第二章 4 导数的四则运算法则-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

§4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则④4.2导数的乘法与除法法则 白题 基础过关 限时：35min 题组1导数的四则运算法则 7.(2024·天津河东区高二月考)求下列函数的 1.(2024·河北张家口高二期中)函数f(x)= 导数 sinx-一的导数为 ( (1)(x)=cos x A.sin B.-c0s+2 (2)y=(2x2-1)(3.x+1): (3)y= 1+cosx C.cos 1 D.cos 1 sin x 2.(多选)(2024·广东深圳高二月考)下列求导 运算正确的是 ( A. 题组2利用函数求导法则求解切线问题 C.(logzx)'= 8.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)曲线y=x2+ aln 2 D.(x'cos x)'=-2xsin x 3在点(1,4)处的切线的倾斜角为 ( 3.（2024·四川眉山高二月考)已知函数 A.30° B.45° C.120° D.135° f(x)=sinx+4x,则li f+△x)-m)=( 9.(2024·湖北武汉高二期末)求函数f(x)= 2△x m在点P(m,0)处的切线方程 A.12 3 (请写成一般式) C.3 D.6 10.(2024·山东临沂高二期末)已知函数f(x)= 4.(2024·湖北武汉高二期末)若函数f(x)= axnx在x=1处的切线方程为x-y-1=0. ()为)的学质数，则了”)的 (1)求a的值： (2)若过点A(0,-e)的直线I与曲线y=f(x) 值为 相切，求1的方程 5.已知函数f代x)的导函数为f'(x),且f'(x)是 偶函数f(0)=1f'(1)=0.写出一个满足条 件的函数：f(x)= 6.(2024·江西景德镇高二期末)若f(x)=x3 f'(1)x2+x+5,则f'(1)= 第二章黑白题47 黑题 应用提优 限时：35mim 1.(多选)(2024·广东东莞高二月考)下列求！6.(2024·河北沧州高二月考)已知点P在曲线 导正确的是 4e y= 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜 A.(2sin x-3)'=2cos x 1+e B.(xcos x)'=cos x-xsin x 角，则α的取值范围是 C. 7.已知函数f(x)=nx- 2木，xe(0,+x) (1)求函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切 D.（ 线方程； 2.(2024·陕西西安铁一中学高二月考)若曲线 (2)令g(x)=fx)+tanx,求g'(x). yn-“在(1，-0)处的切线与直线1：2x-y+ 5=0垂直，则实数a= 3 A.1 C.2 D.2 3.(2024·福建福州高二月考)已知函数f(x)= 2+2(（兮)k+n,则)在点(11)处的 切线方程为 压轴挑战 A.3.x+y+2=0 B.3x+y-2=0 C.3x-y+2=0 D.3x-y-2=0 拓扑空间中满足一定条件的连续函数f(x),如 4.若函数f八x),g(x)满足f八x)+xg(x)=x2-1,且 果存在o∈D,使得f(xo)=o,那么我们称函数 f(1)=1,则f'(1)+g(1)= ( 八x)为“不动点”函数，而称，为该函数的一个 A.1 B.2 不动点在数学中，这被称为布劳威尔不动点定 C.3 D.4 理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威 5.(2024·山西太原高二月考)函数y=f(x)的导 尔，是拓扑学里一个非常重要的不动点定理现 数y=∫'(x)仍是x的函数，通常把导函数y= 新定义：已知xo为函数f(x)的一个不动点，若 ∫'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数，记 x满足∫'(xo)=,则称。为f(x)的双重不动 作y=f”(x).类似地.二阶导数的导数叫作三 点给出下列三个函数： 阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数，…一 ①f(x)=x3-xsin x: 般地，n-1阶导数的导数叫作n阶导数，函数 -1: y=f(x)的n阶导数记作y=f(x),例如 ②fx)=e+e 2 y=e的n阶导数(e)a=e.若f(x)=xe+ ③x)=e11 sinx,则f22》(0)= A.2022 B.2023 具有双重不动点的函数为 (填序号) C.2024 D.2025 进阶突破拔高练FO的 选择性必修第二册，BS黑白题48领斜角为故选D e(任( 4. 