第一章 数列（拔高练）-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

进阶突破·拔高练参考答案 第一章数列 放正确：对FB,若4p1号气）2云 §1数列的概念及其函数特性 1号（）宁2=1，以民类推可知 1.D解桥：对于①：当=时，4（合）广4=之4=子所以 数列{4，不是递减数列，所以①不正确： ,0,即●a放B正确：对于C由a1结合法项 对于@：当0<时，a.a≤1，所以 a nk 2n B得出a>1,1-1=(+)1(云)a-).0 41<4。,所以数列{4，}为递减数列，故②正确： 对于③：当子k1时，.a+1)a+14 号(-）小宁所以1宁a-0放c错误，对于 因为a≤，当k=号时a=(号广=子=2x D.者a1=2.4≤1计=21a=(+）<1+ (仔）广号=x(}广4（号）广x 餐设≤12(eN”≥2)，构造函数)=(+）易 (侣）广一，所以复列a有最大项为山4号类比可 知)在(1，+*)上单调递增，所以a1=a,)≤对+) 得，当1时，数列1©，不是一个单洞递增数列，而是会像举例 (小)小1女由以上归销得出对任意aeN,a≤ 中《=2时一样先递增后递减，故数列，一定会有最大项，故③ 1,故D正确放远ABn 不正确： §2等差数列 对Fo会a吉狂数时宁L a。n·k 知识点一 等差数列的概念及其通项公式 当=时a*4>0>当宁k1时，含合(meN ()解：当a=时，由已知，血1=msa,知血=6msa= 2 新得一aa着 1+m'a,n·k” a。 又由()a,<(+）,可知要<4所以=经又 1,数列a,单调递增：若>m,则<1，数列a,单调递减：若 4=2{子受}，所以要符合题意同理，由血4 n=m,a1=a。,所以数列1a,必有两项相等的最大项，故④正确。 故迹D. c0s42= 2.C解析：对于①，在数列1a,中，a21-a1=a.,则a1(a1-1) a,又对于任意的neN”,都有a.>0,则a1-1>0,即a1>1,即对 }所以o=学商血=w与=受ca得a 4 于任意的n≥2，都有a,>1所以41的值不确定大小，故①错误：对于 ②，不妨设数列{a,可能为常数列，增a。=a1,又a21a1=a。,则 又a四=2={受}所以，-？符合题意 a-a,=a.,解得a.=2,即当a1=2时，数列1an}为常数列，故②正 (2)证明：因为如1casa,所以n81=血气号-a,,所以 确：对于③，0<a1<2,则0<a-a2<2,因为数列|an|中各项均为正数， 即1<a2<2,同理，当n≥2，都有1<a,<2,又a1-an=2a1-a21= a1-2-d,+2kw(kEZ)+-0=+2k(kEZ),dta= aa*1(2-a1)>0,即数列a.}为递增数列，即当n≥2时，a1<a。<2,故 ③正确；对于④，因为a1>2,所以-2>2，即2>2，同理，当n2,都 号2m(eZ)或1a=受+2m(keZ.因为(a-子）-<a,< 有an>2,即a1-a.=2a1-a21=a+1(2-a1)<0,即a1<a。,即数 列{a,|为递减数列，故④正确，故选C a）所(）<a<(+）.()a< ABD解折：对于,若1=1，则=气a+)1, n+）=,所以(2a-)<a+,<(2a+子）m,<a-a< 宁（马）1，以此类推可知，4=1，所以数列1o,为常数列， 选择性必修第二册·BS黑白题50 2 当=1时==(色)广解得4=1。 是+2(a时)=2m+受(aeZ所以a+a4-(a,+a）=2a 2 当≥2时a=85-(）-(色）月 受（任2）小=2ae2.所以数列16+n是公差为2红的等 化简得an-a1=2, 一数列1a,是以1为首项，2为公差的等差数列， 差数列. ∴.a。=1+2(n-1)=2n-1. 四重难点拔 由nan1=asa,根据诗导公式可得ina1=血a,,可 由)可得6“a,+mla西”aaD(日 得anta,=受2m(eZ)或a1-0,=号+2(keZ),形用好 ) “正余独错位数列”的定义条件(a子)加a,<(+子)=，申可 数列6，的前项和元=（宁分子+片）片 得到aa,=受2m(aeZ,得科用等差数列约额念即可 ()-m n+l n 知识点二等差数列的前n项和的综合应用 T.1-7.4n+2）4a+4a+1j(n+220, 1.