第一章 数列 章末检测-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

域是(0，]因此2q≤0，解得9≥2，所以ge2,+)放选D 5n1=21,则an=5n-5.-1=-11-5=-16,am1=5n1-5n=21- 4.an=2n-1(-x,-2]U[4,+∞）解析：a+a3+a4=13,a2+a4+ （-2图此公比g:品-2曲5-，得 。=21,两式相减，得公差d21-3-2,则41t,ta,=34+5d=3知，+ 4 [1-(-2]。-1,面01a1(-2)=32,解得m=5,a1=-山所 1+2 10=13,所以a1▣1，故a=2n-1:则有4 4 以m等于5.故选C aaaa*1(2n-1)(2n+1) 2(品)则-2[号)（号）+( 8.C解析：由a,a1=2”,得a+1a2=21,两式相除得2=2，所以 数列a,}的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列又3=2， )门-2()k2,又元<a2-2a-6aeN)成立，则 则=22，所以42=2因为=1≠2，所以数列0不为等比数 a2-2a-6≥2，解得a≤-2或a≥4，即实数a的取值范围为 列，故A错误；由a3=2,a,a1=2”,得a2=2,a1=1,则S2=a1+2=3, (-,-2]U[4,+).故答案为a.=2n-1:(-0,-2]U[4,+∞). 故S2-3=0,而等比数列中不能出现为0的项，所以数列1S。-3引不为 5.(1)解：a,+2S。=1,an-1+2S.1=1(n≥2)，两式相减，得an- 等比数列，故B错误：由A,B选项可得，当n为奇数时，a,=1× n1+2a,=-04,=(a≥2).又当a=1时，4=分6为 2学1-2号，当n为偶数时，4=2×21=2，则24=2令= 204 等比数到，公比为时6宁（仔）-（传月 22,故D错误；5m=(a1++a5++aw)+(a+a4+a6+…+a10o)= （1+2+4+…+2*)+(2+4+8+…+20)--202x1-2).20-1+ （2证明设，=(2-1)a2(2-1)×(兮）广} 1-2 1-2 3 2×(20-1)=3×(20-1),故C正确.故选C 3+21 3. ，3期， 3 。aeN)可得+1(aeN),所以 {1}是公差为1的等差数列，故C,D正确，=1+(-1)×1=一 a。J 化摘得无=1学eN工<11 3+1 a=斤，故10，}不是等差数列，且1a,为单调递减数列，故A,B错 1 T1-了=1n*是3n+2=是>0心刀关于n单调递 误，故选CD. 3”3+1 3*1 10.ACD解析：由aa1=2a,+3,所以a1+3=2(a。+3).因为a1=1,可 增(T)=刀=12=151 333≤7.<1 得a1+3=4,所以数列1an+3是等比数列，所以B不正确：可得an+ 3=4×21,所以a,=21-3,所以C正确；又由a3=2-3=13,所 第一章章末检测 以A正确：由5n=22-3+23-3+24-3+…+21-3=22+23+24+ 1,D解析：观察可得，数列的第n项可以写为√瓜，所以第12项为 …+21-(3+3+3++3)=41-2）-3n=22-3n-4,所以5. 1-2 √12=2W3,故选D. 2*2-3m-4,所以D正确.故选ACD. 1 2B解折a,=-1,由a1(a,-1)+1=0(neN)可推得a1-a 11.BD解析：若a,是等差数列，a5+a6>0,as+an<0,所以a1+a0> 0,a1+a到<0，则S0>0,S1<0,所以使S.>0的最大正整数n的值为 1 1=2,041- 1 =-1,…,故数列{an}是周 30,故A错误；若{a。|是等比数列，Sn=5+e,则an=S。-S.-1=5+c 则41-4241- 51-e=4x51,所以{a,}是首项为a1=4,公比为5的等比数列，所 期为3的数列，从而数列{a.的前9项和为S,=3(a1+a2+a)=3× 以S.41-3) (1+宁+2)号放选B 1-5 5”-1=5+c,所以c■-1，故B正确：若{a,}是等 a(1-9) 3.A解析：a,为递增的等差数列，则au<a.由a+a6=8,得a,+a,= 比数列，则S。= 1-9,91枚C铺误；若a.+4S13=0 8,44a5=15,联立方程组，解得a=3,a=5故选A na1,9=1, 4.A解析：当n≥2时，a,=5.-5-=a+2”6-(a+2-b)=2r'6,当n=1 (n≥2)，a=4,则S-S1+481S,=0(n≥2)，所以5。