第一章 4 数列在日常经济生活中的应用-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

(号）厂时元=>0，=-万<0，所以五的最大值为 时，∫(n)=204,即总盈利的最大值为204万元故选A 3.D解析：依题意可知，第一年后的价值为(1-b%)万元，第二年后 T,=2"=1024.故答案为1024 的价值为(1-6%)2万元，依此类推可知，每年后的价值成等比数 1（)运明：由，2再边取数，并整理得。 2 列，其首项为a(1-6%),公比为1-b%,所以n年后这批设备的价值 则 为a(1-b%)”万元故选D. 时（周为1号以数列{位是等比 4.C解析：由题意知，2023年存的2万元共存了10年，本息和为 2(1+0.02)万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为 数列 2(1+002)”万元…2032年存的2万元共存了1年，本息和为 2解：由()1（小（）品期 2(1+0,02)万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全 廊取回，他可取回的钱数约为2(1+0.02)0+2(1+0,02)”++2(1+ 0021=2×102x1.020-D.204x1219-=2.3(万元.故 1.02-1 0.02 n+1 子<10，绿然{a+1-}为 选C 5.B解析：第一年年产量为41=2，以后各年年产量为，=T(n)- 单调递增数列.侧满足条件的最大整数n为99 T(n-1)= 12.(1)证明：4-3 -0.+4×3”-3+1 -4.+4×3"-3×34 4n(3初+5)，n≥2且neN,当n=1时也符合上式. 4。-30 %-3 。= a(3a+5(aeN.令(3n+5)≤60，得345n-20s0 。-3”-1,所以a.-3”是以，-3=-1为首项，-1为公比的等 -0.+3" 设0=3450-20.对称轴为直线4名当a>0时，八0)单 比数列，所以a。-3“=(-1)”,所以，=3“+(-1)” 周递增.又：n∈N”,八8)=3×82+5×8-240=-8<0，f斤9)=3×92+5× (2)解：因为6。=4。-(-1)产=3”，所以b=n·3”.S.=1×3+2× 9-240=48>0..最大生产期限应拟定为8年，故选B 32+3×33+4×34+…+n·3",35.=1×32+2×33+3×3+…+(n-1)3+ 6.解：(1)由题意得，投入生产的启动资金共有50×4=200（万元）， mX3.作差可得-28=3+32+3434+30-nx3=31-3) 3 41=200(1+50%)-60=200× 1-3 2 -60=240,a2=41(1+50%)-60= x3l=上-2×313 2 201-60=300,1=,(1+50%)-60= 2n-60 压轴挑战 (2)h(1)知4。= (1)证明：由at=2a。-n+1,得e1-(n+1)=2(a。-n),而a1=2,则 1-1=1.又6。=。-，因此61=2b。,b,=1,所以数列bn1是以1为 首项，2为公比的等比数列. 2解：得则2-”1宁令数别（二}的前 ()()m-(）×w-(2)广xm 项和为4则4=1+2,3 1.2 2t22"22 ×0-0=20×(）厂-0+子+(2）°+ 3 11 11 (3）]-20x(）广+10， 22则4兴所以4 而a1=240也满足该式，故=120× 21 (3)证明：由(2)知c,= n+2 (a+1)·2-n·2” 令120(）”+120≥120.所以(）广"≥9 (m+1)·2可4·2·(n+1）·2可n·2" 因为1.55=7.59.1.5=11.39.所以-1≥6，即n≥7 m+)211X22x22x23x2 ++ 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元 n·2(n+1)·21 黑题 应用握优 2(a+1)·2m而a)·2>0.所以T< 1.B解析：设每年应还x万元，侧有x+x(1+P)+x(1+P)2+·+x(1+ §4 数列在日常经济生活中的应用 P°=M(1+P)m,得1-P)1:M1+P)0,解得x I-(1+P) MP(1+P)0 白题 基础过失 (1+P0-故选B 1D解插油题意可组每月还本金细 =2000(元).设张华第m 2.B解析：由题意可得.50(1-%)·(1+2%)”≤5×(1.02”+1.02"+ 1.020-1 个月的还款金额为a.元，则a,=2000+[480000-(-1)×2000]× …+1.02+1),即1-a% 10x1.02×0020916,解得a%≥84%又 0.4%=3928-8m.故选D. a取整数.∴优惠率应不低于9%故选B. 2.A解析：设引进生产线n年后总盈利为《m)万元，除去生产线引进 3.C解析：由题意知，这个人原来持金为a斤，第1关收税金为 费用，第n年的成木为a,万元由题意知4n为等差数列，前n年成 本之和为[2+x8】 子斤：第2关收段金为写×(-子）a2女3a(斤)：第3美收 万元，故f(n)=100n-[24n+4n(n 1)+196]=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,neN·.所以当n=10 段金为(-石）（斤）.以此类推可得，第4关数 参考答案黑白题15 段金为3斤.第5关收税企为6斤.所以424 1 牧草销售总收人才能超过总投人 a+ 8.