第一章 2 等差数列 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

§2阶段综合 黑题 阶段强 限时：50min 1.(2024·河南南阳高二期末)已知等差数列 人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则 {a.}满足a+a6=16,且a5-a3=4,则首项a1= 第2个孩子分得棉花的斤数为 ( A.48 B.65 C.82 D.99 A.-1 B.0 C.1 D.3 7.(2024·天津和平区高二期末)若{an}是等差 2.(多选)若{a}是等差数列，则下列数列为等 数列，S.表示{an}的前n项和，a+ag>0,S< 差数列的是 ( 0,则{Sn}中最小的项是 A. B.ant1-an A.S B.Ss C.S D.S3 C.2a,+n2) D.2a, 8.(2024·江西南昌高二月考)已知数列1a,}, 3.(2024·安徽滁州高二月考)已知等差数列 a1=2,a2=0,且an+2=an+2·(-1)”,则数列 {an}是递增数列，其前n项和为Sn,且满足 {an}的前32项之和为 ( a16=2a3,当S>0时，实数k的最小值为 A.128 B.64 C.32 D.16 9.(多选)(2024·浙江温州高二月考)设等差数 ( 列{an}的前n项和为Sn,若Sg=S2,且(n+ A.10 B.11 C.20 D.21 4.(2024·四川南充高二期中)已知数列{a}与 1)Sn<nSt(neN),则 A.数列{an}为递增数列 {bn}均为等差数列，且a3+b=4,a5+b。=8,则 B.So和Su均为Sn的最小值 a4+b,= ( C.存在正整数k,使得S=0 A.5 B.6 C.7 D.8 D.存在正整数m,使得Sn=S 5.(2024·安微毫州高二期中)定义“等方差数 10.(2024·四川成都高二期中)设S,是公差不 列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平 为0的等差数列{a.}的前n项和，若S21= 方与它的前一项的平方的差都等于同一个常 7(a5+aota),则k= 数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常 11.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足4S。= 数叫作该数列的方公差.设数列{a,}是由正 (an+1)2,则a2= ,an= 数组成的等方差数列，且方公差为2，a13=5, 12.设数列{an}的前n项和为S.,写出一个同时 则数列 的前n项和Sn= 满足条件①②的等差数列{a,}的通项公式 1+0+1 an= √2n+1-1 B. √2n-1-1 A. ①S,存在最小值且最小值不等于a1； 2 2 ②不存在正整数k,使得S>S+1且S1<S+2 C.√2n+1-1 D.√2n-1-1 13.(2024·安徽安庆高二期中)设等差数列 6.(2024·河南驻马店高二月考)《算法统宗》中 an},{b.}的前n项和分别为S。,T.,若对任 说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每 人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第， 意正整数n都有》=3，则+ b4+bs 孝和休惹外人传.意思是：有996斤棉花要给 8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每 bs+b7 选择性必修第二册·BS黑白题14 14.已知数列{a.}满足(a.1-1)(an-1)=3(a,-压轴挑战 a4）,a=2,令b.a- (2024·重庆八中高二月考)已知{a}是各项 均为正数的等差数列，其前n项和为S。,满足 (1)证明：数列{bn}是等差数列： (2)求数列{a,}的通项公式 a2=2Sn-an对任意的neN'成立. (1)求{a.}的通项公式： 2an-3,n为奇数， (2)令bn= 记T.