第一章 2.2 等差数列的前n项和-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前m项和及其性质 白题 基础过美 很时：30min 题组1等差数列的前n项和公式 7.已知等差数列{an{的公差d>0,则下列四个命 1.(2024·江西九江高二月考)已知S。为等差数 题：①数列{a,}是递增数列：②数列{Sn}是递 列{an}的前n项和，若a3=7,S,=70,则公差 增数列；③数列{：}是递增数列；④数列 d= ( A.-1 B.1 C.2 D.3 是递增数列.其中真命题的个数为( 2.（2024·四川广元高二期中)已知等差数列 A.1 B.2 C.3 D.4 {an}的前n项和为Sn,a1+a4=0,2S3+a5+1= 8.(2024·江西南昌高二月考)数列{an}为等差 0,则公差d= 数列，它的前n项和为Sn,若Sn=(n+2)2+入， A.-2 B.1 C.2 D.4 则入的值是 3.(多选)(2024·陕西渭南高二期中)记S。为 9.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若 等差数列{an}的前n项和，已知S4=0,a5= S3=S1o,S6=Sk,则k的值是 5,则 题组3等差数列前n项和的性质 A.a=2n-5 B.an=3n-10 10.(2024·江西赣州高二月考)设等差数列 C.S,=n2-4n D.8=22-2n {an的前n项和为Sn,若S1o=20,So=10, 则S0= () 4.（多选)已知等差数列{an},Sn是其前n项和， A.0 B.-10 C.-30 D.-40 若S1o=a1o=10,则 11.(2024·广东茂名高二期末)已知一个等差 A.a1=-8 B.a5=0 数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和 C.S5=18 D.S=-20 为264，所有偶数项的和为253，则此数列 5.(2024·河南焦作高二期末)记等差数列{an} 的项数是 ( ) 的前n项和为Sn,若a1+a,=6-2a6,则 A.43 B.45 C.47 D.49 S1o= 12.设等差数列{an}的前n项和为S.若am= 题组2等差数列前项和公式的函数特征 10,S2%-1=110,则正整数m= 6.（多选)(2024·福建宁德高二月考)在等差数 13.(2024·江苏常州高二月考)在等差数列 列{an}中，a1>0,公差d<0,S。为其前n项和， Sati Sa {a,}中，a=2,其前n项和为Sn+1 =1, 对任意正整数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线 则S1o= 中的某一条上，则这条曲线不可能是( 14.(2024·安微马鞍山高二月考)已知Sn,T.分 小 别是等差数列a,么，的前n项和，且 2n+1 3n1,那么 第一章黑白题09 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2024·山西太原高二月考)记等差数列{a,} (m,n∈N°，m≠n),则下列各值中可以为Sn 的前n项和为Sn若a=7,a1o=2,则S4= 的是 ( ( A智 B.3.5 C.4.5 A.49 B.63 C.70 D.126 D. 2.(2024·江西上饶高二月考)等差数列{a.}的 8.(2024·江西抚州高二期末)已知等差数列 前n项和为Sn,若S,=So,a5=1,则a1= {a,与b,的前n项和分别为S,T.,且7 2n+3 ,则的值为 ) A.-2 c.1 D.2 n+1 ( b1+b19 3.(多选)(2024·四川成都高二月考)已知数列 13 C D别 {an}的前n项和为Sn,若a1=-10,a1=an+ 9.已知等差数列110,116,122，…，在区间[450， 3,则下列说法正确的是 600]上，该数列有 项，它们的 A.{an}是递增数列 和为 B.10是数列{an}中的项 10.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若数 C.S3=20 列S3,S。-S,S,-S6,…的前n项和为6n2+3n, 是等差数列 则a101= 4.已知等差数列{a.}的前n项和为S。,若 11.在以下这三个条件：①a4+a5=-4;②a2+a6= -6;③S,=14中任选一个，补充在下面的问 Su Su-Ss 3,则 ( 题中，若问题中的k存在，求出k的值：若k 11 不存在，请说明理由。 B.S 9 C. 0 0. 问题：等差数列{an}的前n项和为S。,a,=3, 5.(2024·广东深圳高二期末)已知等差数列 若 ,是否存在k,使得S1>S {an}的前n项和为Sn,S。=1,Sg=4,则a+ 且S4<S+1? a18+a19+a20= ( A.7 B.8 C.9 D.10 6.(2024·河北保定高二期末)已知数列{an}满 足a1=an+6,{a.}的前n项和为Sn,则 S224S22= 20242022 A.12 B.6 C.3 D.2 7.