-51= 时，4=S=a+26因为数列1，为等比数列，所以=生，即始 02 a1 48成，所以-。-4，即1 a+25解得6=a+26且640，即a+6=0且br0因此充分性成立：若 5-15。 -4,所以4，所以 SS a+b=0,当a=0且b=0时，41=0，甲不成立，放必要性不成立.故选A. (侵}是以写-士4为信项4为公滋的通增等发数列散D正 S a 5.B解析：由题意，41=1，a2=3=1+2,43=6=1+2+3,4=10=1+2+3+ 确：故选BD. 4,…,则a=1+2+3++64=1,6x64=2080,故选B 2 12.2解析：由题意可得+0-2a,+4d=6, s。=9,+36a=63.解得{a=2,枚答案 6.B解析：由等差数列的性质知，a1+a,=2as,a1+a。=+a4,因 为2 为5=9an）=9a,=18,放a4=2又5=aa 2 2 B日期新：当1时，布疗分2所以号：当≥2时.由 na+n-）=240,故(230）=240，所以n=15.故选B 21 2 2 %7=2.得2+1=2.即2T。=2T-1+1（n三2)，所以数列 7.C解析：等比数列{a。}的前n项和为S.,S1=5,S。=-11, Tet 选择性必修第二册·BS黑白题20 2T,}是等差数列，其中公差为1，首项为2T1=3,可得2T。=3+(m- 5-1=-2000x 0x1=+2即=受1，所以万+++=1+2*…n +040(a≥2.-20mx(广 0者+不+20，则，0，用 0-0≥2)为端函数.且八3)=-20x(行）广+240-40<0， 2 4 n2+5n>200.因为数列{n2+5n是单调递增数列，且当n=11时，n2+ 九4到=-20x(）广+20-40>0，所以当2≤a≤3时8<8，当 5n=121+55=176<200:当n=12时，n2+5n=144+60=204>200,所 以满足T,+T乃3+…+T.>0的最小正整数n的值为12故答案为12 4≤n≤6时.S.>S-1因为S1=2000× 2+40-200<0,。=2000× 14.5或7解析：由12，可得2.2，即1+1 Ga0at2 dn+ds2 (分）广40x36-20m=-52875<0,所以1≤n≤6时.5<0.即前 ,所以数列 11 为等差数列.设公差为d,所以6d= 11 6年未盈利.当n≥7时，S.=-52875+(440-20)(n-6),令8.>0，解 a+1 a。 得n≥8，所以该公司从第8年开始盈利。 12,则d2,由1+2d= ,解得1 =13,所以1 =-13+2(n- 18.(1)证明：由a1= 3an-4 8-1282 ,-可得a1-2.34 ,1所以 1 1)=2m-15,则a,“2n-5当1≤a≤7时，a,<0,当n≥8时，a,>0, 1 a+1-2a,-2 *1,即1 2,可得1 1-28-21又由4= 2 故当1∈n≤5时，bn<0,b6=a6aag>0,b=aaag<0,b6+b,= aa(a6tag)=0,当n≥8时，b,>0,所以数列引bn}的前n项和最小 1=2,所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 a,-2) 时，n=5或7. 22 15.解：(1)因为等比数列a.的公比g=3,所以a1+a2=a1+3a1=401= 产224(a-1)1=+1,则a.= 1 **223 1 n+,即数列a,1的 号，可得a1=号所以a=号×g1=2x3,所以5 1-g 通项公式为an= 2n+3 n+1 1-33-21 (2)解：①由(1)知4-20+3 91 n+,可得6， (a.-2)x10(a,-2× (2)（)得4=子4=子=1，所以6.的公差1 。2 2 3 (品）广ax(品广当1号需所议 分所以工=.子 不是最大项，设第n项(n≥2)最大，则 2 3+ 6 6 18(据：因为+瓜空，当1时后生 x()广≥（侣） 9 可得 解得8≤ 10n+2 1,所以=1：当n≥2时，回+G++√=a-l+n- 2 n≤9，所以数列{b,的项取得最大值时m的值为8或9 所以√”n(-2n-,所以a,=,经检验当n1时， 2 ①，可得 an=m2也成立，所以a。=n2 (2)证明：由(1)可得6，= 2n+12n+111 03=2x(0)'+3x(品广++(a+1)x(0)” ②，由 a,2(a+1京a+,所 111，,11 以=1-4+49+… 1 (a*1)1 (a*1)1,当a=1 ①--2品（侣广(0广…（信）广-(0x 时=1--且s-81] (品)品品（侣（倍广(）广]… a+1(a+2>0,所以1S.