为数列{b, 4a+6,n为偶数。 的前n项和.证明：当n>5时，T.>2Sn+3a. 15.(2024·云南昆明高二月考)已知数列{am} 满足：a1=1,a2=4,a2=2an1-an+2. (1)证明：{a1-an}是等差数列，并求{a. 的通项公式； （2)设么，，会若数列6，是道增数列，求 实数k的取值范围。 第一章黑白题15(3)T.=3+2a0=r+2nA<+2+2.a++1-n+1+31 2 n+1 n+1 n+I' 所以之aaad,即d-=空ba因为a+1>0 ”n+1+31≥231当且仅当加+/新 中即n=V3-1时取等号. 恒成立.所以d>0.故等差数列1a,为递增数列，A正确：则8a1+ 2e12a+6,即a,-.故aa-1d-9(a-1 19 ,n∈N”,当i=4时，n+1+ 3156 3167 +15 ,当m=5时，+1+ +16心n+ 1+3 6 7 (-)由A选项知4>0，故(0-)<0, n+1 6A6 (山引)b0,所以S>5放5。为3的最小值B错误： §2阶段综合 =,) =-19M》4--20因为keN°，放当=20 黑题 阶设强化 2 2 2 2 1.C解析：设等差数列an的公差为d,因为a,+6=16,且a5-a3=4, 时.54=0，所以存在正整数k,使得S=0,C正确5。=”)2Sn= 所以0+o。=2a,+7d=16 所以故选C （a5-a1=2d=4. d=2. 9m,60mh,令m-20m4=9m60m4,因为meN°，解得m=5,放存 2 2 2 2.BD解析：设等差数列14.的公差为d 在正整数m,使得5=S,D正确故选ACD, 对于A,a1-=(a+t-a,)(a+a1)=d(a.++1)≠常数，心 不是等差数列： 10.18解折：由S=7(a,+n0+04),所以21(a, 2 -=7(a3+a1ot 对于B,:a+-a。=d,a-1一为常数列.a+1-a为等差 a).3a,=a5+00+a4,即3aH=+a1+g,即2011=a+a4,由等 数列： 差数列下标和性质可得k=18放答案为18. 对于C.[2a1+(n+1)2]-(2a,+n2)=2d+2m+1..2a,+n2不是等 11.32m-1解析：数列1a,的前n项和5S满足45.=(a.+1)2,则当 差数列： n=1时.4a1=(a1+1)2,解得a1=1,当n≥2时，4a。=4(Sn-5-1)= 对于D.241-2a.=2d,12a.为等差数列.故选BD, (a.+1)2-(a-+1)2,即(a.-1)2-(a。-+1)2=0,整理得(a,+a。-1) 3.C解析：设等差数列1a.的公差为d,由1a,{是递增数列.则d>0, (a,-a1-2)=0.又数列1a.是正项数列，于是得a。-a-1=2,从面 又a16=2as,即ae+3d=2ae,即a13=3d,即a0+3d=3d,得a1e=0, 得数列}a.1是首项为1，公差为2的等差数列，则a1=3,a.=2m-1 则Sw 19x(a,aw）=19u0=0,Sn=5o+an=02=0o+10d=10> 当n=1时满足此通项公式，故a。=2n-1. 2 12,2m-6(答案不唯一)解析：因为等差数列1a.的前n项和为S,= 0.所以当S>0时.k的最小值为20故选C. 4.B解析：因为a+b5=4,a5+bg=8,所以a3+65+5+b=12,即a3+ m一》以宁，(，宁）小若存在最小值且最小值不 2 a5++b,=12,根据等差数列的性质可知丝1+@5+65+b,=2a4+2b,= 等于1，则函数S,对应图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线 12,所以4+b,=6.故选B 5.A解析：由题意可得，-=2，则数列{是以为首项，2为 2-a2d-a3 公差的等差数列，则a2=+2(n-1),由0g=5,故a=a+2(13- ns d以一4一>2，且少0，整理得a,<-d若不存在正整 1)=25.即a1=1(负值含去)，故2=1+2(a-1)=2n-1,故8。= 数，使得S>S+且S1<S2,且S,存在最小值且最小值不等于 √2n-I,则 a.