第一章 数列 真题演练-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

第一章真题演练 黑题 真题体验 时：55min 考点1数列的概念、性质和运算 6.(2023·全国乙理)已知等差数列a,}的公差 1.(2024·全国甲文)记S。为等差数列{an}的 前n项和.已知S。=1,则a3+a,= ( 为35集合S=ma.aeN若S=a,61, 则ab= A. B. A.-1 C.0 1 2.(2024·全国甲理)记S,为等差数列1an}的 0 前n项和，已知S,=So,a=1,则a1=( ) 7.(2024·新课标全国Ⅱ)记S为等差数列 7 {an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5, 则So= 8.(2023·全国乙理)已知{a,为等比数列， 3.(2023·全国甲理)设等比数列{a,}的各项均 a2a445=a346,aga0=-8,则a,= 考点2数列的综合应用 为正数，前n项和为S.,若a1=1,S,=5S,-4, 9.(2024·全国甲文)记S。为等比数列|an}的 则S,= 4.5 前n项和，已知2Sn=3a+1-3. 5 8 B.$ (1)求an|的通项公式： C.15 D.40 (2)求数列|Sn的前n项和 4.(2023·新课标全国Ⅱ)记S,为等比数列 {a.的前n项和，若S4=-5,S6=21S2,则S。= ( A.120 B.85 C.-85 D.-120 5.(2023·新课标全国I)记Sn为数列{an}的 前n项和，设甲：a为等差数列：乙：倍 为等差数列，则 ( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 选择性必修第二册BS黑白题40 10.(2023·全国甲理)设S。为数列{an}的前12.(2023·新课标全国I)设等差数列a.1的 n项和，已知a2=1,2Sn=n. 公差为d,且b1.令b.=心m,记S,T分别 (1)求{a.的通项公式： 为数列a,1bn|的前n项和 (2)求数列2}的前n项和7 (1)若3a2=3a1+a,S3+T3=21,求{an}的 通项公式： (2)若{b.}为等差数列，且S四-Tg=99,求d. 1山.(2024·全国甲理)记S,为数列a,}的前13.(2023·新课标全国Ⅱ)已知a,}为等差数 n项和，已知4S.=3a.+4. an-6,n为奇数 列，b.三 记S,T。分别为数 (1)求an的通项公式： 2an,n为偶数， (2)设b。=(-1)-na。,求数列{b.}的前n项 列1a,},bn}的前n项和，S=32,T3=16. 和T (1)求{an的通项公式： 视频讲 (2)求证：当n>5时，Tn>S 视频讲解 第一章黑白题41所以e1te3++e4=15+-)x-2。-+16 则Sn=m1-t…a(n+1),有S1=(n-1)a。-4·n(m-1),n≥2，两式 2 相减得a。=m1-(n-1)a。-2m,即a1-亿.=24，对4=1也成立，因 又1=0=C-…,4m1: 此a,|为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件， 所以524=2(e+1te2t…+e1）=-2k2+32h=-2(k-8)2+128. C正确.故选C 所以当=8时，Su取得最大值，且(S4)m=128 (3)因为1,2,2，…，2成为数列中的连续项，且该“对称数列“ 6B解折：依圈意，等差数列1a中=a1+(a-）,行号+ 的项数为2-1. 所以这样的“对称数列”有： (a,),品然函数y=m[导+（号）门的周期为3.面 ①1,2.22，…，22,2,22，…，22,2.1； neN,即csa.最多有3个不同取值又sa.neN|=a,b ②2-2-2，….22.2.12.22.，2-2.2 则在cs1,c%2,cs3中，当csa1草60sa2≠cga3或o%1≠ 当>2000时. 对于0，当≥2024时.324=1*2+2++2四。-2吧。 m=m时，有m0=m(0:号），即有+(0+号） 1-2 22m4-1: 2,ke五解得9=m-于ke乙.所以b=m(a-号）： 当2000<i<2024时，S24=1+2+22++21+22+23+…+2225= 1-222-20必(1-224) m[(于）]-m(a-号）mas-w2am号 1-2 1-2 =2-1+21-24-2脑 (2204-1,i≥2024， 子当sa=sm,时，同理可得ah=了故选B 1 所以s1oa4{2-1+24-2-2,2000<ic2024 对于②，当i≥2024时品2@4=21+2-2+…+224= 7.95解析：因为数列4.