解：(1)1000×(1+0.1)6+1000×(1+0.1)3+…+1000×(1+0.1)= 100x1X116-.1000x1.P-1.）=8500(元. 0.1 a=(-名）1，解得a=号又银为心 （10x+11.所以 所以在十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为8500元. 1-5x.0<x≤1， (2)设投资天数为1， /(）=10x?+1=1故选C 方案一：投资累计收益S。=40加： 方案二：设每天收益an元，则1a.成等差数列，故a,=10+(a-1)×10= 4.D解析：若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次 10n.则投资累计收益A,=n(10+10a）=5n+5n: 成等差数列，且首项为1.公差为2.第m天所得积分为2n-1. 2 假设他连续打卡n天，第n+1天中断了，则他所得积分之和为(1+3+ 方案三：设每天收益b。元，则6，成等比数列，b。=0,4×2',则投资 +2血-1)+[1+3+…+2(19-n)-1门=a1+2-+ 累计收益B.-4x122=04x(2-). 2 1-2 (19-n)[1+2(19-n）-=193,化简得n2-19n+84=0,解得n=7或 S.-A,=35n-5n2=5n(7-m),当n≤6时，5，>A.;当n=7时，5n=A.: 2 当m≥8时，S。<4.又B.=0.4×(2”-1)<0.4×2,当n≤9时，B<S。 m=12,所以他未打卡的那天是3月8日成3月13日.放选D 且B<d.:当n≥11时.B>A,:所以投资1-6天时，可以考虑选择方 5。B解析：设第n年每辆车的利润为。万元，则每柄车的利润构成 案一：投资7天，可以考虑选择方案一或方案二：投资8~10天，可以 首项为1，公差为0.1的等差数列.所以4。=0.1n+0.9 考虑选择方案二：投资1山天及以上，可以考虑选择方案三 设第n年新能源汽车的销量为6，辆，则该汽车的销量构成首项为2000， 公比为1,2的等比数列，所以6，=200x1.2. ·§5 数学归纳法 设该汽车集团销售新能源汽车的总利润为$万元 白题 基础过美 则5=2000x(1+1.1×1.2+1.2×1.22+1.3×1.23+1.4×1.2+L.5×1.2)0①， 1.B解析：由题意八n)=1+2+3+…+(4n-1),(meN°)，即从1起连 1.2S=2000×(1×1.2+1.1×1.22+1.2×1.23+1.3×1.2+1.4×1.25+1.5× 续(4n-1)项正整数之和.则代1)为从1起连续3个正整数之和，故第 1.2)②，①-②，得-0.2S=2000×[1+0.1×(1.2+1.22+1.22+1.24+ 一步应证明1)=1+2+3故选B。 1.23)-1.5×1.26]=2000× a( -1.5×1.2 2D得折：当。联，等式的左边为1宁}}…云当 234+…t 2000×(0.4-1.26).所以S=10000×(1,26-0.4)=25900(万元). =+1时，等式的左边为11+11 11.11 即S=2.59亿元，所以该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为 2t34…2-22+12+2 2.59亿元.故选B. 6.66解析：由题意可知，第一年要比上年增长10%，设第n年的产值 故从。=到=1，左边所要加的现是故害n 为a,.则11，且a1=11,所以数列a,是首项为11，公比为 3.证明：当n=1时，左边=1.右边=12=1.等式成立：假设当n= (k∈N)时，1+3+5+…+(2h-1)=2成立，那么当n=+1时，1+3+ 11的等比数列.所以从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值 5+…+(2k-1)+(2k+1)=2+2k+1=(k+1)2成立.综上所述.1+3+5+ 为1x1-1)1.1x1-1.6 =6.6.故容案为6.6 …+(2n-1)=n2对于任意meN°成立 1-1.1 1-1.1 11 4 4.B解析：第一步，当n=2时，验证不等式为1+232故选B 7.解：()由题知，每年的投人金额是以40为首项，了为公比的等比数 111 11 5.D解析：因为f代n)=1+ 23+ +”所以=1+2+了… 列.所以4。=40× =200-200 :同理，每年牧草销 立共现则小宁宁宁一共 11 2+1项，所以k+1)比k)共增加了21-2=2（项），故选D. 售收人是以30为首项，子为公比的等比数列，所以么=30× 0义6,8解桥当1时，左边-，右边人人 14123>2不成 () 120x(）广-12m 立省2时边品右边品子号不成立：当 n=3时，左边= ?被成立博左边大于 23-17 (2)设经过m年，牧草销售总收人超过总投人，即6。-。>0，即120× 右边，不等式成立，则对任意n>k(n,keN)的自然数都成立，则k的 (）广-m-[m-m(告)广门a(）广+mx()月 最小值为2，故选B. 7.AD解析：若当n=4时命题成立，侧当n=5时命题也成立，与题设 3a0令（）广.0<1.则上式化为2020-320>0.即5 矛盾，即当=4时，白题不成立，A正确：若当=1时命题成立，则当 n=2时命题成立，继续推导可得当a■5时命题成立，与题设矛盾」 +30解得01<即(）广，所以< -,即n> B不正确：当n=6时，该命题可能成立也可能不成立，若当#=6时命 题成立，则当n=7时命题也成立，继续推导可得对任意n≥6.