解：(1)由题意知，每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公 六1T单调递增，T.≥1=8 差的等差数列，设第n年时累计总利为f(n),则f八n)=6400n- n111 [1000+1400+…+(400m+600)]-12800=6400n-n(200n+800)- T4n+D44+D年 12800=-200(m2-28n+64), 1 企业开始盈利即f代n)>0,即-200(n2-28n+64)>0, 8≤7.<4 所以n2-28n+64<0, 1 4 ≤5m, 解得14-233<n<14+233,即2.6<n<25.4, 若使得5m-2<,<5m对一切neN"恒成立，则 4 5m-21 所以积碳清理机投人运营后，该企业从第3年开始盈利 48 (2)若选择方案一：因为累计总利润为f(n)=-200(n2-28n+ 1 64)=-200(n-14)2+26400, 解得0≤m< 20 所以当n=14时，f(n)有最大值，最大值为26400， 实数网的取值德国是[品子） 所以选择方案一时，积碳清理机使用14年后被沟淘汰 3.解：(1)因为a1=a,+n+1,所以a1-a,=n+1,可得a=a,-a-1t 若选择方案二：因为年平均利润为0=-20(46-28） a1-82t+ag-ata=m+(a-1）++1=a（n,即a,n（a+ 2 2 (国由（)可知6-(.，当n为锅数时，a 当且仅当：公即=8时等号成立， n(n+1)_n(1-n 2 2 2c0,7=(1+2+2)+[2-2x334-4x5+ 所以当a=8时，有最大值最大值为20@， +(2-1024-24(2k+10]=6(2k+10+宁(-2x2-2x4- 所以选择方案二时，积碳清理机使用8年后被淘汰 2·2k)=2k2+k-(2+4++2k)=2k2+k-k(k+1)=k2,2≤100，.k≤ 我认为选择方案一更合理因为若选择方案一，积碳清理机共可为企 10,则T2,T4,…,T0满足题意，T1=2+(2k+1)+(2k+1)(k+1)= 业盈利26400元：若选择方案二，积碳清理机共可为企业盈利2400× 3张2+5k+2≤100，k≤4，T1,T3,T5,T7,T,满足题意，A中所有元 8=19200(元).所以选择方案一可为企业盈利更多一些，因此我认为 素的和为(1+3+5+7+9)+(2+4+…+20)=25+110=135. 选择方案一更合现 4.解：(1)1b,|不是等差数列理由：因为S1+S。=3n2+6n+3,当n= 我认为选择方案二更合理因为若选择方案一，积碳清理机为企业廉 1时，S2+S,=2a1+a2=3+6+3=12,又因为a1=2,所以61=a1ta2=10 取的年平均利祸为501子（元），若法择方案二，积碳清鞋 当n≥2时，因为5。-5.-1=an,由S1+5。=3n2+6n+3,得a1+ 机为企业嫌取的年平均利润为2400元所以考虑时问成本，选择方 S,+8=3n2+6n+3①，所以a,+2S-1=3(m-1)2+6(n-1)+3②. 案二可使得企业盈利的效率更高一些，因此我认为选择方案二更合 所以①-②得a1+a,=6n+3,经验证，当n=1时不等于6，所以{6. 理（两种方案中选一个即可） 不是等差数列. (2)由an+1+a,=6n+3(n≥2)，得a+2+a1=6n+9(n≥2)，两式相减 2.解：(1)由2√S,=4n+1,得5。= 得a2-a,=6(n≥2)，所以当n≥2时，数列fax(keN)是首项为 参考答案黑白题51 a2=8,公差为6的等差数列；数列引a2如i(keN·)是首项为4=7， bg2+2ab1p9,c193=(a1+b1)(a1p2+b1g2)=aip2+bg2+a1b1(p2tg2). 公差为6的等差数列.当n为偶数时，不妨设n=2k(keN‘),则a4= 由于p≠g,p2+g2>2pw,又a1,b1不为零，则c-c19=a1b1(2p网-p2- 6k+2,此时T2u=c1+e2tc3+…+c2h-1+c2s=a1a2-a2ag+a34-a44+ g2)≠0，因此，≠c193,故数列{c,不是等比数列. 