则连续两项取得最小值，令S=S11,即，，)山（4 2 V2m+I-√2n-I atn12n-I+2n+(√2m-I+/2m+I)(2n+1-w2n-1) )a,整理得+d=0,所以=兰>L令=2. 2宁v2-v2可).放8(-i+5- √2n+I-2n-I1 a1=-2d,则有8，=(-3)d,令d=2.则。=2n-6为-一个符合题意 的通项公式 5++√2n-2n-可)=y2n-一l放选入 2 13.19 41 解析：由题意知，6+4=6g+h,=2山。4+a,=24心，+h 6.C解析：由题意可知，每人分得的棉花数量构成公差为17的等差数 11(a1+ai) 列，设等差数列为a,公差为d,前n项和为S,则d=17,5%=996, dg 0,+ag 286 d1+l 2 8×7 S12x11-3.19故答 所以S=8a,+2x17=96,解得a,=65,所以a:=a+d=65+7= b5+b,2b626661+b111(b,+b1)T,4x11-34行° 2 82,所以第2个孩子分得棉花的斤数为82，放选C. 7.B解析：因为S,= 9(a1+ag) 2 =9a5<0,所以a5<0.因为as+e6=a,+ 案为品 ag>0,所以a6>-5>0,所以公差d=a6-5>0,故当n≤5时，an<0,当 14.1)证明(a-(a,-1）=3[(a,-）-(a1-101心a ≥6时，4，>0，所以当a=5时，S。取得最小值，即1S中最小的项 ! 是S.故选B. 号即女分数到么是省项为1 8C解析：数列1a.中，a1=2,=0,且a2=an+2·(-1)“,则当n 为奇数时，2=。-2，当n为偶数时，a+2=a,+2,因此数列au的 公差为的等差数列 奇数项构成首项为2，公差为-2的等差数列，偶数项构成首项为0， 1.2n+2 3 I+5 公碧为2的等差数列，则S阳=16x2416x15x-2+16x016x15x2 (2)解：6=16，=3+330-1n中2+7 2 2 15.(1)证明：月为42=2a1-an+2,所以a2-a1-(an1-a,)= 32.故选C 2a+1-2.+2-2a1+an=2为常数，又a:-a1=3,所以数列1a+1-an 9.ACD解析：设等差数列a。|的公差为d.因为naN时，(n+1)S.< 是公差为2，首项为3的等差数列.所以a+1-0,=3+(n-1)×2=2n+ 5即及.o5m放之c因为8m. 1,当n≥2时，(a.-4-1)+(01-a-2)++(42-a1)=2(n-1)+1+ n 2 2(n-2)+1+…+2×1+1,所以4。-1=n2-1.又a1=1,所以an=n2,义 选择性必修第二册·BS黑白题08 n=1时，满足a,=n2,所以数列4n的通项公式为4，=2 ;4.C解析：由于3，x,27成等比数列，所以x2=3×27=81.解得x=9或 (2②)解：由)知么=+合.因为数列6，是递增数列，所以 -9.故选C. 5.AD解析：对于A,a3=a1·q2,m1·5=a·g,a=a,·a5,故A正 k k 确：对于B,=(a1·g2)子≠m·g=42·6,故B错误：对于， (a1·g)2≠a·g=2·g,故C错误：对于D,后=(a1·g)产= n∈N“恒成立.得到<(n+1)己m2对neN恒成立，所以k<4. a·g=a3·g,故D正确故迹AD 压轴挑战 四方法总结 (1)解：当n=1时，a=2a1-a1,解得a1=1或0，a,是各项均为正数 等比数列中的设项技巧： 的等差数列，故a1=1,a2=25。a,①.当n≥2时，a2-,=25-1-ar1②. 英语设出等比数列中的项，可起到筒化计算、，降低计算量的作用， 则①-②，得ai-a21=2(S,-5-1)-a,+a-1=an+a-4,故(a+-1)· 见的设项方法有： (a。-a1-1)=0,因为a.>0,所以an+a->0,则an-4w-1=1,则an的 公差为1，则a。=1+(n-1)=4,经检验，41=1满足要求，故通项公式为 (1)若连续n个数减等北数列，通常设为a,a叫，叫，g,…,公比为4 住。=在 (2)若连线奇数个数成等比数列，可设为…， a,0g2… =at0.=拉1m,25,+3a,=2+n+3n=2+4n,6。