专项突破08 利用导数研究不等式恒成立、能成立问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

©专项突破08 利用导数研究不等式恒成立、能成立问题 题组一直接讨论或分离参数，转化为函数最值 5.(2024·福建泉州高二期中)已知函数 问题 fx)=lnx+a(a为常数). 1.(2024·河北石家庄高二月考)当x>1时， kx>nx+4x恒成立，则整数k的最小值为 (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)不等式f代x)≥1在x∈ [2,3]上有解。 A.6 B.5 C.4 D.3 2.（2024·广东广州高二月考)已知函数 求实数a的取值范围. f(x)=xlnx,若存在x∈（0，+∞)，使得 f八x)sx+mx-3 成立，则实数m的最小 值是 1 A.-2 B.-1 C.2 D.4 3.(2024·河南南阳高二月考)对Hx>0,不等 式lnx≥a-ex+2恒成立，则实数a的取值 范围为 6.(2024·陕西西安高二月考)已知函数 4.（2024·山东青岛高二期中)已知函数 f(x)=e-ax-a,a∈R. f八x)=lnx-x. (1)讨论f(x)的单调性； (1)求函数g(x)=(x)+2x-4nx-2的单 (2)设g(x)=2) ,当>0时，g(x>1恒 调区间和极值： (2)若不等式f(x)≤(a-1)x+1在(0，+∞) 成立，求实数a的取值范围， 上恒成立，求实数a的取值范围. 进阶突破·专项练11 题组已构造相同函数，转化为函数单调性问题 题组目双变量任意性与存在性问题 7.(2024·广东清远高二月考)已知f(x)= aln x+ 2(a>0),若对任意两个不等的正 1已知函数八s):mh*g到=2n ax+3,m,a∈R 实数，，都有人)1恒成立，则 (1)求f代x)的单调区间： (2)当m=0时，若x1∈[1，e2],3x2∈ a的取值范围是 [片e],使f)≥g()成立，求实 A[经+】 B. 数a的取值范围. c.o,4] n.o,4) 8.(2024·江苏扬州高二月考)已知函数 fx)=e2m-3lnx,若f(x)>x3-2ax恒成立， 则实数a的取值范围为 ( . B. 3 c.o,3) n.(+】 9.(2024·四川南充高二月考)若对任意的正 实数1,2e(m,+∞)，当x1<x2时，xhx2 12.(2024·广东云浮高二期中)已知函数 x2lnx1<0恒成立，则实数m的取值范 1 f(x)=(2-a)In x+-+2ax. 围是 (1)讨论函数f(x)的单调性； 10.(2024·江苏南通启东中学高二月考)已 知函数f(x)=elnx,g(x)=x2-x (2)当ae(-8,-2)时，若存在x1,x2∈[1， (1)讨论f(x)的单调性； 2],使得f(x1)-f(x2)I>(m+ln2)a- (2)证明：当xe(0,2)时，f(x)≤g(x). 2h2+(-a)恒成立，求实数m的 取值范围. 12黑白题数学1选择性必修第二册·BS2ta2-2-24_to(-2若a≥0.则当e（0.2)时/'()< c号则4)e)所以e仙2<二故原不等式得注 0,当xe(√反，+)时f"(x)>0,所以x=√2是f代x)的极小值点，符合 7.(1)解：函数f(x)=cosx+xinx,xe(-π，π)，求导得f'(x)= 条件若a<0,令f'(x)=0,得x=-a或x=V2.若-2<a<0,则当xe -in+inx*0c0x要0osx当-<x<-2时了”(x)>0,八)单调递 (0,-a)和xE(2,+x)时f(x)>0,当E(-a,2)时，f'(x)<0, 所以x=√2是f代x)的极小值点，符合条件：若a=-2,则f'(x)30恒 增：当<0时了"()<0，)单调速减：当0r受时"(e》 成立，f八x)没有极值点，不符合条件：若a<-2,则当xe(0,√2)和 0,)单调递增：当<<m时，”()<0，f()单调递减，所 x(-a,+)时f'(x)>0,当x后（反，-a)时∫'(）<0，所以x=2 是八x)的极大值点，不符合条件因此a的取值范围是(-反，+). 以)的单润递增区同为(，受），(0，受）：单河递减区间为 （a运用：当1时加山宁子士子 （受0小（受=））的极小值为0)=1 子则e0加nhl子e12设ge=r (2)证明：当xe[0,)时，令F(x)=e+e-2(c08x+xinx),求导得 hn1=号子e1,21.