(多选)(2024·广东广州高二月考)已知等差 数列a的前n项和为及，且8=品5-丹 n 选择性必修第二册·BS黑白题10 第2课时等差数列的前n项和的综合应用 白题 基础过美 很时：30min 题组1裂项相消法求和 D.So,S1,均为Sn的最大值 1.(2024·浙江杭州高二期末)若数列{a.}的7.(2024·天津东丽区高二月考)已知等差数列 1 通项公式为a,=nm2+n,则上，山++ {a.}的前n项和为Sn,且a>0,S=S2,则S。 a az a100 取最大值时，n= ( 题组3等差数列中a,与S.关系的应用 A.100 9 8.(2024·江苏盐城高二期中)如果数列{a。}的 101 B C.10u 101 D. 100 100 前n项和Sn=n2+2n,那么a2的值为() 2.(2024·江苏苏州高二期中)在数列{a.}中， A.23 B.24 C.25 D.26 a。= ,若S.=8,则n= ( √n+n+1 9.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N), A.77 B.78 C.79 D.80 若ptg=5(p,9eN),则a,+a,= 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2= A.6 B.8 C.9 D.10 11,S4=60,则数列{ S,+n-1 的前n项和 10.已知S。为数列{an的前n项和，an>0, Tn为 a2+2a,=4S。,则数列{an}的通项公 题组2等差数列前项和的最值问题 式为 4,(2024·安徽合肥高二期末)已知等差数列 题组4等差数列前n项和的实际应用 an}的通项公式为an=9-2n,则其前n项 11.(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)一百零八 和S,取得最大值时，n的值为 ( 塔是始建于西夏时期的实心塔群，塔的排列 A.6 B.5 C.4 D.3 顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第 5.(2024·山东泰安高二月考)已知等差数列 三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五 1an的前n项和为S。,若S2>0,S4<0,则S。 层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5， 公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该 取得最大值时，n的值是 ( 塔共有 ( A.23 B.13 C.14 D.12 A.八层 B.十层 6.(多选)(2024·湖北荆州高二月考)设{an}是 C.十一层 D.十二层 公差为d的等差数列，S,为其前n项的和， 12.(2024·天津河西区高二月考)中国古代数 且S,<S10,So=S1>S2,则下列说法正确的是 学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某 贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始， A.d>0 每月比前一月多入相同量的铜钱)，第3月入 B.a1=0 25贯，全年（按12个月计）共入510贯.”则 C.S<S 该人第12月营收贯数为 第一章黑白题11 黑题 应用提优 限时：40min 1.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2-17n, 6.(2024·湖南长沙高二期末)南宋数学家杨辉 则当S取最小值时，n的值为 ( 在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提 A.4或5 B.5或6 出了高阶等差数列的概念.如数列1,3,6,10， C.4 D.5 后、前两项之差得到新数列2,3,4，新数列2， 2.(2024·天津河西区高二月考)已知数列1an} 3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数 的前n项和为S.,an+a2=2aa1,且a1=13, 列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后 a2=11,则当Sn取得最大值时，n= 一般称为“垛积术”现有二阶等差数列，其前 ( 7项分别为3,4,6,9,13,18,24，则该数列的第 A.7 B.8 C.9 D.10 19项为 ( 3.设Sn是数列{a.}的前n项和，且a1=1, A.174 B.184 a+1=2SnS1,则Sn= C.188 D.190 A.3-2n B.3-2n 7.(2024·江西赣州高二月考)已知公差为d的 1 等差数列{an}的前n项和为Sn,且So<0,S21> C.2n-1 0. 0,则宁的取值范图是 4.(2024·河南驻马店高二期中)我国古代数学 名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人 B(层) 钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五 钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分 C.