43a6-tam-1a4-a44+1=a1a-a2a1-(a5-a)a4-(a7-a）a6- 知识点二等比数列的前n项和的综合应用 (g-a,)as-…-(a21-2左-1)a4=16-56-(6m,+66+6a,+…+1.(1)解：由题图知后一个图形中实心三角形的个数是前一个的3倍， 6a)=-40-6[4(k-1)+-）-2》:6]=-18-30+8因 所以1a,}是以1为首项，3为公比的等比数列，故a,=31,由题图知 2 为n=2(eN),所以此时，：号-15+8当n为奇数时，不防 后一个图形中实心区城的面积是前一个的冫，第一个三角形的面积 设n=2k+1(keN”）,则a21=6k+1,此时T2出1=G1+c2+心+…+ 为1，做区是以1为市项子为公比的等比数列放6，-（任）门 C2站-1+c2ktc2l=a1a2a2a3+a344-a4a5+a546-…+a2g-1a4-a24a21 42+142+2=a14+(a4-a)at(a6-a)ayt(ag-a6)a,+…+(a2+2- （a②证明6ak+ot+a-+o-(任）厂+3x a24)a21=16+63+6a5+6a,+…+6a21=16+67k+ (层）（任）gx=(+ :(k-)·6]=18k2+24+16因为m=2k+1(keN”),所以此时 2 点安小空)受- 1 元=号43吕综上所述，当a为偶数时，7=-号2-15+8，当 1 2 n为奇数时，不=243n+号 .17 )因为eN”,故经单河遥瑞，放会≥子×(-号)1汉 年。 §3等比数列 知识点一等比数列的概念及其通项公式 2.解：(1)因为a,,6是正项等比数列，且6，=3”-4，所以 1.解1)因为a+2+妈++，=。1①，当≥2时. b2 即”.设1a,的公比为00>0，所以02 3-a132-a2 3-a1 9-a19 4+2a,+3,+(a-0a1=受，②，由D-②得a," 201 19-a1927-a12 又因为a好+=10，所以 3-a19-a19'解得{ a=1, 所以数列 、A。整理得到nta1三3，又由a4+2a+3yt…+m,=2a+1, 9=3. na a+aig2=10, 当n■1时，得到a1■a2,即a1,故数列{na.从第二项起，是以2为 1a,的通项公式为a。=a1g1=3 首项，以3为公比的等比数列，所以%n=2·3-2(n≥2)，即a。= (2)结合题意，a.=3-1<100,得到n<6,所以cn=1a,-1001= 1,n=1, ，3ra≥2)，又a=1时，0=号1，所以e, 2.3-2,n≥2 (10-aa<6,当n<6时，7=6t6t6+t.-(10-a)+(10- n a.-100,n≥6， （2)因为，≥(a+1)A等价于A≤号当a=1时，A≤分由（1)知。 4(10-)=1m+1m:当≥6时，7 1-39 G1+c+c3++c,=(100-a1)+(100-a)+…+(100-a5）+(a6-100)+ 'na(n+1)设n)=2:3m3 当n≥2时，0=2·32 a(a+1)n≥2，neN),则+ (a1-100)+…+(a。-100)=(a1-100)+(a2-100)+…+(an-100)+ 2,312·324(n-1)·32 2(10-a)410-)+…+(10m-a月-5-10n+2x39- )-f(n）=a+a+2n(a+Daa+1a+2>0对n≥2， 2·30.1 21m6 neN恒成立，所以m）≥2)严2x2+D3,故当n≥2时，A≤ 3-1100m+758.综上所述，T.= 2 分宁兮所以A≤兮 1 3m+73a6 3.解：(1)因为og2(S.+2)=n+1,所以S.+2=21,则S。=21-2,当n= 2.(1)解：数列ic1-c,是等比数列，(c2c+1)2=(cn1- 1时，41=51=2-2=2.当n2时，an=5。-5-1=21-2-2+2=2”, pc2)(c1心，)，将c=3”+4”代人上式，得[32+4+2-p(31+ 当n■1时，a。=2"也成立，所以数列a。}的通项公式为a。=2“, 41)]2=[33+4+3-p(32+4*2)】·[31+41-p(3+4“)],即 (2)由(1)可知an·b.