第一章 专题探究1-3-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

(2-3)(6-5) 1-4×3-=-5≠0.则数列1a,-4·3-11是首项为-5，公比为2的等 >0. b4+2 比数列所以a。-4×3-1=-5×2,即a.=4×31-5×2-1. 黑点2原.u5a-- <(2-3)2, b+2 10.3”解折：依题意1=1,42=4,4n一3知-02=0，a-1 2 3(81-a,).所以数列a1-n是首项2-a1=3,公比为3的等比 (6√3)≤(2-√3)2(#1-3)=a13.也就是说，当m=+1 时，结论成立 数列，所以1-a,=3”,所以a,=a1+(a2-@1)+(-42)+…+(an 根据(1)和（Ⅱ）知，3<6。≤21，n=1,2,3,… 133小31也满足，所以 专题探究1数列通项公式的求解 生微答案为 2 黑题专题强化 11.B解析：n=1时，a1+1=2a1,则a1=1.n≥2时，a。=S。-S-1=2an 1.C解析：设等差数列161的公差为d,因为6=-2，b。=12,可得 n-[2a--(n-1)]=2a,-2a-1-1.n=2a1+1,0.+1= (b1+2d=-2 可得/-6 2(a-1+1),a1+1=2≠0，.a,+1是2为首项，2为公比的等比数 (b1+9d=12. (d=2. 可得6.=2n-8,又因为b,三a1-a。.即 列.+1=2×2=22=128.a=127,故选B. a1-an=2-8,所以ag=1+(a2-a1)+(a-2）+…+(ag-a)=8- 12.9解析：由S1=3S.+2n+3,可知当n≥2时，S=3Sn-1+2n+1.所 6-4-2+0+2+4+6=8.故选C 以S1-S,=3(S。-5-）+2,即a1=3,+2,从而a-1+1=3(n+ 1),当n=1时，S2=35,+5,所以a1+2=31+5.又a1=3,所以2= 2.C解析：由a。=am-+ .+1_可得。-a-=n2+n=月n则有a,= n2+n 11,从而2+1=3(m1+1).故8，+1是以a1+1=4为首项，3为公比 (a,(a182*…+(a-4,)*,=1++ nn+14-1n 的等比数列，所以，+1=4·3，所以+2三+1 a,+a+2a,+1+a,+1 }}宁1问中故心器故球c 2024 4×32+4×3 4x3+4x3=9故答案为9 3.B解析：依题意.数列1an1满足(n-1)a=(n+1)-1(n≥2)，13.解：由已知得2S。=(n+1)a,所以2S1=(n+2)a+1,两式相诚 回=2,2所以a0·2…=2 1 得2a=a+2a1-(a1)a所以号放数列{会}为布 “n+n 45 2x3×-x”,×=m(n+1).a,也符合，所以a2=n(n+1).a 数列则 1l,所以a, 是单调递增数列.由a。=n(n+1)<930,(m+31)(n-30)<0.解得-31< n<30.所以n的最大正整数值为29.故选B 专题探究2数列求和 人0指折：安会兰数列侣}是限为 专题强化 1.A解析：由题意可得S。-S-5=a+a-+a-2+a+a4=288-200= 、2=2公比为4的等比数列，2=克×4 2 85=2 88,即a,+a-1tan-2+a-3ta-=88①，S,=a1+a+m+a+a3= 92②，且等差数列满足a+a1=m2+e1=a+a-2=a4+a-=十 4414y。1 42‘48六4=2放选D a-心.①2两式相加得5(a。+a1)=88+2=180,a.+a1=36, 5.B解折：由a1=2(a+1)可得a+2=2(a,+2),所以1t2 则S=0a=18m=28.解得n=16.故枚选L %,22, 2 则{a,+2是公比为2的等比数列，所以5+2=(a1+2)·2=78+2, 2解：1酒为号+是学=学aeN）①.所以n≥2时，号 所以a1=3故选B. 6.B解析：因为a1=4a。-12n+4,所以1-4(n+1)=4(a,-4n).因 32+…+ 为41=4，所以a1-4×1=0.故n。-4n为常数列.所以a。=4n.由a1= 4k=2024.解得k=506.故选B 3”(a≥2.