(-7,-6) 之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给 8.(多选)(2024·江苏苏州高二月考)等差数列 若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人 {a.}的前n项和为S。,若a>0,公差d≠0，则 给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分 完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分 A.若S4>Sg,则S12<0 得100钱，问有多少人？则题中的人数是 B.若S4=Sg,则S6是Sn中最大的项 C.若S>S6,则S4>S A.145 B.165 D.若S3>S4,则S4>S C.185 D.195 9.(2024·浙江湖州高二期末)已知S。为等差数 5.(2024·四川成都高二月考)已知a.}是等差 列{an}的前n项和，若S,=4S2,a2n=2an+1,则 数列，且a1=1, 11 +…+ 1 a2023日 aa2 a2a3 25则 ago 10.在等差数列{an}中，la5l=lagl,公差d<0,则 a10= 使前n项和S。取得最大值的正整数n的值 A.15 B.26 是 ,使前n项和Sn>0的正整数n的 C.28 D.32 最大值是 选择性必修第二册·BS黑白题12 11.(2024·安徽毫州高二月考)已知S是数列压轴挑战∥ a,的萌n项和，者（受}是等差数列，且 (2024·广东中山高二期中)已知数列{a.}满 足a1=-2,a+a+1=2n-1,数列{bn}满足 a1=-7,a2+a3=-8. (1)求S,的值； b=a2n (2)n为何值时，S。-n的值最小？ (1)求数列{a,的前20项和S0; (2)求数列{b}的通项公式； (3)数列{b.}的前n项和为T.,若T.-(n+1)· λ+32>0对任意n∈N恒成立，求实数入的 取值范围。 12.(2024·山东淄博高二期中)已知等差数列 {a}的前n项和为Sn,且{Sn+n2}也是等差 数列， (1)求数列{an}的公差； (2)若4，=-1，求数列{4n} 的前n项和Tn ana。+】 进阶突破拔高练P2 第一章黑白题13中61=a1+9%1=2+18=20.又a2+9%2=25,故63-4=25-20=5，所 以c=61+8×5=20+40=60.散选D. 1.解：0a=2.-1.=(A-3a+2A-号 四重难点拨 =号 3 (1)等差数列的通项公式及前m项和公式共沛及五个量a,n,d, (2)不存在理由：a1=2,a1=(A-3)an+2”, a。,S。,知道其中三个就能求出另外两个（简称“知三求二“） a2=(A-3)a1+2=2A-4, (2)确定等差数列的关键是求出两个最基木的量，即首项a1和公差d .a3=(A-3)2+4=2A2-10A+16 5.B解析：设甲，乙、丙，丁，戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 若数列}a.为等差数列，则a1+1=2a2, 则a-2d+a-d=*a+d+a+2d.解得a=-6d.又a-2d+a-d+a+n+d+ 即A2-7A+13=0. :4=49-4×13<0.,方程无实数解 不存在A的值，使数列{a。I为等差数列. 6.CD解析：由a1=1,a,+a1=2n(neN),得a2=2-1=l,a3=4 压轴桃战 2=3,4=6-3=3,A错误：则42-41=0，-2=2，B错误：由4.+ 解：(1)P,(a1,b,)是直线1：y=3x+1与y轴的交点(0.1)， aa1=2n,得a1+2=2(n+1),两式相诚得2-a.=2,故数列 .01=0.61=1. 1a。所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，C正确：所以数列 1,1是以42=1为肯项，2为公差的等差数列，所以2n=1+(n- ~数列a,是公差为1的等差数列，六0。=-1 点P(a。,bn)在直线l:y=3x+1上， 1)×2=2H-1.D正确.故选CD ∴，b.=30.+1=3n-2 7.2,5.8.11解析：设这四个数依次为m-3d.a-d.n+d.a+3d(公差 为2d).因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，所以 数列|an{,b.}的通项公式分别为4n=n-1(neN),6.=3n-2 13 13 (neN'). 4=26. 4= 2 2 (n-1,n为奇数， ((m-d)(a+d)=40, 解得 或 所以这个数列为2.5， 3 3 (2)存在n)严3n-2n为偶数， d= 2 假设存在keN°，使(+3)=4饮k)成立 8,11.故答案为2,5,8,11 ①当为奇数时，k+3为偶数.则3(k+3)-2=4(k-1), 四方法总结 解得=11，符合题意 ②当女为同数时，k+3为奇数，则(k+3)-1=4(3-2). 等差数列的常见设项技巧： (1)极据已如条件直接设首项和公差：当规目中给出与首项，和 解得=不符合题意 公差d相关的条件时，可以直接设首项为1，公差为d,然后利用已 综上可知.