=n×2”,所以M。=1×2+2×22+3×23++n×2”, [(3-p)31+(4-p)4门2=[(3-p)32+(4-p)4+2]·[(3-p)3+ 所以2Mn=1×22+2×23+3×2+…+m×21,则-Mn=1×2+1×22+ (4-p)4],整理得(3-p)(4-p)=0,解得p=3或p=4. (2)证明：设anl,b,的公比分别为P,9P≠g,c,=a,+b。,为证c 1×2++1x2”-nx2.21-2）-n×2=（1-n）×21-2,所 1-2 不是等比数列，只需证：c≠c13.事实上，=(a1p+b1g)2=ap2+ 以M。=(n-1)×2+1+2. 选择性必修第二册·BS黑白题52 (3)由题意，数列{cn}中的元素依次为a1,3,3,2,3:.3,a3, 2个 2个 ） 3,.3,4,…,在1到5之间3的个数为21+22+23+24=30，故到 (2)设第n阶段“黄金数学草”生长的长度为a.,生长的高度为6。， 2个 a5处n共有35个元素，所以前36项中含a1,,a5及31个3，故 由题可如，是以1为首项，g=5,为公比的等比数列，则a, 2 万6=a,+a,+a,+31x3=2+2++2+93.2(25-1》493=15 2-1 ）” 4.(1)解：因为2°共有(n+1)个正因数，它们是1,2,22，…，2，所以 1- 当n为将数时，64，当n为偶数时，60，·血30受，即6 4,=2)=1+2*24+2:1 11 1 2 222…+ =2- 2 (an.n=2k-1, 2 keN'. 2n=2k, 6.2所以m,=2n2所以元=(2x1分）(2x2是）片 设第13阶段“黄金数学草”的高度为S,则S=b1+b2+b+6+b+ (2）(2a）-2123w)-( bo+b3+bs+bo+bio+bu+b2+b3=(aj+az+as++3)+2(az+a+ 123 a6++a)= ”+号·的 1-g2 1-g2 号之…两式相减得 241259(） 2(1-g2) 2(1-g2) 2.解：(1)由题意得|an}是等差数列，a1=480,d=-20,所以a,= 11.1,1n 26,"222t+ 22+1 21n*2 27,所以 11 50-20n由题意得6=750,61=26.+250，所以61-50 62是所以n2, 之6，-50)，又-50=250，所以6-50是首项为20，公比为 2 (2)证明：因为P,m,n为质数，则23的正因数有4个，它们是1，P,p2, 之的等比数列，所以6-50=250x(合）】 ,所以b.=500+250× p3.m,n的正因数均有2个，分别为1，m和1，：pmn的正因数有 4×2×2=16(个)，分别为1，P,p2,P3,m,m刚，2，mp3,n,p,np2, (3)）0✉(）] p,m,g,mw,mg,所以1)=1p,1(m)=1 p m (2)A,是数列1a,的前m项和，所以A,=480a+Dx(-20)= 2 =pm） 490m-10m2.B。是数列1b,}的前n项和诚去600，所以Bn=500×1+ 1+ptp+ptm+mp+mpitmp+n+np+mp+np'+mn+mnp+mnp?+mnp p'mn (1+ptp2tp)+m(1+ptp+p)tn(1+ptp2+p)+mn(1+ptp2+p) -600=500 -600 p'mn (1+pp2+p)(1+m+n+mn_(1pp2p2)(1+m)(1+n】 -100. p'mn p'mn 500n50 2n 1+pp2+p.1+m,1+n=p)m)(n). m （3)B.-4.=500n50-10-490n-10m2)=10n2+10n-30-10,易 2 因为2024=23×11×23.所以(2024)=1(23×11×23)=1(23)1(11) 得此函数当neN'时单调递增，且n=1,2,3时，B。-An<0,n=4,5, 123)=1+2+2+2x41x1+23.15x2x24540 6,…时，B。-A>0,所以该企业至少经过4年，进行技术改造的累计 2 112381123253 纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润 §4数列在日常经济生活中的应用 ·§5数学归纳法 1.