又a=1时号，所以4=1也满是上式.故a,的 1.C解析：因为a1=4,+2a,+1,所以1+1=(a,+)2+ 通项公式为a。=3-(nEN·). 2√a,++1,即8+1=(，+打+1)，等式两边开方可得 (2)设数列G满足6，”，1=2×3，记a,的前n项和为S, a+=√an+灯+1，即a1+打-√a+可=1，所以数列 1√an+可是以首项为√，+可=2，公差为1的等差数列.所以 C。的前n项和为R.,则T2。=R.+S,由等比数列的求和公式得S。= √a。+T=2+(n-1)×1=n+1.所以a.=n2+24,所以a0=10+20= 宁(3-0.尾=25=3-1，所以万=虎+53- 1-3"1 120.故选C BD解折6即：4 ,可得14，又 即新数列，的前2项和=子(3-》 .1 111x 41,即有数别什}是首项为1.公差为4的等差数列.可得 1+4(a-=4如-3，即a,4n-3放选D 1,设/(g)小(g）…(号）+2*…8 9.。=4x3-1-5×2-1解析：设01+A·3”=2(an+入·3r),整理得 a1=2n,-A·3-,可得A=-4,即041-4×3°=2(a,-4×3-1),且 9)=m①.则9)+8)+…2))+（经）+…(g)） 选择性必修第二册，BS黑白题18 (行）m@.①2得[（号）o小(g)]… 理可得3对-4-4=0，解得g=2或q=-子（合去）.将g=2代人4， ()2]小+1+[2+(2)]小 a192=4可得a1=1,所以a。=219-=2-1 12.3 r8)(g)][9)(号)门-2m2m=7m 1议 123 111 -T= 2+2+ 答案为 2 4.11 解桥：由题意可知.f(x)+f(-)=2+2+ 2 -(] 2-12 24 所以T= 2(2+2+2》=2,设5=-5)+-4)+…+0)+4)+5). 2+2+2 则2s=f-5)+f5)+尺-4)+f(4)+…+2f(0)+…+f（4)+f(-4)+ 八5)+爪-5)=22，故S=11.故答案为11. 9.B解析：依题意得S=m1+(:+:)+(4+仙5+…+(am+n) 5.(1)解：由于a1=1,a=a2+2a1,则a1+2d=a1+d+2a1,则d=21=2, 1+2x2+2x4++2x26=1+2×(2+4+…+26)=1+2×13x(2+26)= 2 因此a,=a1+(n-1)d=2n-1,放数列a,的通项公式为a。=2n-1. 365.故选B (2)证明：由(1)知，4=2m-1,则S,=)n=2,侧/ 10.A解析：因为an=(-1)-(4n-3),所以S。=(@1+)+(a,+4)+ S.S (a5+g6)=(1-5)+(9-13)+(17-21)=3×(-4)=-12.故选A. v(a+a(n+)即么=111 1 11.解：(1)设等差数列1，的公差为d,等比数列6.1的公比为g(q≠ (兮号）…（仁d)小1商于aeN则>0，故 0),由a1=3.4=1.6+s=10,5-24=.得g330,解 3+4d-24=3+24, T<1成立. 得2所以，=2a+1.6=2 （g=2, 6.解：(1)由28.=34。-2m可得25，=31-2.解得a1=2,当n≥2时， 由2S.=3知，-2n可得2S-1=3ar1-2(n-1).两式相减可得2n,= (2)(1)知，S=3+2a+D=n(n+2),因此当n为奇数时.6， 2 30,-3知--2，即a,=30-1+2,可化为a,+1=3(a-1+1),故数列 2 。+1是首项为3，公比为3的等比数列，则a.+1=3”,可得n= 2)青中2，当n为俩数时，6,2，所以7，=+0+ 3-1. %…e8-(-号+g吉2点 11 (2)由6=2x3别 2×3 11 1 aa,(33…-33所以7.=2 12(1-4）2m2 1.11 （2+2423++2-)=l2n1-42n3(4-0. 1111 88263同23由17为递珊数列可 专题探究3数列的综合应用 知，工≥一令又山>0，所以元<分，所以元的取值能周为 1 黑题 专题运化 1.B解析：设第一个工程队承建的基站数为m万个，依题意，每个工 [) 程队承建的基站数依次由大到小排成一列构成等比数列{“。