存在k=11符合条件 知条件魂立方程求解， 2.2等差数列的前n项和 (2)利用数列的对称性设项：对于第差数列.如果项数为奇数，可以 第1课时等差数列的前n项和及其性质 设中问一项为a,然后用公差d向两边分别设立项，例知：a-d,a,a+ d:如采项数为偶数，可以设中间两项分别为a-d和a+d 白题 基础过关 8.,=-名+723解析：由31=3，-2，得41-0，一 7(a1+a1）7×2au 3n+3 2,所以 1.D解析：因为S,= 2 2 =7a,=70,所以a,=10,所以 数列口是首项a,=15,公差4：-号的等差数列，所以a,=15 d=a4-ay=10-7=3.故选D. 2.G解析：设等差数列{a。的公差为d.由a,+=0,得2a1+3d=0. 3(-1)=2 2 +3由m·a1<0,得a>0,a1<0.令a,=+ 由28tn,+1=0,得2x3x(aa 2 +a5+1=0,即3×(1+3)+a5+1= 30得n= 47 ,所以0s>0,4a4<0,所以k=23. 47 0,则7a,+10d+1=0.解得d=2故选C. 3.AC解析：设等差数列|，|的公差为d,由S=0,5=5,得 9,解：(1)设和1的调和中项为6，张题意得3，方1成等差数列，所 a:+6=0解得-3所以4，=2n-5,5.=n2-4n,故选AC a1+4d=5 ld=2. 以2解得6=放兮和1的调和中项为 10×9 6=2 4.ABD解析：设数列{4.的公差为d,由题意可得 10a,+2d=10. {1}是等差数列，设其公差为山，则34=2 (2)依题意，{a) ,则 a1+9d=10. 解得0-8所以5=，+4d=-8+4×2=05,=50,+24=5× 5×4 6+《n-1)=。一，数a.+ 11 18 18 d=2. 10（0相：图为0，=2.且2-女当n=1时.=2寸当 (-8)+10x2=-20,故选项ABD正确。 d 5.15解析：因为a1+ag=6-2o,又a1+ag=2a,所以a5+a6=3,所 14 10(a1+00） n=2时，01=2- 以S0= =5(a+06)=5×3=15.故答案为15 （2)证明：因为42，所以a1=1品， 6.A1D解析：，在等差数列a。|中，a1>0.公差d<0,S。为其前n项 ,两边同时取 和，Sm,d:一(a号）h点a5)在曲线 2 1=1+2 倒数有1 a,-令6s1 d 2+a了上k0,二次两数的图象开口间下 a一l,6-6,=1,所以数列6，是以1为首项，1为公差的等差 1 d 数列，所以6.n,所以， a12 B不可能对称轴为直线口二>0对称轴在)轴的右侧，故 选择性必修第二册，BS黑白题04 C可能.D不可能.故选ABD (2m-1)a=10(2m-1)=110,解得m=6 四方法总结 13.10解斩：由圈知。，为等差数列，记数到÷所以，产 等差数列前项和的爵数性质： 等差数列的前m项和公式为S=叫，a》山.将它写成关于n的 a1=2.由 8=1,可知b一4，=1，所以6，是以2为首项. 2 n+l n 多项式可得8子+(，）人设号Ba,号上式可 为公差的等笼数，所以之2+(a-)=a+1.所以8+n, 所以Sm=10.故答案为110. 写成Sn=Am+Bm的形式. 当A=0,B=0(中d=0.a1=0)时，S=0是关于n的常数函数： 14.3 解析：数列1。，6.均为等差数列，且其前n项和分别 当A=0,B≠0（即d=0,4,≠0）时，S,=Bn是关于n的正比例函数 7(a+a) (常数项为0的一次虽数)； 44 2 S72×7+13 3 当A0,B≠0（即d≠0）时，S.=An2+Bn是关于n的二次西数（常 为81心看76，)万x7子故答案为 2 数项为0) 四方法总结 7.B解析：①因为数列a。是等差数列.所以a。=a1+(n-1)d=d·n+ (41-d),因此可以把a。看成关于n的一次函数，又>0，所以数列 等差数列前n项和中常见的两个比例关系： {}是递增数列，因此木命题是真命题：2因为数列{a。是等差数 在等差数列a,中，，=2.(an- 2 2 ·(2n-1）· 列，所以8m+宁(a-d=号2,20，因此可以把5看成 2a1-d S2w-1 关于n的二次函数，而二次函数的单词性与开口方向和对称轴有关， 2m-12m-1 虽然>0能确定开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断 若1a。,b,」为等差数列.A.为数列1a的前n项和，B。为数列 数列S,1的单测性，故本命题是假命题：③设=b,因为数列1口. 山，的前n项和，则2- b。Bn- 是等差数列.所以a,=a1+(n-1)d=d·n+(1-).因此数列 思题应用提优 {总}的通项公式为b, - -+d,显然当a1=d时，数列 1.B解析：因为an是等差数列，故，+a4=a5+a1o=9,于是S4= 巴}是常数列，放本命题是假命题：④设氵=6，因为数列a,是 14(a1*a=63.故选B 2.B解析：由Sm-S,=a6+n,+ag+a+a0=5as=0,则a4=0,则等差数 、等差数列，所以s.=上+2n《n二1）1=2m2+7“。