解：(1)第1阶段生长的长度为1，高度为1： 1.(1)解：因为a21-a2=2,a=12=1, 第2阶段生长的长度为5一，生长的高度为5 2 -×sin30°： 所以数列{21是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a2=1+(n-1)·2=2n-1. 第3阶段生长的长度为 5-1 ),生长的高度为()： 又a,>0,则a.=√2n-I. 第3阶段“黄金数学草”的高度为1+ 5-1 ×in30°+ 1 ≤√2m-1. 2 (2)证明：由(1)知，即证1+1 3√2m- 参考答案黑白题53 ①当n=1时，不等式左边=1，不等式右边=1，所以不等式成立： 第二章导数及其应用 当=2时，不等式左边<不等式右边，所以不等式成立 ②假设当n=k(k>2,keN·)时不等式成立. §1平均变化率与瞬时变化率 1 1 即1+ +…十 ≤√2h-1. 2kT §2导数的概念及其几何意义 当n=k+1时. 1.D解析：函数八x)是定义在R上的偶函数，且(x+1)为奇函数， 1 1 不等式左边=1+ 1 ≤√2k-I+ f-x)=fx),x+1)=f-x+1), √/2k-1√2k+1 √2k+I ∴f八x+2)=f八-x)=f八x), 2k-1+ 2 =2-+2(v2k-2.√2- f八x+4)=-八x+2)=八x), √2k+I+2-I 2 ∴函数f爪x)的周期为4 √2(k+1)-I, 令x=-1,可得1)=-(-1)=1)，即1)=-1)=0， 所以当n=k+1时不等式成立 ,f(-9)=f-1)=f八1)=0 由①②知，对一切n∈N'原不等式恒成立。 由f(x+2)=-f-x)=-x),得f'(x+2)=f'(-x)=f(x), 2.证明：(1)根据条件知25。-2an=a,-4n,2Sn=3a,-4n f'(x+4)=f'(x).又f(1)=-2, 当n=1时，41=4： “∫(-9)=∫(-1)=-f"(1)=2, 当n≥2时，25.-1=3a1-4n+4, 曲线y=f代x)在点(-9，f(-9)处的切线方程为y-0=2(x+9), 528。-25.-1=3am-3a-1-4, 即2x-y+18=0. 即2a.=3a.-3a.1-4, 故选D. 整现得a,=3a-1+4,变形得a,+2=3(a1+2) 5x+y+1 a1+2=6≠0， 2.D解析：依题意， 5x+y+1 =2 √(3)'+1 令直线1：3x+y a+2 +(y+1) +(+1) a123, (5x+y+1=0, ∴数列引a,+2是等比数列. 1=0,显然直线1过点A(0,-1).由 得5x+x2+1=0,显 y=2, (2)由(1)得a,+2=6.3-1=2·3°， 然4=(5)2-4<0，即直线1与曲线y=x2相离，且万x+x2+1>0,则曲 dn+2 b.=log影2=n, 线y=x2上的点P在直线1上方，过点P作PH⊥【于H,如图，则 即证男(）小（兮（兮）…（站）》 m莉0周2品2 W(5)2+1 下面用数学归纳法证明此不等式： IPHI ①当n=1时，不等式左边=2>2×1+1，不等式成立； IPAI =2si∠PAH设过点A的直线与曲线y=x2相切的切点为(t, ②假设当n=k(k≥1，k∈N”)时不等式成立， (x+4x)2-x2 P),由y=2,求导得了=m+A =2x,则此切线斜率2！= 即（片）（写）（写）…（小 2+ t-0 ,解得=±1，即切点为（士1,1），而点A在曲线y=x2的对称轴 那么当a=+1时，不等式左边=(+)（兮）（， 上，曲线y=x在过点A的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点 号）…()(4小2m…(）} P的坐标为(1,1)时，锐角∠PAH最大，sin∠PAH最大， 3x+y+1 √星+(y+1)产 要证v·(（）小2， 最大此时1m25,P15,由Lp=m-25.所 只要证1 =>V2k+3-2k+= √2k+ 2k+3+√/2k+I Bx1的最大值为2nLPn25_25+压故选D √+(3+1) 5 k≥1，∴.