=习 (2)证明：S。= 2 公此为 (2n-3,m=2-1.keN·当n为偶数时，，=b,+++b,=(6+b+ (3)若连续偶数个正数（或负敏）成等比数列，可设为，只，a 4n+6,n=2h,k∈N°， +h-1)+(b2+b4+…+bn)=-1+3+…+2n-5+14+22+…+4n+6= 四，g,…,公比为g2 之12-)之4070当≥6且为偶数时 6.A解析：因为a2,45,成等比数列.所以a=a2a,因为等差数列 2 2 18.1的首项为1，公差为d,所以(1+2)2=(1+d)(1+5d),即2+2d=0. (2线+3)=3n+7a 7-(4)="0,放7>2S+3当为奇数 解得d=0或d=-2故选A 时，=74b43a+247mDda+D-6e245-10,当≥ 7.B解析：不妨设插人的两个正数为a.b,即3.a.6,9.3,4,b成等比 2 2 数列，则=36：a,6.9成等差数列，则a+9=26,即036，解得 n+9=2b. 7且n为奇数时，T。-(25.+3a) 3n2+5a-10-(2+4nj.2-3n-10 2 9 （}厂号0综上当5时>2 或。（舍去则6-、 27 b= 4 §3 等比数列 8.A解析：由an是等比数列，又2+=2，a5+a6=-16,则a19+ a192=2.a19+a=-16.则1g(1+g)=2,a19(1+g)=-16.可得 3.1等比数列的概念及其通项公式 g3=-8.即=-2.故选A. 白题 基础过关 9.B解析：设等比数列1a,的公比为g.因为数列1a,}为正项等比数 1.C解析：由等比数列的定义知①2④都是等比数列.当：=0时，③不 列，所以q>0由4=1,45：=81→g·49=g=81,所以2=3，所 是等比数列故选C 以06=ag=3 2.B解析：对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确： 10.B解析：由概意知，对于ann=ana,取m=1.可得a1=a1a。,即 对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确：对于③，若一个 常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数 =a1,所以数列a是首项为a1,公比为4，的等比数列，所以 列的公比为1.所以③正确，因此.正确的说法只有1个.故选B a,=a叶，则6==8，得=2w2,所以，==(22)3=65. 3.ABC 解析：设数列1山，是公比为9的等比数列，则二=9，对于 0a-1 11.AD解析：因为(a1-a。-1)(at-3a,)=0(neN”）,所以a1 1a.1 0.=1或a1=3a 选项A,因为ag,所以数列，川为等比数列，故A正确：对 当a1-a=1时，a。是公差为1的等差数列.此时a1=a4-3d▣9 于选项B,因为，=，所以数列a,41为等比数列，故B正确： 36:当a1=3血，时，口是公比为3的等比数列，此时4= 4a-14a 对于选项C.因为可，所以数列引为等比数列，故C正确：对 子兮放首项。可能是6攻宁放法加 于选项D,若等比数列a,1公比q=-1,则=-，即a,+01=0,此 12.3 927y,解得 解析：设等比数列的公比为g,则=a1g,即 时数列|，+口1不是等比数列，故D错误，故选ABC 9=±了，又4=<0，所以0，所以q=号故答案为 1 四方法总结 判定一个数列为等比数列的常见方法： 1这8解析：树为=0，所会兮所以数列a是等比数 ①定义法：若”=g(g是不为零的常致)，别戴列1口，是等比戴列. 列，，=a×3 ,又因为01>0，所以数列4。是递减数列.故 ②等比中项法：若21=a,a+2(neN,≠0)，则数列{an是等 选B 比数列. 14.C解析：等比数列11是递减数列，a。<a,即a19广< 3通项公式法：若a。=a(a1,9是不为零的常数)，划数列10. 012.a1d-2(1)<0(n≥2，neN）1>0,0<g<1或a1<0. 是等比数列 9>1.故选C 15.C 解析：因为a。|是各项均为正数的等比数列，所以2“6= 参考答案黑白题09