， 2n,因此数列 列1a,的公象4号放0，-4=1-4(）子 3 S.d 2a1-d {倍}的通项公式为6÷子+ ,所以可以把c,看成关于 故选B. 3.AD解析：a41=a。+3,1-a,=3,.数列ian是首项为-10， :的一次函数，面小0，所以数列}是递增数列，因此本命题是 公差为3的等差数列，则a.=-10+(n-1)×3=3n-3a1-n=3> 23 真命题故选B. 0,a,为递增数列，A正确：令10=3血-3，得n=号，不满足题意， 8.-4解析：设等差数列1a。1的首项为a1,公差为d,所以S,=a+ 放B错误：5=3-13-10）·0=3m,23”.之s5=3x5二23x5=-20 2 2 2子(a号).又=+224A=4a4A,所以 2 4+A=0,解得A=-4故答案为-4. 故c精80.…各空孕则数时 97解桥：等差数列a的前。项和8=号一（号）可看 (倍}是等发数到放D正确放结心 成关于n的二次函数且5=S0心对称辅为直线m=3+0 6.5. 4.A解析：由S11 2 -I(atan)=Hdo.Su-=n 2 6h=6.5ka7. 6(a6+a1） 又56=5 11a6 2 3(a6+n,有3a6+am .二名散选人 10.C解析：由等差数列{a。1的前m项和的性质可得，So,50- 5.C解析：在等差数列1a.1中，S,=1.S。=4.所以8=1，Sg-S。=3, S1a,S0-S也成等差数列，.2(Sm-Sm)■S1o+(50-50).∴.2× 故54，S,-54,S2-S,S6-5z.Sm-S6构成公差为2的等差数列，所 (10-20)=20+50-10,解得S0=-30.故选C. 以Sm-56=1+(5-1)×2=9,即a1n+aw+aw+n=9故选C. 11.C解析：设该等差数列中有2+1(n≥1，n∈N”)项，其中偶数项有 6.B解析01=%，+6数列a,是以6为公差的等差数列， 4项，奇数项有(+1)项，设等差数列a,的前n项和为S,则、 S,s+a、+126,+×石 2 2 -=a1+3n-a1 n+l n m+1 d101x(n+ 524 a1+3+05++a2+1 2 一14n为等差数列，41+ 是以3为公差的等差数列.小2024 a2+aa+ao+.+az 2 5=2×3=6.故选B 2022 巴20-片解得232+六此数列7.G①，解折：1a.是等差数列.设4m. 的项数是47.放选C. S=An2+m=生 A+Bm=l两式相减得B(m-n)=0,放 12.6解析：因为a是等差数列，所以52-1= ,t2a1x(2m-1)= 2 S.=Am2+Bm=m 六{(Am+B)n=1, 参考答案黑白题05 月粉·$=A《m+n）2=(+n）二=m++2 B=0,A= 第2课时等差数列的前n项和的综合应用 白题 基出过关 neN”,m≠m2+n2>2m,则Sn产+n42m,4a。4放 1.A解析：L 1 11 a。nn+1)店i+1%一7 1 11 +++ -=1- 选CD. 1a2 010 2+2 8.D解析：因为等差数列a。与b的前m项和分别为S.,T。,且 11 1100 3+…+100101110110 放选A S.2m+3,所以设3=a(2n+3)=2m2+3.T。=加(n+1)= Tn+1 =+订-m,所以S.=2-1+3- m2+m,所以+.2._-S.(50+15w)-(32+12h 2.D解析：依题意.4，后+ 61+bg2b1g6mTo-T。(100k+10k)-(81k+9k) √2+…+√m+1-n=m+1-1,由S。=√n+I-1=8,解得m=80.故 65-4_21故选D 选D. 110-9020 a1+d=11, 32m*1 解析：由已知得 9.2513100解析：设所求等差数列为a。1,由题意可知数列1a。|的 0. 得3故S,=4n2-n d=8. 首项为110，公差为116-110=6，则4。=110+6(4-1)=6m+104.由 高()[-时小（传 1 450≤6m+104≤600.得58≤4≤82，程eN°，所以该数列在[450.600] 上有25项，其和5=2(0g*0和)×25=13100 专）…(2)小)小 10.135解析：设等差数列|a。1的公差为d,首项为41，由题意知数 4.C 解析：由题意，等差数列1a。的通项公式为a,=9-2m,则a,= 列S,S。-S,Sg-S6,…成等差数列，且公差”=S。-S,-S,=u+5+ a6-41-a2-a=91,记数列S,5。-5,S-5。,…为1G,,其前n项和 9-2=7,放S,-(7+9-2n.-(m-42+16.即当n=4时.5取得最 2 a又因为数列 大值，即5，取得最大值时.n的值是4，故选C 5.D解析：因为14m是等差数列，且S1>0,S4<0,所以 d -=6。 23(a1+03） =23012>0 24(a1+a24 2 S3,S-S,Sg-S6,…的前n项和为62+3n,所以 2 -=12(a2+g)<0.即a12+3<0, 解得 d =3. 所以a>0,a<0,因为d=ag-ae<0,所以等差数列a,是递诚数 列，所以当n=12时，S。取得最大值故选D. =2所以d= 9 4 =子6=5=3+3=9，解得a=行 ,所以 6.CD解析：山题意ao=S1o-Sg>0,au=S1-Sn=0,4=S2-S1<0, c1=9. 义a。|是公差为d的等差数列，所以d<0,故A错B对：从而a1>> am=4,+10M=5◆400.405-135.