单调递增，所以≤8，<1 17.解：(1)由题知，4n=1000× ≥20，neN -(品)广](a+)×(品)）”，所以8=9+0【 时，解得1≤m≤6，所以a。 ,ln6,nEN,所以 20,n≥7， 10(n+1).9 (品)广门-1oa+x(品)）=9 10m9g 当1≤n≤6，neN'时，bn=80n-40,当n≥7，neN'时，bn=b6= 440,所以6，{440，≥7， 80m-40,1≤n≤6， n E N'. 19.解：(1)因为b1,b2,b,b4成等差数列，61=1，ba=10,设前4项的公 (2)当1≤n≤6时，总利润S,=a(40+80m-40 64-61 差为d,所以d=4-=3,所以6=6d=4,6=b6+2=7 2 又数列{b是项数为8的“对称数列”， 所以6g=b1=1,b,=63=4,b6=6=7,6s5=b4=10, 所以数列16，的项依次为1,4,7,10,10,7,4,1 1-3 (2)因为1，心+2，…，心24构成首项为15，公差为-2的等差数列， 参考答案黑白题21 所以en1te3t…e2=15h-l）X-2】.-+16k ! 则Sn=a1t·n(n+1),有5n1=(n-1)ant·n(n-1),n≥2，两式 2 相减得a,=na1-(n-1)a,-2n,即a1-a.=2,对n=1也成立，因 又c1=cu,2=Ch-1,“,4=c1, 此{a,|为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件， 所以524=2(c+1+e2+…+e4)=-2k2+32k=-2(k-8)2+128， C正确.故选C 所以当k=8时，S24取得最大值，且(S2)=128 (3)因为1,2,22，…，21成为数列中的连续项，且该“对称数列” 6B解折：依题意，等差数列1，中，6=a+(a-）·号=号+ 的项数为2i-1, 所以这样的“对称数列”有： (a,）),显然函数y=m[号+（号）门的周期为3，而 ①1,2,22，…，22,21,2-2，…，22,2,1； nN,即cosa.最多有3个不同取值又csa.lneN|=|a,b}, ②2,22，…，22,2,1,2,22，…，22,2 则在c06a1,co8a,cosa中，当cosa1=c06a2≠c06a43或c08a1≠ 当i>2000时. 对于0，当≥2024时，514=1+2+2+…+22m=1-22 m=m4时，有m0=m（0+号），即有0+(0+号） 1-2 226m4-1: 2m,ke五，解得0=km-号ke乙，所以ab=m(a-号）： 当2000<i<2024时，S2=1+2+22+…+21+22+23+…+22-2= 1-22-2m5(1-2224) =2-1+2-1-22-205 m[(k号）智]-m(k-号）ea-w2tw号 1-2 1-2 224-1,ia2024, 所以51a4-{2-1+2r-2-2w,2000<i2024 子当om4=as马≠os,时，同理可得ab:子放选B 对于②，当i≥2024时S24=21+22+…+22= 7.95解析：因为数列！4.}为等差数列，则由题意得 23(1-20)-2-2*2@； 0+21+37:,解得{-4则30=10a,+10”d=10× d=3, 2 1-2 l3(a1+d)+1+4d=5, 当2000<i<2024时S2m4=2l+2-2++22+2+1+2+22++22 (-4)+45×3=95.故答案为95. -1-2,2(1-20）=2-1-2+25=2-3+22, 8.-2解析：设{a,}的公比为g(g≠0)，则a2auay=aa6=a29·a59,显 1-2 1-2 然a,≠0，则a4=q2,即a192=,则a19=1.因为agao=-8,则a1g8 2-2-2m4,i2≥2024 a=-8,则g5=(g)3=-8=(-2),则g=-2,则a=a9·g= 所以51a4{2-3+2+,2000<i2024 g3=-2,故答案为-2 第一章 真题演练 9.解：(1)因为2S。=3a1-3,放25-1=3an-3,所以2a。=3a1-3a。 黑题 真题体验 （a≥2)，即56，=301，放等比数列的公比为g=号，放2a=3-3 1.B解析：设等差数列{4，|的首项为a1,公差为d,则通项a,=a1+ 号33故1,（） 3a1 （a-1)d,前n项和3=mm)4,所以a+a=2(a,+4d,,= 2 -()] 2 9(a1+4d),从而a+a,=号，.再由已知条件S=1得a+a=号 (2)由等比数列求和公式得S。