√2k+3>2k+1, 2 2 √2k+3+√2k+I√/2k+I+√2k+I2k+I 1 不等式V2T·（+2k中卜2成立， 即当n=k+1时不等式成立 综合①②知，原不等式对一切n∈N·成立 选择性必修第二册·BS黑白题54进阶 突破 第一章数列 §1数列的概念及其函数特性 S2等差数列 1.已知常数k∈(0,1)，数列{an}满足an=n· 知识点一》等差数列的概念及其通项公式 k"(neN).现给出下列四个命题： (2024·江西南昌高二期末)若数列b,满 ①当k=2时，数列1a,为递诚数列： 足am<ar是m44e5}. ②当0<k<2时，数列a,}为递减数列： 且sin b+1=cos b,则称数列{bn}为“正余弦 错位数列”.已知数列{a}为“正余弦错位 ③当)<1时，数列a,不一定有最大项： 数列” ④当，气为正整数时，数列a,必有两项相 (1)若a1=4,求aaa 等的最大项 (2)证明：数列{an+an1}为等差数列. 其中正确命题的序号是 A.①② B.③④ C.②③④ D.②④ 2.(2024·辽宁沈阳高三模拟)已知数列{a,} 中各项均为正数，且a21-a1=a(n=1,2, 3,…),给出下列四个结论： ①对任意的neN·,都有an>1: ②数列1an}可能为常数列： ③若0<a1<2,则当n≥2时，a,<an<2: ④若a,>2,则数列{a。}为递减数列. 其中正确结论有 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 3.(多选)(2024·山东潍坊高二期中)已知数 列a,满足aa,+)neN),则 A.若a,=1,则数列{an}为常数列 B.若a,>l,则对任意neN°，有a1<a C.若a1>1,则对任意n∈N”,有an1-1≥ 2(a,-1) D.若a,=2,则对任意neN,有a,≤1+， 进阶突破·拔高练 知识点三》等差数列的前项和的综合应用 2.(2024·湖北黄冈高三月考)已知数列1a。} 1.已知汽车积碳清理机每台12800元.某企业 的各项均为正数，其前n项和S。满足2Sn= 购买了一台该设备，投入运营后，该清理机 1 每年可给企业带来收益6400元，其维修保 a.+1,数列b.满足6.(a,+1)(a+1) 养费用第一年为1000元，以后每年增加 (1)求{a}的通项公式： 400元. (2)设数列1b的前n项和为T,若2、 (1)积碳清理机投入运营后，该企业第几年 T.<5m对一切neN·恒成立，求实数m 开始盈利？（结果保留整数，参考数据： 的取值范围. /33≈5.7)》 (2)积碳清理机投人运营一段时间后，何时 淘汰该设备，企业设计了两种淘汰方 案：方案一：累计总利润最大时淘汰：方 案二：年平均利润最大时淘汰.请计算两 种方案下积碳清理机各使用多少年后 被淘汰你认为哪种方案更合理？试说 明理由。 02黑白题数学|选择性必修第二册·BS 3.(2024·浙江杭州高二期末)已知数列{a,}4,(2024·河北石家庄高三期末)已知数列 满足a,=1,且对任意正整数n都有a+1= an}(n∈N)的前n项和为Sn,若Sn1+ a,+n+1. Sn=3n2+6n+3,a1=2 (1)求数列{an}的通项公式： (1)记b。=an+an+1,判断1bn是否为等差数 (2)设数列{bn}的前n项和为Tn,bn=n- 列，若是，给出证明：若不是，请说明 (-1)"a,(n∈N"),若A={nln≤100且 理由 T≤100，n∈N|,求集合A中所有元 (2)记cn=(-1)a,a+1,{cn}的前n项和 素的和 为T,求T 进阶突破·拔高练03 §3等比数列 2.(1)已知数列cn},其中cn=3"+4”,且数列 知识点一》 等比数列的概念及其通项公式 c1pcn}(p为常数)为等比数列，求 1.(2024·福建福州高二月考)已知数列1a.} 常数p: (2)设{a},b,}是公比不相等的两个等比 n+1 中，a1=1,a1+2a2+3a3+…+nam= 2a+ 数列，cn=an+bn,证明：数列cn不是等 (n∈N'). 比数列. (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若对于neN°，使得a,≥(n+1)入恒成 立，求实数入的取值范围. 