放答案为135 >4o>m=0>a2>…,所以Sa,S1均为S。的最大值.D对：面 333 S4-S,=ao+um+aptap+a1u=5a1+5d=5d<0,所以S14<S,C对.故 巴重难点拔 选BCD. 等差数列的性质： 7.15解析：由题意知a1>0,Sg=S2,设等差数列1au的公差为d,则 (1)项的性质：在等差数列{a。|中， 8a1+28d=22a1+231d,即203d=-14a1,因为1>0.故d<0,即等差数 ①a,=a.+(a-m)d(m,aeN）,d=8.-0 列a,为首项为正的递减数列，又由S,=S2,可得ag4o+…+a如= n-m 0,即7(5+a16）=0,故a14>0,a6<0,即等差数列a。1前15项为正， ②若mtn=ptg(m,np,qeN).则ant。=,tag 从第16项开始为负，故S。取最大值时，n=15.故答案为15. (2)和的性质：在等差数列1a中，S。为共前n项和，划 四方法总结 ①S2n=n(a1+an)=…=n(a。+ai): 在等差数列a。l中，有关S,的最值问题： ②依次4项和成等差数列.即5，S-5,Su-5…成等差数列， ①当a>0,dk0时，满足.≥0. 的m使得S。取得最大值S(当 11.解：若存在，使得S->5且S<51,则a<0,a>0设等差数列 （aw1≤ a的首项为a1,公差为d am+1=0时，Sn=S1,Sn,Sa1均为S.的最大佳)： 若选择条件①： 由/3， 得+6d=3. 解得=-9， ②当a<0.d>0时，满足，0， 的m使得S取得最小值S。(当 所以a。=-9+2(n- (a,t≥0 (a+a5=-4,(2a,+7d=-4 ld=2, a1=0时.Sn=S1.Sn,S1均为S的最小值)： )=2-1(aeN),令a,<0,得<号.所以当=5时，满是4,0， ③利用等差数列与西数的关系来解决，等差数列的前”项和5= a6>0,所以女=5满足题意 m,a-= 若迹择条件②： 2 2+(a-2)n可看我美于n的二次西数，且 由a3。得0+6d3.解得0-9所以。=-9+2(n 常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题， （a2+a6=-6,(2a1+6d=-6. （d=2, 8.C解析：由数列1an1的前n项和S。=n2+2n,可得a2=S2-S,= 2-(aeN)由a,<0,得n<),所以当k=5时，满足 122+2×12-(112+2×11)=25.故选C 9.D解析：当n=1时，m1=S1=2-3=-1,当n≥2时，a,=S, a。>0,所以=5满足题意 S,-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,当n=1时，上式也适合」 若选择条件③： ∴数列|a.l的通项公式为a.=4n-5..4,+4,=4p-5+4切-5=4(p+ 由3和a+6=3, 41=1, 解得 1所以a.=1+ 52m14,7a1+21d=14. d= 3(-1)= g)-10=10,故选D. 3 10.n.=2n解析：当n=1时，a+2a1=45,=4a1,因为a.>0,所以 12 3+3(n∈N),易知a,>0恒成立，所以不存在满足条件的k. a1=2:当n≥2时，a+2a。-a21-2nr-l=4Sn-4S-1=4an,即(a.+ 0-)(an-a-1)=2(a,+n-1).因为0n>0,所以n-g-1=2,所以数 选择性必修第二册，BS黑白题06 列：。是首项为2，公差为2的等差数列，所以日，=2m.故答案为 a,=(a-1)+(a-2)+…+1+3=-1+)m-)+3.（mD+3.所t以 a =2n. 2 2 11.D解析：设该塔共有(+4)层.则5n+(山x2=108-（1+3+3+ 19×18 +3=174.故选A 2 2 5),即(m+12)·(-8)=0,解得4=8或m=-12(舍)，即该塔共有 7.D解析：因为5= 20(a1+a0 -=10(a1ota1）<0.S2=21a1>0,所 n+4=8+4=12(层).故选D. 2 12.70解析：设每个月的收入为等差数列a.1,公差为d,则= 以ao+e1<0,a1u>0.所以21o<0,d=4n-a1o>0.由ao+n1<0,a>0. 25.5=510,24+2d=25,12a,+12X14=510,解得4，=15，d=5 2a /2a,+13d<0, +13<0, 即。 六a12=1+11d=15+11×5=70.故答案为70. a4+7d>0. +10, 得-7宁号即片的取值意国 黑题应用提优 d 1c解插：因为8=20-1m=2(-)广罗即=次两数 是(7.)放选D 8.ABD解析：由S>5,得S-S,=a5+。+a,+g=2(0%+a,)<0,所以 8=2-1的对你轴为直线a=.且开日向上，而aeN”,于是当 6ta,<0,则S12= 12(a1+az） =6(4%+1)<0,A正确：因为S=Sg,所 2 n=4时，S,取得最小值，所以当S。取最小值时，：的值为4.故选C 以5.-5：=04+a6+a1+ng=2(a6+a1)=0.即。+a1=0.因为a1>0,d≠ 四方法总结 0.所以a6>0.a2<0.则d<0.等差数列1a|为递减数列.则S。是S。