{， 7.解：(1)设等差数列1a的公差为d(d>0),因为2·u=8,S5=15. eN,且≤8数列a,的公比g=1石名4=m前8项 6 (a1+d)(a1+3d)=8. /a+0(a+3)=8, 81 所以 所以(3-2d+ (a1+2d=3. 和S=10,因此S%= (6"-5) 67 m=10,解得m= 1 d)(3-2d+3d)=8,化简得d2=1,解得d=1或d=-1(会去).所以 a1=3-2d=1,所以an=a,+(n-1)d=1+n-1=m 10×6 (2)由(1)得an·b.=·2-.所以T,=1×20+2×2+3×22+…+(n 》等常·所以第一个工程队乐起的基站数为6一5”万个.故选战 1）·2-2+n·2-,所以2T.=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)·2-+ 2.390解析：数列a,1满足a.=5n+15,a1=20,a2=25,4=30。 2,所以-7=1+2+2+2++2-n2=-20 a4=35,a,=40,6=45.在任意相邻两项a4与a1(k=1.2,…）之 12n·2"=2”- 闻插入2个3其中4,4之间插人2个3，，之间插入4个 1-n…2”,所以T。=(n-1)·2”+1 3,aa之间插人8个3，a4as之间插人16个3,45,6之间插人 8.解：(1)若选①5，=15,52=3：设a.的公比为q(9>0),显然9≠1.因 32个3,6,01之间插人64个3.，又6+2+4+8+16+32=68<70. 为51）15.41 6+2+4+8+16+32+64>70..数列1b.1的前71项含有14.的前6项 =3,因为a1≠0，两式作商可得 1- 1-9 和65个3，故S1=20+25+30+35+40+45+65×3=390.故答案为390 1g=5,整理可得(=4，解得9=2或9=-2（舍去），将？=2代 3.D解析：等比数列|a,1首项m1>0,又因为数列a.|为“超级数列”， 1-g ,a41=19°，由S。< 人313可得，1，所以a.=1=2r,若选@a 则有a=5<4=049,所以9p1,又5=1- 1-g 1-0 1,卿1-y 2=3,a3=4:设a.的公比为q(g>0),显然9≠1.由已知可得a1+ 1-g 2a,-24+1>02-97张题盘.任意的 =a1(1+)=3.0414,因为a≠0，两式作商可得，子，整自 参考答案黑白题19 域是(0，]因此2y≤0，解得≥2.所以ge2+)放选D Sn1=21,则a。=5n-5-1=-11-5=-16,2m1=51-5=21 4.an=2a-1(-x,-2]U[4,+x）解析：01++4=13,42+a4+ （-11)=32,因此公比g=21.32 a.-16 =-2,由8。=-11，得 ,=21.两式相碱，得公差d2-=2,则a,+,04=30+5d=301+ aI1-(-2)"] 4 1+2 =-11,而a1=1(-2)"=32,解得m=5,a1=-1,所 10=13.所以a1=1,故4，=2n-1:则有4 4 以m等于5，故选C a+:(2n-1)(2n+1) (）则=2[(）(5）+（品 8.C解桥：由a,1=2,得a142=2,两式相除得“2=2，所以 数列1a.的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列又3=2， )门小-2(-)k2,义元<a2-2-6aaN)相度立，则 则a,=2,所以4=2因为2=1≠2，所以数列a,不为等比数 a2-2a-6≥2.解得a≤-2或a≥4，即实数4的取值范围为 列，故A情误；由a3=2,aa1=2”,得2=2，a1=1.则S2=a1+2=3, (-,-2]U「4.+x).放答案为a。=2m-1:(-x,-2]U[4.+). 故52-3=0，而等比数列中不能出现为0的项，所以数列引5。-3引不为 5.(1)解：a.+25。=1,∴4-1+2S1=1(n≥2)，两式相诚.得a. 等比数列.故B错误：由A,B选项可得，当n为奇数时，a,=1× 4+2a,0了(a≥2).又当1时a=分a为 2学1=2号，当n为偶数时.