由ge1- F"(x)=-e3-2 xcos≥e心-e3-2x,令p(x）=e-e-2x,求导得 ≥0，可得 p(x)=c'+c-2≥2√c·c*-2=0,函数p(x)在[0，r）上单调递 g()≥g(1)=0,当且仅当x=1时取等号，(x)--3x-2r+6设 增，则(x)》≥(0)=0，(x)≥0，F(x)在[0，)上单调递增，因此 F(x)≥F(0)=0,所以2x)≤e+e (x)=-3x2-2x+6,则p(x)在[1,2]上单调递减，因为p(1)=1, p(2)-10,放存在e[1,2],使得当xe(1,)时，e>0,当 8.(1)解：由已知特，-a≤nx4在(0，+0)上恒成立，设g()=nx+ xe(0,2)时，P(x)<0,所以h(x)在(1,0)上单调递增，在(0,2)上 单到道泼由于0)=2,42=号所以4（≥4(2=子，当且仅 e士号令r(国>0，解得01，令g)0,据得 0<x<1,g(x)在(0,1)上单满递减，在(1，+0)上单湖递增， 当x=2时取等号.因此当1≤x≤2时，f八x)-f'(x)=g(x)+h(x)> g(x)≥g(1)=1,即-a≤1，.a≥-L. 6)+h2y-号 (2)证明：由(1)知a≥-1时，f(x)≥0恒成立，取a=-1,得1nx≥ 四方法总结 成立，=1时取等号，当x>1时，en>)设 当一个函数的导数的符号是由一个含参的二次函数决定时，常从以 h(x)=e-ex,h'(x)=e-e,故x>1时，h'(x)>0,h(x)=e-ex在 下几个方面进行对论：①二次系数的符号，②对应的二次方程是否 (1,+)上为增函数，h(x)>h(1)=0,。>x当x>1时， 有根，③根的大小及根是否在定义城当中 g>e,即De(x-1).由此可得，当>1时，eh, 6.证阴：(1)函数f八x)=alnx+x+ 2+2a的定义域为(0，+0)/'(x)日 c(x-1),结论得证 4+1-2_+-2对于方程2+r-2=0,4=a2+8>0 专项突破08 利用导数研究不等式恒成立、 x2 x2 解方程+-2=0，可得气1=9-+8<0,5=a++820,当 能成立问题 2 2 1.B解析：由题意得，如三+4在(1，+0)上恒成立，设g()= 0c<a+,+8时/<0：当a+,+8时'(>0，所以函 2 2 4,xE1,+m),所以g(因为gx)=1-h,当x后(1，e) x2 数在，）上单调，在（上 时，g'(x)>0,当xe(c,+)时，g'(x)<0,所以g(x)在(1，c)上单调 单调递增，所以函数八￥)有唯一极小值点。 递堆，在e,+)上单调递减.g(mg(e)=4a(4,5),所以 (2)要证明r)<x+2,即证x+anx+2+2a<x+2,即证 整数k≥5，则整数k的最小值为5.故选B. a2即证2<号令g)=号，其中0，则 2.D解析：由代)≤+m-3得m≥24h++(x>0),间题转化 2 g()=2)当0<x<2时，g()<0,此时函数g()单调递减：当 为m≥2nx+x+主) 令g)-2是，则g()-是+1 >2时，g(x)>0,此时函数g(x)单调递增，所以g(x)n=g(2)= 3+3)(-,当>1时.g()>0:当0<x<1时，g(x)<0, 2 号构造函数4()-a2,其中0a<行>0，则() g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+。)上单调递增，g(x)m= 当0cr<时，()>0，此时函数A()单调递增：当 g(1)=4,则m≥4，故m的最小值为4，故选D. 2 解析：由题意可分离参数，即对于x>0,a≤ 时，()<0,此时函数()单调递减所以6)=A(日） e xlnx+ex2-2x恒成立.令f(x)=xnx+ex2-2x(x>0),则只需a≤ 选择性必修第二册·BS黑白题66 f(x)m即可，则f"(x)=hx+2x-1(x>0).令g(x)=f'(x),g(x)= 时，八x)在(-，+)上单调递增，当>0时，八x)在(-，na)上 2>0,所以()在(0，+)上单调遥增，且了（日）=0，所以 单调递减，在(lna,+∞)上单调递增， (2)当D0时.g>1恒成立等价于2a<2c恒成立.令4) 当e(0,）时'()<0，)单调递减：当e(合*》 x+1 20(>0,r(=20-2a0t-20-22,令 2e3-x2 时'()>0，)单调造增，则f()血（日）-子，所以实数 (x+1)2 (x+1)2 q(x)=2e-x-2,*>0,则g(x)=2e-1>0在(0，+0)上恒成立，故 。的取值范周为a≤二放答案为(。，二] g(x)=2-x-2在(0，+x)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0,即 h'(x)>0在(0，+)上恒成立，故h(x)单调递增，五(x)>h(0)=2,所 4.解：(1)g(x)=fx)+2x-4lnx 2 =-3hx-2,该雨数的定义城为 以2a≤2，解得a≤1，实数a的取值范围为(-，1]. 