第二章 5 简单复合函数的求导法则-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

-1,即210)=-1，解得a=号故选8 (分n2x）广-宁（如2ar了2m2=m2,故A项正确，不符 3A解析：对()求导可得了()=2x+2(（分)+则 合题意：(m）广-(m)(广-(）yr (行）1+2g(分）小2，解得r(行）-3…=2-6+ (血）2=宁血子，散B项镜误，符合题意：(2+2yr lnx,1)=-5,f'(x)=2x-6+ "(1)=-3，切线方程为 ()+(心)'=2x+0=2x,放C项错误，符合题意，(hx-子）广 5=-3(x-1),整理得3x+y+2=0.故选A. 4.C解析：1)=1，f1)+g(1)=0,g(1)=-1.八x)+g(x)= x2-1,f(x)+g(x)+g(x)=2x,f'(1)+g(1)+g'(1)=2, 合题意，故选BCD. f'(1)+g'(1)=2-(-1)=3故选C. 4.en·c0sx解析：由f'(x)=(e血r)'=e血·(sinx)'=emF· 5.C解析：依题意，f"(x)=(x+1)e+eosx,f"(x)=(x+2)e-inx, c0sx,故答案为e血·c08名 f(x)=(x+3)e2-eosx,∫4)(x)=(x+4)e+inx,∫5(x)=(x+ 5.0解析：由题知F'(x)=3x2f'(x3-1)-3x2·f"(1-x3),则F(1)= 5)e'+cos名，了(x)=(x+6)e-inx,f(x)=(x+7)e-coex, 3f'(0)-3f'(0)=0故答案为0. ∫(x)=(x+8）e+in名，…，依此类推，∫2@(x)= (x+2024)e+inx,所以/2)(0)=2024.故选C 6.C解折：函数)=血(s+2),求导得"()=h(+2)中2·则 a.(o,] 解折y4e(1+e)-4e·d。4e 4 f'(-1)=-1,即函数f八x)=xn(x+2)的图象在点(-1.0)处的切线斜 (1+e)2 。+2e1c42*d 常为-1，因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-a)×(-1)= -1,所以a=L.故选C 为e>0所以e+≥2，所以ye(0,】,所以mae(0.],又因为 D解折：设切点为P(,h(+o》,则=y=1,且 e0,),所以e(,],所以a的取值范图是(,]故答 h(ota)=o+1,解得=-1，a=2,故选D. 8.y=2xy=x2+2a(答案不唯一)解析：由f(x)=sin2x,得 f'(x)=2cos2x,所以函数f代x)在原点(0.0)处的切线的斜率为k= 案为(0，] f'(0)=2.因此函数f八x)在原点(0,0)处的切线方程为y=2x.求与厨 11 数f代x)=n2x在原点处具有相同切线的一个函数，则该函数在原点 7.解：(1)由题意知f'()=2且2)=h2-1,则f'(2)=0,所以 (0,0)处的导数值为2即可，答案不唯一.不妨令y=x2+2,y'=2x+2, 在点(2，f(2)处的切线方程为y(n2-1)=0x(x-2),即y=m2-1. 所以函数在原点(0,0)处的切线方程为y=2x （2)由g)=a子+m,所以g(国)=（山s-(合广 9解：(y=号e2-h(2+5列=e×(2x+4025 1 (2+5r=2x x 2 cos 2+5*2-=ea42 2x+5 2 2 压轴挑战 (2)由(1)知y'=e2 2x5当x=-2时，y=0224 2x(-2)+5 ①②解析：对于①：fx)=x3-xinx,则f'(x)=3x2-sin x-xc,可 1-2m-1. 得f0)=0f(0)=0,0为fx)的双重不动点，故①正确：对于②： 设该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为&，则an心=-1.又 到=1则()-空，可得o)=0时(0)=00为 2 ae[0,)..a=3 ,一该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角 )的双重不动点，故②正确：对于③：(x)=-】-1的定义域为 好 x1x≠0，故该函数不连续，故③错误，故答案为①②. 10.解：y=2e2·c0s3x+(-3sin3x)·e4=e4·(2c0s3x-3sin3x). 曲线在点(0,1)处的切线斜率k=e°·(2cos0-3sin0)=2. §5简单复合函数的求导法则 则曲线在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1. 白题 基础过关 设直线1的方程为y=2x4,由d=”-=5,解得1=6或-4 /1+4 1.C解析：由f代x)=e3r-1,得f"(x)=3-,所以f(1)=32.故选C 故直线1的方程为y=2x+6或y=2x-4 2.B解折f'(x)-2×2x+2+ 1 1 -×2= 1 ,由f"(和)=1，得 黑题 应用提优 √2知+1 1,解得x。