，=2×21=2，则2@4=2 24 等比数到，公比为子a(仔）广一（行）厂 22,故D错误5m=(a1ta3t05+aw)+(a2*a4+a6++d1m)= （1+2+4+…+2)+(2+4+84…+20)=1-2”,2x1-22=20-1+ （2证期设=(2-1a,(a-)x(兮)1- 1 1-2 1-2 2×(20-1)=3×(20-1),故C正确.故选C ，3期 32m-1 3的 37 13 +2-3,2n-,两式相减，得9.CD解析：由% 3 行aeN)可得1aeN.所以 {上}是公差为1的等差数列，故C,D正确，=1+(-1)×1=一 a. ,化商得无1：eN元<1不- 3+1 。=片放。，不是等差数列，且a,为单润递减数列，故A,B错 674-7=nt1+2.3(g1)--2.2a+1 误，故选CD 33* 3+1 >0心T.关于n单调遥 10.ACD解析：由41=2a.+3,所以a-1+3=2(a,+3).因为a1=1,可 增(7)m=T,=1-2.1 得a,+3=4,所以数列1。+3是等比数列，所以B不正确：可得a。+ 333≤7< 3=4x2-1,所以8，=21-3，所以C正确：又由0，=2-3=13，所 第一章章末检测 以A正确：由S.=22-3+23-3+24-3+…+21-3=22+2+24+ 1D解析：观察可得，数列的第：项可以写为，所以第12项为 …+21-(3+3+3+…+3)=4-20）-3n=2-3n-4,所以3.= 1-2 √12=23.故选D. 2*2-3n-4.所以D正确.故选ACD. 2B解折a,-1,由4(a,-)+1=0(aeN)可推特1“-a 11.BD解析：若1a,是等差数列，a5+a6>0,a1s+an<0,所以a1ta知> 0,a+a1<0,则S0>0,S1<0,所以使S。>0的最大正整数m的值为 1 1 则-4立4 =2,421-8 -=-1,…,故数列|a。是周 30,故A错误；若4.是等比数列，Sn=5”+e,则a,=S。-S-1=5+c- 5-0=4×51,所以{a.1是首项为a1=4,公比为5的等比数列，所 期为3的数列，从面数列a.}的前9项和为S,=3(a1+a2+a,)=3× =5-1=5"+c,所以c=-1,故B正确：若{a。I是等 (1+2)号放选R 以8=1-5) 1-5 4(1-) 3.A解析：a.|为递增的等差数列.则a<由a1+a6=8,得a+5= 比数列.则S。= 1-991故C错误：若a,+4513.=0 8,aa5=15,联立方程组.解得a4=3,45=5故选A. 41,9=1, 4A解折：当n≥2时，a,=8-51=a+2b-(a+2b)=2b.当n=1 (n≥2)4=4，则8-5+48S,=0(n≥2)，所以5.-31 4b 时，41=5=a+2弘因为数列为等比数列，所以=2，即列 上a1 -483所以-8-4，即1 a+2解得=a+2弘且b≠0，即a+6=0且6≠Q因此充分性成立：若 S-S。 4所以4.所u SS +b=0,当a=0且b=0时，a1=0,甲不成立，故必要性不成立.放选A {}是以人：上4为首项，4为公差的递州等差数列，故D正 S d 5.B解析：由题意，4=1，a1=3=1+2,0=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+ 确：故选BD. 4.…,则u=1+23+…+641,64x64=2080.故选B 2 12.2解析：由题意可得*，=2a,+dd=6, 解得一故答案 5,=9g1+36d=63, ld=2, 6.B解析：由等差数列的性质知，a1+ag=2a,41+a.=a+a4,因 为2 为s=9a1g=9a,=18,放4=2又5=aan 2 2 18卫解折当a1时，有772，所以子当≥2时，由 5*n-=240.故(2430=240，所以n=15故选B 2 2 2=2.得号+72.即2江=27+1(0≥2.所以数列 a.T 7.C解析：等比数列1a。的前n项和为S,S-1=5,Sn=-11, T 选择性必修第二册，BS黑白题20专题探究1数列通项公式的求解 黑题 专题强 限时：45min 题组1累加法 a10= ( 1.