命题都 g5g3-g5.g3+g2-1 成立，C不正确，D正确.故选AD 22,所以n≥3，所以至少经过3年 4lg4-lg531g2-1 8.解：(1)由*，“-9，=0可知1，当=1时，代人015 选择性必修第二册·BS黑白题16§4数列在日常经济生活中的应用 白题 基础过关 限时：35min 题组1等差数列模型 存款均自动转为新的一年定期，到2033年 1.(2024·广东广州高二月考)我们知道，偿还 1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他 银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常 可取回的钱数（单位：万元）约为 见的还款方式，其本质是将本金平均分配到 (参考数据：1.02°≈1.195,1.020≈1.219， 每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部 1.02"≈1.243) 分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以 A.2.438B.19.9 C.22.3 D.24.3 还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已 题组3其他数列模型 还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生张 5.(2024·四川成都高二月考)某药厂打算投入 华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行 一条新的药品生产线，已知该生产线连续生 约定，按照等额本金还款法，每个月还一次 产n年的累计产量为T(m)=4a(n+1)(n+3) 款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第 n个月的还款金额为a。元，则a.= (单位：万件)，但如果年产量超过60万件，将 可能出现产量过剩，产生药物浪费.因此从避 A.2192 B.3912-8n 免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生 C.3920-8n D.3928-8n 产线的最大生产期限应拟定为 2.(2024·江西师大附中高二月考)某公司计划 A.7年B.8年 C.9年 D.10年 今年年初用196万元引进一条永磁电机生产 线，第一年需要安装、人工等费用24万元.从 6.(2024·吉林长春高二月考)甲、乙、丙、丁四 第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费 人合资注册一家公司，每人出资50万元作为 启动资金投人生产，到当年年底，资金增长了 用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相 保持在100万元，则引进该生产线后总盈利的 同四人决定公司从第一年开始，每年年底拿 最大值为 ( 出60万元分红，并将剩余资金全部投入下 A.204万元 B.220万元 一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资 C.304万元 D.320万元 金为a。万元 题组2等比数列模型 (1)求a,a2,并写出a1与an的关系式. 3.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比 (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金 上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价 不低于1200万元？ 值为 ( (年数取整数，参考数据：1.55=7.59， A.na(1-b%)万元 B.a(1-nb%)万元 1.55≈11.39) C.a[1-(b%)"]万元D.a(1-b%)"万元 4.(2024·江西南昌高二月考)某人从2023年 起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年 定期)，若年利率为2%保持不变，且每年到期 第一章黑白题27 黑题 应用提优 限时：50mim 1.(2024·江西南昌高二月考)小李年初向银行 10x+1,x>1, 原来持金为a斤，设f(x)= 则 贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为 1-5x,0<x≤1， P,按复利计算，并从借款后次年年初开始归 f(a)= ( 还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还 A.-5 B.7 C.13 D.26 4.(2024·山东德州高二月考)生命在于运动， 元 某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积 A. 分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得 MP(1+P)10 B. 1积分，以后只要连续打卡，每天都会比前一 (1+P)0-1 万元 天多2积分.