四方法总结 (0,+),则g'(x)=1- 32x2-3x+2_(x-1)(x-2) 列表如下： 对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离 x x 参数法，使不等式一培是含有参数的式子，另一端是一个区同上具 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+) 体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件：二是 g'(x) + 0 讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论：三是数形结合法，将不等 g(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件 所以函数g(x)的单调增区间为(0,1)和(2，+)，单调减区间为 本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： (1,2),函数g(x)的极大值为g(1)=1-3n1-2=-1,极小值为 一般地，已知面数y=f八x),xe[a,b]. g(2)=2-3ln2-1=1-3n2. (1)若Vx∈【a,b],总有x)<水成立，故代x)mm<k: (2)当x>0时，由f八x)=lnx-x≤(a-1)x+1可得a nx1,设 (2)若Vxe[a,b],总有fx)>成立，故f八x)n>k: (3)若3xe[a,b],使得八x)成立，故x)<k: 1 ·x-(lnx-1) (4)若3xe[a,b],使得fx)>h成立，故f代x)m>k h(=已，其中>0，则(x)= h'(x)>0可得0<x<e2,令h'(x)<0可得x>e2,.所以函数h(x)的单调 7A解析：根据八)) 1,可知)1-)，0.令 为 1 递增区间为(0，c2),单调递诚区间为(c2,+。),所以h(x)= 8=到-=ah+-(a>0).可得g到=-=ah+ (e2)-2-1 1 e2 。下，所以a≥h()一“。子，放实数a的取值范围是 之2-(a>0)为(0，*0)上的增函数，所以g()=兰+-130(> 0,a>0)杭成立，分离参数得a≥x(1-x),而当x>0时，x(1-x)≤ 5解：(1)的定义镀为〔0，+)()=是学e(0, [-g]当且仅当1即时取等号，故a1 +%).当a≤0时，x-a>0,所以f'(x)>0,所以八x)在(0，+)上单调 递增：当a>0时，令f'(x)=0,解得x=a,若x>a,则f'(x)>0,所以 的最大值为，所以a>子，所以a的取值范隔是[子+g）故 f代x)在(a,+g)上单周递增.若0<x<a,则f"(x)<0,所以f(x)在(0， 选A a)上单调递减综上，当a≤0时，代x)在(0，+0)上单调递增，当a> 8.B解析：f代x)>x23-2ax等价于e2+2ax>x2+3nx=em+3nx令 0时，f八)在(a,+∞)上单调递增，在(0，e)上单调递减 g(x)=心+，则g(x)=e'+1>0,所以g(x)是增函数，所以e2m+ (2≥1在e[]小上有解h+≥1在e[片3】 2a>eh+3lnx等价于g(2ax)>g(3lnx),所以2ax>3lnx(x>0),所 以2兰令(e则国=兰当0(0， 上有解o0≥山在e[子，3]上有解令s(=-血e h(x)单调递增，当x>e时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以h(x)= [片3]则g=1-(h·）-h当e[经)时 (⊙=，故2>，所以实数。的取值范图为（会+一）故选& g()>0,8g()在分，1）上单调递增，当xe1,3]时，g()<0, e,+)解折：由题意得m>0,令)-(>0).则f"( 8国在1,3上单调递减，因为(）宁= 1-h(0),所以当x(0,e)时"()>0：x∈(e,+)时/"(x x2 之h2>0.g(3)=33h3<0,所以g)-g(3)=3-3h3,所以 0,所以f(x)在(0，©)上单阔递增，在(e,+)上单调递减.因为 a≥3-3n3,故实数a的取值范围是[3-3n3,+x). h,h0a山与h气)由 6.解：(1)函数f八x)=e-m-a的定义域为R,求导得f'(x)=e-a.当 题意知，当，∈(m,+)且1<2时，xlh2-ln<0,即 a≤0时f'(x)>0恒成立，即八x)在(-0，+0)上单调递增，当a>0 f2)<名1)恒成立，所以f(x)在(m,+∞)上单调递减，故(m, 时，令f'(x)=e-a>0,解得>lna,令f"(x)<0,解得x<lna,即八x) +西)二(e,+)→m≥c,所以实数m的取值范围是[：，+西).