(2024·安徽蚌埠高二月考)数列 A.80 B.100 C.120 D.143 {an}的首项为8，{bn}为等差数列， 权频讲解 8.(2024·江西上饶高二期末)已知数列{a}满 且bn=a1-an(n∈N),若b3=-2,bo=12,则 ag等于 ( 足-1,omon),则a,=( A.0 B.3 C.8 D.11 4.1 1 B. 2.（2024·安徽毫州高二期中)若数列{an}满足 2n-1 2n-1 1 an=an-1+ 1(n≥2且neN),a=),则 C. 2+n 4n-3 D.4n-3 a2024= ( 9.已知数列{a,}满足a1=2an+4· 人8 2023 C.2025 2024 2025 3-,a1=-1,则数列{a}的通项 B.2024 D. 2026 公式为 题组2累乘法 10.已知数列{an}满足：a1=1,a2=4,4a+1-3am- 3.(2024·山东青岛高二月考)若数 a2=0,则an= 列{a,}满足(n-1)an=(n+1)a- 题组4利用a,与S,关系求解 (n≥2)，a1=2,则满足不等式a.<930的最 11.(2024·广东惠州高二月考)设数列{an}的 大正整数n为 ( 前n项和为Sn,若Sn+n=2a.,则a,=( A.28 B.29 C.30 D.31 A.65 B.127C.129D.255 1a+2_4aa+1 12.（2024·安徽合肥高二月考)记数列{a,}的 4.已知数列1an}满足a=l,a32a,1a 前n项和为Sn,已知a1=3,S1=3Sn+2n+3, 则a5= 则9+a+2 A.22 B.2-10 C.29 D.28 a1+a2+2 题组3构造辅助数列求解 13.已知数列{a.}的首项为1，记其前n项和 5.(2024·山东聊城高二期末)已知数列{an}满 为Sn,Sn= .(n+1) 求a 足a+1=2(an+1),若a5=78,则a1=( A.4 B.3 C.2 D.2 6.(2024·广东佛山高二月考)已知数列{an}满 足an1=4an-12n+4,且a1=4,若a4=2024, 则k= ( A.253B.506 C.1012D.2024 7.(2024·江苏南京师大附中高二月考)已知数 列{an}满足a1=3,a1=an+2√an+1+1,则 第一章黑白题33 专题探究2数列求和 黑题 专题强化 限时：50min 题组1公式法 题组3裂项相消法 1.(2024·河南南阳高二月考)设等差数列的前 5.(2024·四川南充高二期末)已知数列{a.}是 n项和为Sn,已知S5=92,Sm-5=200,S.=288, 等差数列，且a1=1,a3=a2+2a1,S。是数列 则n的值为 {an}的前n项和. A.16 B.18 C.24 D.36 (1)求数列{a,}的通项公式； +0 2已知数列8，满足3+…+：” 3"3 (2)设6.= 1(neN),数列1b.的前 √SS (nEN'). n项和T.,求证：T<1. (1)求{a.}的通项公式； (2)在{a.}相邻两项中间插入这两项的等差 中项，求所得新数列{b,}的前2n项和Tn 6.(2024·四川成都高二期中)记S.为数列{an} 的前n项和，且2Sn=3a.-2n,neN (1)求a1及数列{an}的通项公式； (2)若bn= 2×3 ，{b}的前n项和为T,求T。 anane1 的取值范围。 题组2倒序相加法 3已知函数)=e则/（兮+（得）+… r兮))2)++8)9) 4.(2024·江苏盐城高二月考)设函 数f代x)= 2中利用课本中推导等 差数列前n项和的方法，求得f(-5)+f(-4)+ …+f(0)+…+f(4)+f(5)的值为 选择性必修第二册·BS黑白题34 题组4错位相减法 题组5分组（并项）求和法 7.(2024·陕西渭南高二期末)已知各项均为正 9.(2024·江苏南京高二月考)在数列{an}中， 数的等差数列{an}的前n项和为S.,a2·a4= 已知a,=1且a1+an=2n,则其前27项和Sa 8,S3=15 的值为 () (1)求数列{a}的通项公式； A.56 B.365 C.481 D.666 (2)设bn=2-1,求数列{an·bn}的前n项 10.