为等差数列，侧由题意得 2-204(1-2204） =2-2-10 t2,31、解得则5o=10u,+10”4三0 d=3, 1-2 3(a1+d)+a1+4d=5, 当2000<<2024时S2@4=2-+22++22+2+1+2+22++22 (-4)+45×3=95.故答案为95. _1-242(1-22@4) 8.-2解析：设a,的公比为g(g≠0)，则a2005=406=g·a59,显 =21-1-2+220=21-3+224 1-2 1-2 然a。≠0，则a4=g2.即ag=g2,则a19=1.因为aao=-8,则a19“· 2-2-24,1≥2024 a1g=-8,则g5=(g3)》=-8=(-2)》,则g=-2,则a,=019·93= 所以s2et{2-3+20-,2000<ic2024 g3=-2.故答案为-2 第一章 真题演练 9.解：(1)因为2S。=301-3,故2S-1=3n。-3,所以2a.=3a+1-30 黑题 真题体验 (a≥2)，即5和，=31故等比数列的公比为9=子，放2a,=30,-3 1.B解析：设等差数列1a。的首项为a1,公差为d,则通项a,=a,+ 5 301× 3 （a-1)d,前n项和3=m4n)》,所以+=2(a,+4h.,= 2 ()] 2 9(a,+4d).,从面a+a,=gS,.再由已知条件S,=1得a+a=) (2)由等比数列求和公式得S. ( 选B. 2.B解析：由So-S,=a6+a,+ag+ag+a0=5,=0,则ag=0,则等差数 行，所以数列S的前小项和了=+$+5++ 列o的公发放4=1-4x(）子 3 [()(3)+(3)*+()]-= 故选B. 3.C解析：由题知1+q+g2+g2+行=5(1++g2)-4,即g3+=4+4g2, 即g3+g2-4g-4=0,即(g-2)(g+1)(g+2)=0.由题知9>0.所以q=2. 2 所以S4=1+2+4+8=15.故选C 4.C解析：设等比数列a.的公比为4，因为S=-5,S6=21S2,所以 g*-1.否则S=0.从而S2,S4-S2S6-S,S-5%成等比数列，所以有 10.解：(1)因为2S。=a,当n=1时，2a1=a1,即，=0：当n=3时， 2(1+,)=3,即a,=2:当n≥2时，25-1=(n-1)4-1,所以 (5-5)户=8(21的+5)，解得品=-1或5=手当号-1时。 2(5-5-1)=m,-(n-1)a.-,=2a.,得(n-2)a,=(n-1)a-1:当n≥ S2,54-52,S。-84,S-56,即为-1，-4，-16，Sw+21,易知，8+21=-64， a。a-1 号=1，即6，=1-1，当a=1,2.3时都满足上 即y=-85;当s=时3=a+atn+4=(a+a,)(1+)=(1+ 3时，-n-2 式，所以=n-1(n∈N) g)S2>0,与S4=-5矛盾，舍去.故选C 5.C解析：甲：a,为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则S。=au1+ (2)因为2，所以元=1×（分）广+2×（行）广+3× “÷ 2 (行）广x(）广=x(分）广+2x(行广*(a 为等差数列，则甲是乙的充分条件：反之，乙：了 }为等差数列，即 D×(）广+a×(行)）”，两式相诚利宁=（行）广 8心-8为帝数，设为，即 =, n+l n n(n+l) n(n+1) n(n+1) (}+(3)广+…+()广-x(号)”= 选择性必修第二册，BS黑白题22 1(传)) 目13.(1)解：设等差数列1a的公差为山.而么.=，-6，为奇则 b,=a1-6,b:=21=2a1+2d,6,=a1-6=a1+2d-6,于是 =2-(2m)(5）广eN (代=a,+6=32.解得05所以a.=a,+(a-1)d=2n+3,所 T3=4a1+4d-12=16, d=2. 以数列4的通项公式是a,=2m+3. 11.解：(1)当n=1时，4S,=4a1=31+4,解得a1=4.当n≥2时，4S4= 3nr1+4,所以4S。-4Sn1=4知.=30。-3an-1.即4。=-3-4，而a1= （2)证明：方法一：由（1)知，S=5+2+3》。