若某天未打卡，则当天没有积分， C. M(1+P)0 万元 且第二天打卡须从1积分重新开始，某会员参 10 与打卡活动.从3月1日开始，到3月20日他 MP(1+P)9 万元 共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打 (1+P)9-1 卡的那天是 2.某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以 A.3月5日或3月16日 首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后 B.3月6日或3月15日 共10次付清，也可以一次付清（此后一年定 C.3月7日或3月14日 期存款税后利率设为2%，按复利计算)并优 D.3月8日或3月13日 惠a%,为鼓励购房者一次付清，则优惠率应 不低于 5.(2024·河南开封高二期末)某汽车集团 ( 从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年 (a取整数，计算过程中参考以下数据： 全年生产新能源汽车2000辆，每辆车的利润 1.02°≈1.195,1.02°≈1.219,1.02"≈1.243) 为1万元若在后续的几年中，经过技术不断 A.8% B.9% C.11%D.19% 创新，后一年新能源汽车的产量都是前一年 3.(2023·广东揭阳高三月考)我国古代数学著 的120%，每辆车的利润都比前一年增加 作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出 1000元，则生产新能源汽车6年的时间内 五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而 该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为 税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关 (假设每年生产的新能源汽车都能销售出去， 所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为： 参考数据：1.2=2.99) “今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 A.2.291亿元 B.2.59亿元 第2关收税金为剩余金的了第3关收税 C.22.91亿元 D.25.9亿元 6.(2024·山东青岛高二月考)某厂去年的产值 金为剩余金的4第4关收税金为剩余金的 记为1.若计划在今后五年内每年的产值比 ,第5关收段金为利余金的。5关所收税金 上年增长10%，则从今年起到第五年这五年 内，这个厂的总产值约为 .(保留一位 之和恰好重1斤.问原来持金多少？”记这个人 小数，取1.15≈1.6) 选择性必修第二册，BS黑白题28 7.(2024·辽宁沈阳第一二○中学高二月考)牧8.(2024·广东江门高三月考)教育储蓄是指个 草再生能力强，一年可收割多次，富含各种微 人按国家有关规定在指定银行开户、存入规 量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选 定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一 某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量， 种专门为学生支付非义务教育所需教育金的 决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧 专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策 草的养护管理，以后每年投入金额比上一年 若你的父母在你十二岁生日当天向你的银行 减少了，本年度牧草销售收入估计为30万元， 教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你 生日当天存入1000元，连续存6年，在你十 由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销 八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存 售收入每年会比上一年增加4 款的年利率为10% (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金 (1)设n年内总投入金额为a。万元，牧草销 额总数为多少？（参考数据：1.1'≈1.95) 售总收入为b,万元，求a,bn的表达式： (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资 (2)至少经过几年，牧草销售总收人才能超过 金，你可以用你的这笔资金做理财投资 总投入？(1g2≈0.30，lg3≈0.48)》 如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元： ②方案二：第一天回报10元，以后每天比 前一天多回报10元： ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 回报比前一天翻一番。 你会选择哪种方案？请说明你的理由， 进阶突破拔高练PO7 第一章黑白题29