=0.放选B 1.A解析：因为)=cm2x-石 为复合函数 四方法总结 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对面数进行化简，然 所以'=-2(） 后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运 算速度，减少差错。 所以（后）-2n(2xg）-2咖名-1，故选A (2)①若面数为根式形式，可先化为分数指数暴，再求导： ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元， 2ACD解折：A设y=w,受，所以=(m)·(任）广 3.BCD解析：由初等函数求导公式和复合函数求导法则知， -血a·子=血受，放A正确：B(5y=55,故B错阀 11 参考答案黑白题2☑ C设-log,a=2x,(2x)'=(gaur·(2/b72a/ xIn 2' 曲线y=f(x)在(0，-1)处的曲率K=y(0则 [1+('(0)2]2 故C正确：D.设y=nu,u=-x(x<0),则=(a）'·(-)”=× 1-e1 =1故选C [1*(1-e0)2]2 (-=寸上a<0)放D正确放选AD 3.B解析：对于Af"(x)=1-cosx,f"(x)=inx,当xe(r,2m)时， 3.B解析：设f代x)=和，"(x)=(x+1)e,f'(1)=2,曲线y= f"(x)<0,所以A错误：对于Bf'(x)=2x+co8x,f"(x)=2-inx>0 x1在点(1,1)处的切线方程为y1=2(x-1),即y=2x-1,故选B. 在0.2)上恒成立，所以B正确：对于C()=1+P() 4.B解析：由题可知f'()=2cm2x-2an2x+了，了”()=-4in2x- 宁0，所以C错误对于D(=h1,"e)=-士，因 4c082x,结合题意知-4sin2xg-4c0s2x0=0,即in2x0+c0%26= m(2+）0,又-晋<<0，所以=-是所以= 为灯（行）-e-6c0,所以D错误放选B 血2%+om2+了=宁，云故选B 4c解指：-名fe)宁+e宁e心 5.D解析：依题意，g(x)=。(am2+bx+c),求导得g'(x)=-e(a2+ k)≥2v8厅，当且仅当e=3,即=h3时，等 bx+c)+e(2ax+b)=-e[ax2-(2a-b)x+c-6], 观察g(x)的图象得g'(0)=c-b=0,即b=C,g(x)的另一个零点为 号成立，ana≥5，又0≤a<m,且a≠ 受≤a心受，即倾斜 24-=2->1,即名L,所以有。<1，b=6放选D, a a 角。的取值整周是[行：）故选C 8 6.行解析：雨数f代x)=e产f'(0)h(x+4), 5.ABC解析：根据“新驻点”的定义，即判斯方程∫(x)=f(x)是否有 解即可。 则f"(x)=2o,'(0) +4 选项A,八)=m名则面=，可得m+子后Z。 当=0时，f0=2/9,箱/r0= 故函数f尺x)=inx有“新驻点”， 选项B,'(x)=3x2,则3x2=x3,可得x=0或x=3,故函数f八x)=x 放答案为号 有“新驻点” 7.解：由f八x)=3x+co%2x+sin2x, 选项Cf()=令)=hx(0),h在(0，+o)上单 f'(x)=3-2sin 2x+2c08 2x, 则a时（）3-2+2m1 调适增，士在(0，m)上单调递减6()在(0，m)上单调递堆又 由y=x3得y=3x2 g(1)=-1<0,g(e)=1>0,根据零点存在定理，存在(1，) e 当点P为切点时，切线的斜率k=3a2=3×12=3。 又b=a3,b=1,切点P的坐标为(1,1)， 使得g()=0,所以n。=,所以函数)=n存在“新驻点”、 故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y1=3(x-1),即3x-y2=0. 选项D,(x)=(x+1)e,则(x+1)c=x0',显然无解，故函数f代x)= 当点P不是切点时，设切点为(0，号)，此时切线的斜率'=3， xG'无“新驻点”故选ABC .切线方程为y-x=3x(x-). 6 P(a,b)在曲线y=x3上，且a=1,b=1,将点P(1,1)代入切线方 16 g()-国B-+2r国 解析：h()=八)t2 [g(x)]2 程中得1-号=3x(1-), 由f5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)= 六26-3号+1=0，解得=2或=1（含去）， (5)g(5)-[/5)+2]g'(5)_3×4-(5+2)×15 [g(5)]2 42 故答案为高 (，）又：切线的斜*为3x(宁)广。 4 切点坐标为 1.3 解析：由题可得八4)= 名fe)=-号+2则/(4) 42 ÷此时的切线方程为产官号(：宁)，即3红-10即过曲线 了，所以)在=4处的切线方程为y5了(x4,令y=0,解 y=x3上一点P(a,b)的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 得一9即方程)-0的近似解一号故答案为号 压轴挑战 8.