m2+4n,6, 2 40,放a,0,故=-3，所以数列10，是以4为首项，-3为公 -1 (2n-3.n为奇数当n为偶数时，b+6,=2(n-)-3+4n+6=6 (4n+6,n为偶数. 比的等比数列.所以a。=4·(-3) (2)由(1)得6.=(-1)n·4×(-3)-=4n·3-1,所以T=b,+ 1,7=13+(6m+.n.3 2 子当>5时，7-8-(2 b2+b3+…+6,=4×39+8×3+12×32+…+4料·3-.故37.=4×3+8× 32+12×3'+…+4n·3,所以-2T。=4+4×3+4×32+…+4·3-1- 子）人(44n=子4(a-1>0,因此1>8：当a为奇数时，7 4·3”=4+4x3(1-3- -4n·3=4+2×3.(3-1-1)-4m·3"= 1-3 T6on-2ai0子0-4〔at1)6-2 +20-5,当 (2-4m)·3-24T.=(2n-1)·3+1. 12.解：(1)3m1=3和1+m..3d=a1+2山.解得a1=d.53=302= 5时.75=(2-5(4a=(a2a-5列0， 3(a1t=6d又万=h,+h+6=2+5,2.9 d'2d3a-d5+73=6d+ 因此T>S。综上所述，当n>5时，T.>S. 9 方法三：由(1)知，S=n(5+2a+3》:2+m,6, =21，即2f-74+3=0,解得d=3或d=(舍去)4=3. 2 六a,=a1+(n-1)·d=3n (2a-3,n为奇数当n为偶数时，，=（山，+b+…+b)+(6+b,+ (4n+6,n为偶数， (26.为等差数列24=6，h,即2.2+2. +6.)=-1+2(a-1)-3.4,4+4n+6.”=3 2 22 2,当m>5 L）=6d=,即-3a,d+2=0.解得a1=d或a,=2dbL. 时：x8(信子）小)=-0周此元28 ,>0.又S0-Tg=9,由等差数列性质知，99a0-9%0=99,即 当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b1+b3+…+bn)+(6+b4+…+ 4-b0=ln2501,厚-00-250=0.解得0=5引或 6=+20-3.n,14+4(a-1)+6.=l3 2 2 2 +21-5,显然 a0=-50(含去).当a1=2d时，0=a1+49d=51d=51,解得d=1,与 5缘 ==1离足上式因此当a为奇数时，工= 2n-5,当> d>1矛盾，舍去：当a1=d时，a知=a1+49d=501=51,解得d 50 上，dss 5时，五s=(层，-5小m4o=a+2-500,图 50 此Tn>S综上所述，当>5时.T>S 第二章 导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 :5.B解析：函数(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于 r2)-0》.4 1.1平均变化率④1.2瞬时变化率 2-0 2因为是a+am.a+42-2 △r Ax 白晒 基础过关 2m·4xt(4r)2 G:约支化岩0.2L放喜c △x 2m+,所以当△趋于0时，0于2m因为函 Ax1.1-1 数代x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化 2.B解析：由题意知，位移y(单往：m)与时间t(单位：s)之间的关系 率，所以2=2m,解得m=1.故选B 为0)=广+2，则该质点在1≤1长4这段时间内的平均洁度为 2 2 (4)-(D.16+8-1-2.7(m).故选R 6D舞新：因为3yX8,3号 (344所以当 4-1 3 3.C解析：在0到，范围内，甲，乙的平均速度都为。，故AB错误； 8于0时，分0于号做选n 52845284 在。到4，范围内，甲的平均速度为2，乙的平均速度为 t-to 41-g 7.B解析：因为x=98时，A.(98+4)-c(98)_2-4r2 因为>4>0，所以则在。到范围内，甲 t1-t61-0 5284 的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误故选C, 22所以当△老于0时兰首于1321：同理，=0,4趋于 4.3解折：因为m）D_m24,所以m+1=4,解得m=3 m-1m-1 0时益台于小 F0,所以净化到纯净度为9%左右时所需费用的瞬 故答案为3 时变化率是净化到纯净度为90%左右时所需费用的解时变化率的 参考答案黑白题23