= () 选B. 2.B解析：由S1o-S,=a6+a,+ag+a,+a0=5ag=0,则ag=0,则等差数 号，所以数列{S的前n项和刀，=3，+S+3+…+S 列o的公差d=子放a=44=1-4x(行)）=子 3 2[(3(3+(3广+（停）]-= 故选B. 3.C解析：由题知1+g+g2+g3+g=5(1+g+g2)-4,即g3+g=4g+4g2, -(] 即g3+g2-4g-4=0,即(g-2)(9+1)(q+2)=0.由题知q>0,所以g=2, 所以54=1+2+4+8=15，故选C 4.C解析：设等比数列11的公比为g,因为54=-5,56=21S2,所以 10.解：(1)因为25。=na。,当n=1时，2a1=a1,即a1=0:当n=3时， 9≠-1，否则S=0,从而S2,S-S2,S6-S,S-S6成等比数列，所以有 2(1+a)=3a,即a3=2;当n≥2时，2Sn1=(n-1)an1,所以 (5-号)2=5(21+5)，解得-1度=子当号-1时， 2(S。-S.-1)=na,-(n-1)am-1=2a.,得(n-2)a,=(n-1)a1:当n≥ 52,54-52,56-5,5-56,即为-1，-4，-16,58+21，易知，5+21=-64， 3时品-宁1，即。1，首1,23时郑满足上 即5，=-85；当5，=时，3=a+a+a+a4=(at+a)(1+)=(1+ 式，所以a,=n-l(neN) 92)S2>0,与S4=-5矛盾，含去.故选C 5.C解析：甲：a,)为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则S.=na1+ 2)因为=：÷所以1=1×（分）广+2×（告）广'+3× 2 (分）广nx(号）广.=x(合）广2x(位广…(a 为等差数列，则甲是乙的充分条件：反之，乙：了 }为等差数列，即 )x(号)广+a×(分）”，两式相诚得宁=（分)广： 51S_1-t18.03为常数，设为，即- n+l n n(n+1) n(n+1) n(n+1) =, (合)°·（分）广…*（告）广-×（号）” 选择性必修第二册·BS黑白题22第一章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. A.2016 B.2080 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 C.4032 D.4160 目要求的， 6.(2024·吉林通化高二月考)等差数列{an中， 1.(2024·江西上饶高二期中)在数列√T,√2， 若S,=18,Sn=240,am4=30,则n的值为() 5,2,5,…中，根据前5项的规律写出第 A.14 B.15 12项为 ( C.16 D.17 A.22 B.√/10 C.11 D.23 2.(2024·安徽毫州高二期中)已知数列{a.}满 7.(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)设等比数列 足a=-1,a1(a.-1)+1=0(neN),则数列 {an}的前n项和为Sn,若Snm-1=5,Sm= {an}的前9项和为 ( ) -11,Sm1=21,则m等于 ( A.6 B.2 D. 3 C.3 A.7 B.6 2 C.5 D.4 3.(2024·福建福州高二期中)已知{an}为递增 的等差数列，a4a5=15,a3+a6=8,则a4= 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a3=2, ( a.a+1=2”,则下列结论正确的是()》 A.3 C.3或5 n号 A.数列{an}为等比数列 B.数列{S,-3}为等比数列 4.(2024·四川成都高二月考)数列{an}的前 n项和Sn满足Sn=a+2b,设甲：数列{an为 C.S1wm=3×(20-1) 等比数列：乙：a+b=0,则甲是乙的 ( D.a2a4=20u A.充分不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共 B.必要不充分条件 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 C.充要条件 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， D.既不充分又不必要条件 有选错的得0分 5.(2024·福建龙岩高二月考)“杨辉三角”是中 9.