04黑白题数学|选择性必修第二册·BS 知识点二一》等比数列的前项和的综合应用 2,(2024·黑龙江哈尔滨高三期中)已知数列 1.(2024·江西宜春高三月考)下图中的一系 an},{bn}是正项等比数列，且bn=3”-an, 列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图① a+a=10, 是一个面积为1的实心正三角形，分别连接 (1)求数列a,}的通项公式： 这个正三角形三边的中点，将原三角形分 (2)设cn=la。-1001,求数列1cn的前n项 成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角 和T 形得到图②，再对图②中的每个实心小正 三角形重复以上操作得到图③，再对图③ 中的每个实心小正三角形重复以上操作得 到图④…依此类推得到n个图形.记第 n个图形中实心小三角形的个数为a。,第n 个图形中实心区域的面积为b。 2 3 (1)写出数列an}和{bn的通项公式； (2)设cn=a,bn+abn-1+…+an-1b2+anb1,证 4 明：a,≤c.<3a 进阶突破·拔高练05 3.(2024·辽宁沈阳高二月考)已知数列1a.}4.(2024·江西南昌高二月考)对任意正整数 的前n项和为S。,且S。满足log2(S。+2)= n,定义n的丰度指数1(n)=S(m）,其中 n+1. n (1)求数列{a,}的通项公式： S(n)为n的所有正因数的和. (2)数列1bn}的通项b,=n,求{an·b,}的 (1)若an=1(2m),求数列{nan的前n项 前n项和Mn; 和T。; (3)在任意相邻两项a:与a1(其中k∈ (2)对互不相等的质数p,m,n,证明： N·)之间插入2个3，使它们和原数列 1(pmn)=1(p3)1(m)1(n),并求 的项构成一个新的数列{cn.记T.为 1(2024)的值. 数列{c}的前n项和，求T的值 06黑白题数学1选择性必修第二册·BS §4数列在日常经济生活中的应用 2.某企业2023年的纯利润为500万元，因为 1.如图是某神奇“黄金数学草”的生长图.第 企业的设备老化等原因，企业的生产能力 1阶段生长为竖直向上长为1的枝干，第 将逐年下降.若不进行技术改造，预测从 2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干 2023年开始，此后每年比上一年纯利润减 的长度是原来的5，且与日枝干皮120。 少20万元.如果进行技术改造，2024年初该 企业需一次性投人资金600万元，在未扣除 第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝 技术改造资金的情况下，预计2024年的利 干，新枝干的长度是原来的5，且与旧枝 润为750万元，此后每年的利润比前一年利 润的一半还多250万元 干成120°.…依次生长，直到永远 (1)设从2024年起的第n年（以2024年为 (1)求第3阶段“黄金数学草”的高度： 第一年)，该企业不进行技术改造的年 (2)求第13阶段“黄金数学草”的高度. 纯利润为a,万元：进行技术改造后，在 1丫 未扣除技术改造资金的情况下的年利 润为b万元，求an和bn: 第1阶段 第2阶较 第3阶段 (2)设从2024年起的第n年（以2024年为 第一年)，该企业不进行技术改造的累 计纯利润为A。万元，进行技术改造后 的累计纯利润为B,万元，求A.和B。; (3)依上述预测，从2024年起该企业至少 经过多少年，进行技术改造的累计纯利 润将超过不进行技术改造的累计纯 利润？ 进阶突破·拔高练07 ·§5数学归纳法 2.设数列{an}的前n项和为Sn,且a。与-4n 1.各项都为正数的数列1an满足a,=1,a1 的等差中项为S。-an a2=2. (1)求证：数列|an+2}是等比数列： (1)求数列{an}的通项公式： 111 (2设6，=2求证)) (2)求证：++…+≤√2n-1对一切n∈ a a2 an N恒成立 )…（ 08黑白题数学|选择性必修第二册·BS