(2024·江西宜春高二月考)在数列{an}中， 和Tn an=(-1)-(4n-3),其前n项和为Sn,则S。 的值为 ( ) A.-12 B.16 C.-10 D.12 11.(2024·辽宁沈阳高二期中)已知等差数列 {an}的前n项和为S(neN),数列{bn}是 等比数列，a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5 2b2=a3 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： 2 (2)若cn= n为奇数， 设数列{cn}的前 b.,n为偶数 n项和为Tn,求T 8.(2024·山东日照高二月考)在“①S4= 15,S2=3;②a1+a2=3,a3=4”两个条件中任选 一个，补充到下面问题中，并解答 已知正项等比数列{a.}的前n项和为S.,满 足 (填序号)》 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{} 的前n项和T 第一章黑白题35 专题探究3 数列的综合应用 黑题 专题强化 限时：35min 题组1数列中的新定义、新情境问题 为“超级数列”，则公比g的取值范围为( 1.5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在 于万物互联，即所有人和物都将存在有机的 [受)u(1,+a)B(a,+) 数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩 C.[2,+o) D.[2,+o) 展到同时以人与物为中心的通信，将会为社 4.(2024·安徽毫州高二月考)已知等差数列 会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国 {an}满足a1+a+a4=13,2+a4+a6=21,则数 最高的5G基站海拔6500米.从全国范围看， 列{a.}的通项公式为 ;记数列 中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设 进度超过预期.现有8个工程队共承建10万 {.4}的前n项和为T,若T.<a-2a a aa+l 个基站，从第二个工程队开始，每个工程队承 6(neN')恒成立，则实数a的取值范 建的基站数都比前一个工程队少行，则第一个 围为 5.(2024·江西吉安高二期末)已知S,为数列 工程队承建的基站数（单位：万个）约为 {an}的前n项和，且an+2S。=1. ( (1)求数列{a,的通项公式； 10×68 A. B.10x6? 8×6 (2)设Tn为数列{(2n-1)an}的前n项和，求 68-58 68-58 C. 68-58 D.10x65 68-58 2.(2024·安徽淮北高二月考)某师范大学学生 会成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批 派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派 遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人 由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变 派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各 批人数依次构成的数列记为{a.,在数列 {an}的任意相邻两项a:与a1(k=1,2,…） 之间插人2个3，使它们和原数列的项构成一 个新的数列{bn.按新数列{b}的各项依次派 遣支教学生记S为派遣70批学生后支教学 生的总数，则S的值为 题组2数列与函数、不等式的综合问题 3.(2024·重庆八中高二月考)设数列{an}的前 n项和为S。,若对任意的n∈N',都有Sn< a1,则称数列{an}为“超级数列”.已知{a} 是首项为正数、公比为g的等比数列，若{a,} 选择性必修第二册·BS黑白题36