中 由于等老数列的藏n缓和8=m,少4：兰(，-号 最大的项B正确：若5，>56，则S6-5,<0,即46<0，因为a,>0,d≠0. 则d<0,故a5=a6-d,无法判断a5的正负，故S,=S4+45,不能判 是关于n的二次菌数，当1与d异号时，S,在对称轴或离对轴最 断S,>S,C错误：因为S>S1,所以S,-S1=a1<0,因为a>0,d≠0，所 近的正整数时取最值：当山1与d可号时，S。在n=1时取最值 以d<0,则a=a4+d<0,则S=S:+as<S,D正确，故选ABD. 2.A解析：因为a。+a2=2n1,则数列a.}为等差数列，设等差数列 9.4045解析：设等差数列1a.1的公差为d,由S4=45得41+6d= a,的公差为d,则d=2-a1=-2,所以数列|a,的通项公式为a。= 4(2a1+d),整理得2a1-d=0①.由a2=2a.+1得仙+(2n-1)d= 2[a,+(n-1)d]+1.整理得a1-d=-12.由①2得a1=1.d=2,所以 13+(a-1)x(-2)=15-2a,令0=15-2a≥0，解得a≤5所以当 42m=41+2022d=1+2×2022=4045.赦答案为4045. 1≤m≤7，neN时.an>0,当n≥8.neN°时.a<0.所以数列引a,{中 10.6或712解析：因为15|=1agl,d<0,所以e5>0>ug,所以a5= 前7项的和S,最大故选A. -4.所以5+ag=0,所以a,=0,所以当1≤n≤7时，0.≥0：当m≥8 3.B解析：由已知得a+1=S1-S。=2S1S,第2个等号两边同时除 时，a,<0,所以能够使前n项和S。取得最大值的正整数n的值是6 以及期2即之-2.故数列侵}是以1为 13(a1+a3) 或7.又S:= =13a,=0,且5，=52+a,=0,所以S2= 2 S。Sa+1 5+1S。 -a:>0,所以使前n项和S>0的正整数n的最大值是12. 首项，-2为公卷的等差数列，则=1-2(a-1)=3-2m,所以 11据(0)股（倍}的公差为.期产-7，产-7：2以，又 5.-32m 4.D解析：设。表示给第4个人的钱，由题可知，数列a,是首项为 0-8,故78 -7+2,解得4=1，所以多=-7+6d=-1,故 3,公差为1的等差数列：又a+a,+n,+…+,=100a,放3a(mx $2▣-7. 2 (2)由题意得3=-7+(a-1)=-8,故S.=m2-8m,所以S,-=m2 110,即3号-10，新得a=195故选D 四方法总结 9=()厂因为：eN所当发5时成4取得现 等差数列求和的实际应用的解题步骤： 小值.最小值为-20 ①判断问题中苏及的数列是不是等差数列： 12.解：(1)设数列1a,的公差为d,则a,=a,+(n-1)d=a+a,-d因为 ②者是等差数列，找出首项、公差项数： 1S,+m2是等差数列，所以51+(n+1)2-5。-n2为常数，51+ ③确认问随是求an还是5，： (n+1)2-5。-n2=a1+2m+1=d+a1+2m+1=(d+2)n+1+1,所以 ④选择恰当的公式计算，并转化为实际间题的解 +2▣=0.解得d=-2.即公差为-2. 5.C解析：设公差为d,若d=0,则1+1++1=8，不满足圈 (2)因为=-1.所以4，=-2n+1.可得4n 42 1a33 a.a1(-2m+1)(-2m-1) 意，所以d≠0，则a,=山+(n-1)d=1+(n-1)d.州，1三 a。a。+ -a]所以+ 1「11 a1a303a3 +1=（ 1,11 压轴桃战 解：(1)Sn=(a,+a2)+(a,+g4)+(a5+a6)++(ao+am)=1+5+9++ )放()解得4=3.n=1+93=28故 37.1+37)×10.190. 2 选C. (2)a1=-2,a1ta2=1a2=3,an+an1=2n-1①，a+2tn+1=2n+12②. 6.A解析：设此数列为1a,则a1=3,a-a1=1.a-=2,…,a。 ②-①，得a2-4。=2,61-6,=2-2=2b1=1=3,.数列 4-1=n-1(n≥2).所以an=(a。-a-1)+(a-1--2)++(a2-1)+16,是以3为首项，公差为2的等差数列，bn=2n+l. 参考答案黑白题07 (3)T.=3+2a0=r+2nA<+2+2.a++1-n+1+31 2 n+1 n+1 n+I' 所以之aaad,即d-=空ba因为a+1>0 ”n+1+31≥231当且仅当加+/新 中即n=V3-1时取等号. 恒成立.所以d>0.故等差数列1a,为递增数列，A正确：则8a1+ 2e12a+6,即a,-.故aa-1d-9(a-1 19 ,n∈N”,当i=4时，n+1+ 3156 3167 +15 ,当m=5时，+1+ +16心n+ 1+3 6 7 (-)由A选项知4>0，故(0-)<0, n+1 6A6 (山引)b0,所以S>5放5。为3的最小值B错误： §2阶段综合 =,) =-19M》4--20因为keN°，放当=20 黑题 阶设强化 2 2 2 2 1.C解析：设等差数列an的公差为d,因为a,+6=16,且a5-a3=4, 时.54=0，所以存在正整数k,使得S=0,C正确5。=”)2Sn= 所以0+o。=2a,+7d=16 所以故选C （a5-a1=2d=4. d=2. 