(2024·山东菏泽一中高二月考)已知在数列 国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡 三角形”早了300多年.如图所示的是由“杨 1a}中，a,=1,a1= (neN),则下列结 辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上 a,+1 的数1,3,6,10…构成数列{an,记an为该 论正确的是 数列的第n项，则a= A.{a.}是等差数列 B.{an}是递增数列 C是等差数列 1010 D. 是递增数列 第一章黑白题37 10.(2024·福建莆田高二月考)已知数列{a,}四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 是首项为1的正项数列，a1=2an+3,S。是 文字说明、证明过程或演算步骤 数列{a,}的前n项和，则下列选项正确的是 15.(13分)已知等比数列{an}的公比q=3,且 A.a3=13 axtaz=g B.数列{an+3}是等差数列 (1)求{an}的前n项和Sn; C.an=21-3 (2)若等差数列{bn}的前2项分别为a2, D.Sn=2a+2-3n-4 2,求6.}的前n项和7 11.(2024·江西上饶高二期末)已知数列{a.} 的前n项和为S,(n∈N·),下列说法正确 的是 A.若{an}是等差数列，as+a16>0,a1s+an< 0,则使S>0的最大正整数n的值为15 B.若{a,}是等比数列，Sn=5+c(c为常数)， 则必有c=-1 C.若a,是等比数列，则9.=1-g） 1-9 D.若a+45=0(n≥2).4=子则数列 16.(15分)(2024·河南南阳高二月考)已知数 (侵}为递增等差数列 列a满是，瓜+瓜+6= (1)求{a,}的通项公式； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2n+1 12.(2024·江苏南京师大附中高二月考)已知 (2)设b.= ,记数列{b,}的前n项和 anQn+ 等差数列{a,}的前n项和为Sn,公差为d.若 a2+a4=6,S,=63,则d= 为9，证明2≤8<1 13.(2024·河南洛阳高二期末)已知数列{a.} 的前n项积为T,且2+=2，则满足T+ a。T T2+…+Tn>50的最小正整数n的 值为 14,(2024·河南焦作高二期末)已知数列{a.} 满足1= 2 anan+2 an+an+2 ,且a= 943若 b,=a,aa+1a+2,则数列1bn}的前n项和最小 时，n= 选择性必修第二册·BS黑白题38 17.(15分)(2024·福建厦门高二月考)某公司19.(17分)(2024·江西宜春高二月考)若有穷 生产一种产品，第一年投人资金1000万元， 数列a1,a2,…,a(n是正整数)，满足a1= 出售产品后收入40万元，预计以后每年的投 an,a2=al,…,an=a1,即a,=a-1(i是正整 入资金是上一年的一半，出售产品所得收入 数，且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”. 比上一年多80万元.同时，当预计投入资金 (1)已知数列{b}是项数为8的“对称数 低于20万元时，就按20万元投人，且当年出 列”，且b1,b2,b,b4成等差数列，b=1, 售产品的收入与上一年相同. b4=10,试写出数列{bn}的每一项 (1)设第n年的投入资金和收入金额分别为 (2)已知{cn}是项数为2k(其中k≥1，且k∈ an万元，bn万元，请求出{an},{bn}的 Z)的“对称数列”，且c1,C2,…,c构 通项公式 成首项为15，公差为-2的等差数列，数 (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈 列{c}的前2k项和为S24,则当k为何值 利？请说明理由.（盈利是指总收入大于 时，S取到最大值？最大值为多少？ 总投入) (3)对于给定的正整数>1，试写出所有项数 为2i-1的“对称数列”，使得1,2,2，…，2 成为数列中的连续项：并求出当>2000 时，所有“对称数列”的前2024项 和S224 18.(17分)(2024·广东广州高二期末)数列 3a.-4 {anf的首项a1=),aas an-1 ①)证明(}是等差数列，并求1。的 通项公式 9 (2)设b.(a,.-2)×10 ①当数列{bn}的项取得最大值时，求n 的值； ②求数列{bn}的前n项和Sn 第一章黑白题39