所以'(1) 6.B解析：∫'(x)=3x2=3x=±1，切点有两个，即切线有2条 解析：因为∫'(x)= 7.ABC解析：对于A,曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线 2+1在点（宁，？）处的切线与面线有男外一个交点(1,2 。故答案为 故A错误：对于B,过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切 点，如经过曲线上一点，但不是在该点与曲线相切而是在其他地方相 5.号+（答案不一）解折：因为）是偶函数，设=a+ 切.比如曲线y=x3与直线y■3x-2相切于点(1,1)，同时经过另外一 br.则f'(x)=3r2+,由题意可知f'(0)=6=1,f'(1)=3a+b=0,解 点(-2，-8)，我们就可以说过点(-2，-8)的直线y=3x-2与曲线y= x相切，但切点是(1,1)面不是(-2，-8)，故B错误：对于C,若 子6=1，故()=一号x故璃起条件的函数可以为 得a f'(和)不存在，则曲线y=f只x)在点(x知，代x0))处无切线是错误的， 八x)= 如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时'(。)不存在，但曲线y= 3+(答案不唯一) 八x)在点(0，八xo)处有切线，故C错误：对于D,由曲线在一点有 平行于y轴的切线，且函数在该点不连续，则∫“()不一定存在，故 6.3 解析：因为f八x)=x3-f"(1)x2+x+5.则f'(x)=3x2-2f"(1)x+1. D正确.故选ABC 令1，有了'0)=3-2()+1，解得∫(1)=子故答案为号 &BD解折：对于A项，)：的定文被为x≠01，且代 7.解：1f'（x)=tsim-ecom.sin xtcos 子0，此时/(x)=。无解，故A领误：对于B项，=n的定 (e)2 e (2)y'=4x·(3x+1)+3(2x2-1)=18x2+4x-3 义战为0+).周/ro>0.温结/re在0) (3)y=sin rsin x-cos (1teos)-1-cosx (sinx)2 sin2x 上有解，故B正确：对于C项，f(x)=inx的定义城为R,且 了P(=m.因为-1≤1，所以P()=m在R上有解。 8D解折：因为y+2则了=2么号所以2X1-月 am1B35°，所以曲线y=+3在点(1,4)处的切线的倾斜角为135.故 故C正确：对于D项，f八x)=e的定义域为R,厂"()=>0，显然 了'(x)==在R上有解，故D正确.故选BCD. 选D 9.+y-行=0解析：因为代)=血，则广”(e)=s,可得 9.八x)=x(答案不唯一）解析：两条切线互相平行应先满足在切点 2 处的导数值相等， 例如八x)=x3,f“(x)=3x2,1)=1,八-1)=-1. ()=一子切线斜率长=一石，所以点P处的切线方程为y 此时f'(1)=3,'(-1)=3, 1 函数在(1,1)处的切线方程为y=3x-2: (g),整理可得x+y一行=0，故答案为x+y一=0 函数在(-1，-1)处的切线方程为y=3x+2:符合题意.故答案可以为 10.解：(1)由题可得f'(x)=alnx+a,由y=x-1的斜率为1，得f"(1) 八x)=x(签紫不唯一). 1,即a=1, 10.解：，AB为定值.∴.要使三角形面积最大，只需点P到直线AB的距 (2)由(1)知，∫'(x)=血x+1,设切点为(x,%),则f'(xn)=mo+ 离最大，点P是与直线AB平行且与抛物线相切的切线的切点. Loh,又直线1过点A(0,-en1血“整 设点P八n),由题意知点P在x轴上方的图象上，即点P在y= 0 E上y又rku,人= 理得n=0,f"(#)=2,.直线1的方程为y+e=2(x-0),即2x 2压 2=2,得xn=1.由0=6· y-e=0. 得o=1P(1.1, 黑题应用提优 §4导数的四则运算法则 1.AB解析：对A,(2inx-3)'=2msx,故A正确：对B,(xc0s x)' 4.1导数的加法与减法法则 rm+(m=mn放B正确：对C.(2）广 4.2导数的乘法与除法法则 x'（2x+1）-x(2x+1)2x+1-2x 白题 基础过关 (2x+1)2 (2x*)3(2x+1,故C错误：对D, ,D解析：由题意可得”()=s+子故选D (C）'-e,故D错误.故选AB 2c解轿：因为(P寸)广=3子放A不正确：因为 四方法总结 求面数的导数要准确地把通数分制城基本物等面数的和、差，积 h故B正确：因为()=2故C正确：因为 商，再利用运算法则求导 (x2conx)'=2e0sx+x(-inx),故D不正确.故选BC 2B解折：因为y,所以y则y14-血1中=1+ x 2 12 3.B解析：∫(x)=o6x+4,m 2x a,所以商线y=血“在点(1，-0)处的切线的斜率为1=1+.又因 1 1 20sT+2=- 3 2+22,故选B 为直线：2x-)+5=0的斜率=2，由切线与直线1垂直可知k,2= 选择性必修第二册，BS黑白题26 -1.即210)=-1，解得0=一号放选 (宁i加2x广血2a)=2m2=m2,故A项正确，不符 3A解桥：对f)求导可得了()=2+2（）+，则 合s意：(m）广=（血）（任）广-(m）xy r（行）1（行）2.