9m,60mh,令m-20m4=9m60m4,因为meN°，解得m=5,放存 2 2 2 2.BD解析：设等差数列14.的公差为d 在正整数m,使得5=S,D正确故选ACD, 对于A,a1-=(a+t-a,)(a+a1)=d(a.++1)≠常数，心 不是等差数列： 10.18解折：由S=7(a,+n0+04),所以21(a, 2 -=7(a3+a1ot 对于B,:a+-a。=d,a-1一为常数列.a+1-a为等差 a).3a,=a5+00+a4,即3aH=+a1+g,即2011=a+a4,由等 数列： 差数列下标和性质可得k=18放答案为18. 对于C.[2a1+(n+1)2]-(2a,+n2)=2d+2m+1..2a,+n2不是等 11.32m-1解析：数列1a,的前n项和5S满足45.=(a.+1)2,则当 差数列： n=1时.4a1=(a1+1)2,解得a1=1,当n≥2时，4a。=4(Sn-5-1)= 对于D.241-2a.=2d,12a.为等差数列.故选BD, (a.+1)2-(a-+1)2,即(a.-1)2-(a。-+1)2=0,整理得(a,+a。-1) 3.C解析：设等差数列1a.的公差为d,由1a,{是递增数列.则d>0, (a,-a1-2)=0.又数列1a.是正项数列，于是得a。-a-1=2,从面 又a16=2as,即ae+3d=2ae,即a13=3d,即a0+3d=3d,得a1e=0, 得数列}a.1是首项为1，公差为2的等差数列，则a1=3,a.=2m-1 则Sw 19x(a,aw）=19u0=0,Sn=5o+an=02=0o+10d=10> 当n=1时满足此通项公式，故a。=2n-1. 2 12,2m-6(答案不唯一)解析：因为等差数列1a.的前n项和为S,= 0.所以当S>0时.k的最小值为20故选C. 4.B解析：因为a+b5=4,a5+bg=8,所以a3+65+5+b=12,即a3+ m一》以宁，(，宁）小若存在最小值且最小值不 2 a5++b,=12,根据等差数列的性质可知丝1+@5+65+b,=2a4+2b,= 等于1，则函数S,对应图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线 12,所以4+b,=6.故选B 5.A解析：由题意可得，-=2，则数列{是以为首项，2为 2-a2d-a3 公差的等差数列，则a2=+2(n-1),由0g=5,故a=a+2(13- ns d以一4一>2，且少0，整理得a,<-d若不存在正整 1)=25.即a1=1(负值含去)，故2=1+2(a-1)=2n-1,故8。= 数，使得S>S+且S1<S2,且S,存在最小值且最小值不等于 √2n-I,则 a.则连续两项取得最小值，令S=S11,即，，)山（4 2 V2m+I-√2n-I atn12n-I+2n+(√2m-I+/2m+I)(2n+1-w2n-1) )a,整理得+d=0,所以=兰>L令=2. 2宁v2-v2可).放8(-i+5- √2n+I-2n-I1 a1=-2d,则有8，=(-3)d,令d=2.则。=2n-6为-一个符合题意 的通项公式 5++√2n-2n-可)=y2n-一l放选入 2 13.19 41 解析：由题意知，6+4=6g+h,=2山。4+a,=24心，+h 6.C解析：由题意可知，每人分得的棉花数量构成公差为17的等差数 11(a1+ai) 列，设等差数列为a,公差为d,前n项和为S,则d=17,5%=996, dg 0,+ag 286 d1+l 2 8×7 S12x11-3.19故答 所以S=8a,+2x17=96,解得a,=65,所以a:=a+d=65+7= b5+b,2b626661+b111(b,+b1)T,4x11-34行° 2 82,所以第2个孩子分得棉花的斤数为82，放选C. 7.B解析：因为S,= 9(a1+ag) 2 =9a5<0,所以a5<0.因为as+e6=a,+ 案为品 ag>0,所以a6>-5>0,所以公差d=a6-5>0,故当n≤5时，an<0,当 14.1)证明(a-(a,-1）=3[(a,-）-(a1-101心a ≥6时，4，>0，所以当a=5时，S。取得最小值，即1S中最小的项 ! 是S.故选B. 号即女分数到么是省项为1 8C解析：数列1a.中，a1=2,=0,且a2=an+2·(-1)“,则当n 为奇数时，2=。-2，当n为偶数时，a+2=a,+2,因此数列au的 公差为的等差数列 奇数项构成首项为2，公差为-2的等差数列，偶数项构成首项为0， 1.2n+2 3 I+5 公碧为2的等差数列，则S阳=16x2416x15x-2+16x016x15x2 (2)解：6=16，=3+330-1n中2+7 2 2 15.(1)证明：月为42=2a1-an+2,所以a2-a1-(an1-a,)= 32.故选C 2a+1-2.+2-2a1+an=2为常数，又a:-a1=3,所以数列1a+1-an 9.ACD解析：设等差数列a。|的公差为d.因为naN时，(n+1)S.< 是公差为2，首项为3的等差数列.所以a+1-0,=3+(n-1)×2=2n+ 5即及.o5m放之c因为8m. 1,当n≥2时，(a.-4-1)+(01-a-2)++(42-a1)=2(n-1)+1+ n 2 2(n-2)+1+…+2×1+1,所以4。-1=n2-1.又a1=1,所以an=n2,义 选择性必修第二册·BS黑白题08