解：(1)由导数公式得∫'(x)=-3x2+1,由复合函数求导法则得 x(nx+1)解析：因为y=x,故可得hy=xn,所以(ny)'= g'(x)=-2e21:由f"(x)=-3x2+1可得曲线y=f(x)在点(1,1)处 (血)'，即 的切线的斜率k=f'(1)=-3+1=-2,从面切线1的方程为y-1= ·y'=nx+1,所以y=y(nx+1)=x(山x+1).故答案为 -2(x-1),即y=-2x+3. (In x+1). (2)由g'(x)=-2e21,设A(0yo),则y=g(x)在点A(0,y0)处的 §3-§5阶段综合 切线斜率为g'(x0)=-2co1,由题意可得-2001=-2，从而0= 黑题 除投强化 子此时切点坐标为（侵！），所以衡线y严g()在=号处的切线 1.C解折：因为5宁-名，所以3-4，令P-54=0, 方程为1-2(），即切线的方程为y=-2+2 解得=1或1=4，所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，故选C. 2.C解析：因为f代x)=x-心，所以f“(x)=1-e,所以∫(x)=-e,所以 9.解：(1)f'(x)=1-4 ”曲线y=x)在点(1，(1)处的切线平行 选择性必修第二册·BS黑白题28§5简单复合函数的求导法则 白题基础过关 很时：30in 题组1复合函数的概念及求导法则 9.已知函数y=。 1.(2024·广东湛江高二月考)已知函数 )e24-ln(2x+5) f代x)=e-,则f'(1)等于 ( (1)求该函数的导数： (2)求该函数的图象在x=-2处的切线的倾 A.e2 C.3e2 D.3×2° 斜角. 2.设f(x)=√2x+1,若f(x)在x=x处的导数 ∫'(xo)=1,则xo的值为 ( ) A月 1 B.0 C.1 0.8 3.(多选)(2024·广东中山高二月考)下列求导 计算中，错误的有 人若)号n2,则y/=2 B若y则m sin 1 C.若y=x2+e2,则y'=2x+e2 D若h则- 10.曲线y=ea·cos3x在(0,1)处的切线与直线 1的距离为5，求直线1的方程 4.(2024·浙江杭州高二期末)已知f代x)=e血 则f'(x)= 5.已知F(x)在R上可导，F(x)=f代x3-1)+f(1- x3).则F'(1)= 题组2复合函数求导法则的应用 6.(2024·山东临沂高二月考)函数f(x)= xn(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线与直线 (a-2)x+y-2=0垂直，则实数a的值为( A.-2 B.-1 C.1 D.2 7,(2024·广东东莞高二月考)直线y=x+1与曲 线y=ln(x+a)相切，则实数a= A.-1 B.-2 C.1 D.2 8.函数f八x)=sin2x在原点(0,0)处的切线方程 为 ,请你举出与函数f(x)=sin2x在 原点处具有相同切线的一个函数： 第二章黑白题49 黑题 应用提优 限时：30mim 1.已知函数fx)=co(2x-石），则f'(石) A.a<b,b<c B.a>b,b>c b C.>1,b=c D.<l,b=e ( a 6.(2024·江苏南通高二月考)已知函数 A.-1 B.0 D.1 f(x)=e2+f'(0)ln(x+4),则f'(0)= 2.(多选)(2024·河北石家庄高二月考)下列求 导运算正确的是 7.已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是 x)的导函数a=f(牙)，求过曲线y=上 B.(5)'=x·5 一点P(a,b)的切线方程. C.(1g2x)'=1 xln 2 D.[n(-x)]'=(x<o) 3.(2024·天津和平区高二期中)曲线y=xe在 点(1,1)处的切线方程为 A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=x+2 D.y=x-2 4.(2024·江苏南京高二月考)给出新定义：设 ∫'(x)是函数f八x)的导函数∫"(x)是∫'(x)的 导函数，若方程f"(x)=0有实数解，则称 点(xo(xo))为∫(x)的“拐点”，已知函数 x)=sim2x+cos2x+3x的-个拐点是P(0 压轴挑战 )且<0，则%= ( 对于y=a(a>0且a≠1)这类函数的求导，可 以使用下面的方式进行： A18 C.1-2 D.12 第一步：lny=lna=xlna; 第二步：(lny)'=(xlna)': 5.已知二次函数f(x)=ax2+br+c,设g(x)=e· f八x),若函数g(x)的导函数g'(x)的图象如图 第三步：·y=na: 所示，则 第四步：y'=y·lna=a·lna 根据框内的信息，可得函数y=x(x>0)的导数 进阶突破拔高练P09 选择性必修第二册，BS黑白题50