解得/（号）-3）=2-6 (m）=子血，版B项错，符合题意：(+2r 加1)=-5.()=2x-6+f(1)=-3,六切线方程为 ()+(e2'=2x+0=2x,放C项错误，符合意：气h子）广 5=-3(x-1),整理得3x+y+2=0.故迷A. 4.C解析：“代1)=1,1)+g(1)=0,8(1)=-1.八x)+g(x)= x2-1.,f'(x)+g(x)+g'(x)=2x.f'(1)+g(1)+g'(1)=2. 合题意，故选BCD. f'(1)+g(1)=2-(-1)=3故选C 4.en·c%x解析：由f'(x)=(in)'=emr·(inx)'=em 5.C解析：依题意，f'(x)=(x+1)e+ox,"(x)=(x+2)e-inx, 60sx.故答案为e1·% f》(x)=(x+3)e-c0sx,f4(x)=(x+4)e+inx,∫(x)=(x+ 5.0解析：由题F‘(x)=3x2f'(x3-1)-3x2·f'(1-x3).则F‘(1)= 5)e2+e0sx,f6)(x)=(x+6)02-inx,f(x)=(x+7)e2-es. 3f'(0)-3f'(0)=0.故容案为0. f(x)=（x+8)。+nx,…,依此类推，∫2@(x)= (x+2024)e+sinx,所以/24)(0)=2024.故选C 6.C解折：函数)=h(+2),求导得了心)=h(+2)+2则 解桥4I+e)-4·e。4 f'(-1)=-1,即函数f八x)=(x+2)的图象在点(-1.0)处的切线斜 (1+e2)3 +2e+1e+2 率为-1，因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-4)×(-1)= e -1.所以=1.故选C. 为e>0,所以e+≥2，所以ye（0.门，所以mae（0.小.义因为 乙D解析：设切点为P(o,h(o+a),则y,l,且 ae0,).所以ae(，子]所以a的取值范是(，]故答 ln(xo+a）=xo+1,解得0=-l,a=2,故选D. 8.y=2xy=x2+2x(答案不唯一)解析：由f(x)=in2x,得 ∫'(x)=2o2x,所以函数f八x)在原点(0.0)处的切线的斜率为k= 案为(0，] ∫'(0)=2因此函数八x)在原点(0.，0)处的切线方程为y=2x求与函 数爪x)=m2x在原点处具有相同切线的一个函数，则该函数在原点 7.解：(1)由题意知∫'(x)= 2且2)=n2-1.则/(2)=0，所拟 11 (0.0)处的导数值为2即可，答案不唯一不妨令y=x2+2x,y‘=2x+2 在点(2,2)处的切线方程为-(n2-1)=0x(x-2).即y=n2-1. 所以函数在原点(0,0)处的切线方程为y=2: 小 1 (2)由g()=hx2+m,所以g(x)=(血x)'- 9.解：(1)y■ (2x+5)= 2*5*2=e42 2x+5 x2 cos2x 2 压轴挑战 (2)由(1)知y'=e2+ 2x+5心当x=-2时y=e24 2 2×(-2)+5 ①②解析：对于①f八x)=x3-xsin,则f'(x)=3x2-sin x-Kcosx,可 1-2=-1. 得0)=0'(0)=0,0为x)的双重不动点，故①正确：对于②： 设该函数的图象在x=一2处的切线的倾斜角为，则心=-1.又 二1期r 2,可得0)=0f'(0)=00为 ae[o.m)..a 4…该函数的图象在x=一2处的切线的候斜角 八)的双重不动点，故②正确：对于③八x)=心-上-1的定义域为 为 x1x≠0，故该函数不连续，故③错误故客案为①② 10.解：y'=2e·es3x+(-3sin3x）·e2=e2·(2es3x-3in3x). 曲线在点(0,1)处的切线斜率=e”·(2s0-3sin0)=2, §5简单复合函数的求导法则 则曲线在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1, 白题 据进过关 设直线1的方程为y=2+,由d=1-=5,解得1=6或-4 +4 1.C解析：由fx)=e-1,得f'()=3,所以f'(1)=3e2.故选C 故直线/的方程为y=2x+6或y=2x-4, 2B解桥：'()卢2×2xm 1.1 1 1 ×2=- ,由f"(x0)=1,得 黑题 应用提优 2x+1 √/2x0+I 1,解得x。=0.故选B 1.A解析：因为f代x)=cos2 为复合函数 四方法总结 (1)求乎之前，应利用代数运算，三角恒等式等对面效进行化简，然 后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运 草速度，减少差错 所以()-2如(2x6-21.故选 (2)①考函数为根式形式.可先化为分数指数幂，再求导： ②复合随数求导，应由外到内逐层求早，必要时可进行换元 2AD解折：A设y=m,=分所以=(m)…(告）广 3.CD解析：由初等函数求导公式和复合函数求导法则知， m7,故A正确：R(5)'=5n5,故B错误： 参考答案黑白题27