8叫作向量a与b的叉乘a×b的 模，记作la×bl,即1a×b1=lallblsin 6.若向量 D.若A心心则△MBC为纯角三角形 a=(2,1),b=(-4,3),则1a×b1=( 8.(2024·江苏无锡高一期中)点P是边长为2 A.-10B.10 C.-2D.2 的正三角形ABC的三条边上任意一点，则 5.(2024·福建福州高一月考)在△ABC IPA+PB+P元1的最小值为 中，AB=AC,若点O为△ABC的垂心，且满足 9.(2024·广东江门高一月考)窗花是贴在窗子 或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺 Ad=A+xAC,则cos LBAC的值为( 术之一，图①是一个正八边形窗花隔断，图② AB c 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如 图②，正八边形ABCDEFGH内角和为1080°， 第六章黑白题021 若A花=入A元+μA(入，L∈R),则A+u的值 12.(2024·湖南衡阳高一期中)如图，在平面直 为 ;若正八边形ABCDEFGH的边长 角坐标系中，点0为坐标原点，A(0,2), 为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动 C(2,0),AC·A店=B配·A店=0,1AC1= 点，则A币·A的最小值为 IAB1,AD与BC交于点M. (1)设B=上B丽，试用A店，AC表示A正，B 6 (2)E为线段BD上的一个动点，若△ABE的 面积等于四边形ABDC面积的一半，求 10.(2024·安徽宣城高一月考)已知在平面直 此时B死的坐标. 角坐标系中，0A=(2,0),0=(1,5),0C= (1-A)0i+入0B(2≠A),其中0为坐标 原点 (1)求0A在0方向上的投影向量： (2)证明：A,B,C三点共线，并求10元1的最 小值 压轴挑战 (2024·河南商丘高一月考)设向量a=(x1, y),b=(x2少2)，当x1≥x2且y>y2时，则记作 11.如图，若点L,M,N分别为△ABC的边BC, a≥b;当x1<x2且y1≤y2时，则记作a<b,有下 C,4上的点，且01m CM AN =n.当 面四个结论： ①若a=(2,4),b=(3,5),则a<b; Ai+B+C=0时，求证：l=m=nm ②若a≥b且a≥Ab,则u≥入； ③若a≥b,则对于任意向量c,都有(a+c)≥ (b+c); ④若a≤b,则对于任意向量c,都 有a·c≤b·c 其中所有正确结论的序号为 A.①②③ B.②③④ C.①3 D.①④ 必修第二册·RJ黑白题022