故答案 在(-，na)上单调递减，在(na,+)上单调递增.综上，当a≤0 为[，+x) 参考答案黑白题67 10.(1)解：函数八x)的定义域为(0，+)”(x)=e1,nx。 诚，当xe(经，石)时'()>0)单调递增，当xe( 一(）起国h士周=士子号所烈 +m）时()<0)单调遥减：者a<-2.则宁>。，当e(0, 当0<x<1时，h'(x)<0,函数h(x)单调递减，当x>1时，h'(x)>0,函 )时)<0，)单调遥减当e(）时()> 数h(x)单调递增，所以h(x)≥h(1)=L,所以f"(x)=cJmx+ 三>0，所以函数)在(0，+。)上单调递增 1 0)单调递增，当xe(子，+m)时”()<0，f)单调递减 （2)运明：原不等式为eh-(-),即号即证 综上.若a≥0，九)在(0，宁）上单调递减，在（行+）上单润 递增：若a=-2,x)在(0，+)上单调递减；若-2<a<0,f(x)在 兰受在e（02)上相减立设1(=之则P(e)- (c)2 (0,)上单河递减，在（行亡）上单调递地，在（日 号所以当1时，>01e单写道带：当时，ee0. +=）小上单调递诚：若a<-2,)在(0，）上单润递该，在 1()单调递减，所以1()≤1(1)=。令(x)=hx=+1,r() (。）上单调递增，在（仔+）上单调递减 1-1=1,当0<x<1时，(x)>0,4(x)单调递增：当x>1时， （2因为a(-8,-2),所以e(）即)在[1,2]上 r(x)<0,(x)单调递减，所以(x)=(1)=0,所以nx≤x-1,且 在0,2)上有他1所以可得到(h)≤（一1）.即三≤ 单递减，所以x)mm=1)=1+2a,f八x)m=f2)=(2-a)n2+ lx-1<1. 子4o,所以)-1)-2)=之(a-2)h2-2a 号所以当a(0,2)时，有)≤g(e成立 所以(a-2h2-2>m+ah2-2h2+h(-a),即m> 11.解.（1)由x)=m口得f“(x)=2=2由 -a-a）-2,对ae(-8,-2)帽成立设(a)=1--0）-2.ae 2a 2a (1-m)-lnx<0,解得x>e".由(1-m)-lnx>0,解得0<x<e",所以 当e1时，f"(x)<0,函数fx)单调递减，当0<x<e1时，f'(x)> (-8,-2),则p(@)=（）-2令p'(a)=0,得a=-e2,当ae 2a2 0,函数f(x)单调递增，所以函数f八x)的单调递增区间为(0，)， (-8,-e2).e'(a)>0.p(a)单递增.当a∈(-e2,-2),p'(a)<0. 单调递减区间为(e-",+∞). (2)当m=0时，函数f代x)在(0，©)上单调递增，在(e,+)上单调 (a)单调递减，所以p(a)p(-)=2,所以实数m的取值 递减，所以函数f(x)在[1，c)上单湖递增，在（©，心2]上单调递减.又 -0,c)-子所以e到-1)-aV%e1,e1,e 范照为（六2，+=》 四重难点拔 [片]使)≥)成立，即0≥g,即3e[日e] 本题第二何的关健是处理爪)-八2)1，因为是存在性同题，所以 使032山-3立期2咖之在e[片小上有 只看要)1a>(m+h2)a-2h2+号h(-a) 解设6()=2++是，则()=名 +13=2+2-3 2 专项突破09利用导数研究函数的零点 +3)(-,所以当上≤1时，A'()<0,A(x)单调通减，当1< 或方程的根 x2 1.解：(1)f'(x)=-inx-6r,令g(x)=-inx-6x,则g'(x)=-cosx-6<0 x≤e时，'(x)>0,(x)单调递增，所以h(x)≥h(1)=4,要使得 恒成立，所以f"(x)在R上单阔递减，又了(0)=-sin0-6×0=0,所以 ≥2h+在e[片]小上有则a≥4 当xe(-,0)时f'(x)>0:当xe(0,+)时∫'(x)<0,所以f(x) 12.解：(1)定义城为(0，+0)'()=20号+2a=2-)(u+山 在(-。，0)上单调递增，在(0，+)上单调递减.所以f八x)有极大 x x2 值八0)=1，无极小值 若a≥0，则a+1>0,令f'()=0得=子当e(0,7）时， (2)在（号，）上有两个零点理由如下：由()得)在 fs)<0.)单调递减，当e(分+*=)）时，f6e)>0e)单 (-,0)上单调速增，在(0，+)上单调递减，所以函数f(x)有最大 调通蜡若ac0,令'()=0，得x=之或。。若a=-2,则 值o=1a(号)-=（号）3（号）'号<o, f“(x)≤0对xe(0,+∞)恒成立，所以八x)在(0，+∞)上单调递减： )=m-3m2=-1-3m2<0,所以f号)0)<0j(0)· 若-2ac0,则，当xe(0,)时e<0,到单调递 )<0,故x)在气牙，m）上有两个零点 选择性必修第二册·BS黑白题68