检测04 《不等式性质与基本不等式》单元检测B卷-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

《不等式性质与基本不等式》单元检测B卷 （限时120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【详解】由基本不等式可得，整理得，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为8.故选：D 2．若正数满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为正数，，（当且仅当，即，时取等号），即的最小值为.故选：A. 3．某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 【答案】C 【详解】设米,，则种植花卉区域的面积． 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，即当米，米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,故选：C 4．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】因为，则，即，所以，令，则，， 所以，当且仅当，即，，时，等号成立，故的最小值为.故选：B. 5．设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且，所以，所以. 当且仅当，即，或时取等号.故选：D 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为所以,所以,所以是的充分条件； 当,不能满足,所以是的不必要条件.故选：A. 7．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2， B．的最小值为4， C．的最小值为 D．的最大值为1， 【答案】D 【详解】对于A，由基本不等式的性质可知，当时，，当且仅当时等号成立，所以当且仅在处取得最小值2，由于，故无最小值，故A错误；对于B，由基本不等式的性质可知，则当且仅当时等号成立，但，，则等号不成立，故B错误；对于C，当时，取得最小值1，而非，故C错误；对于D，，当且仅当时，取得最大值1，故D正确.故选：D. 8．已知，均为正数，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】，均为正数，因为，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为5.故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中为假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A, 若，则 ，又，所以，故A为真命题， 对于B，若，比如，则此时，故B为假命题， 对于C，若，则，故C为假命题， 对于D, 若，而，则，故D为假命题， 故选：BCD 10．设，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为4 【答案】BD 【详解】由，得：，当且仅当时，等号成立，故A不正确. ，当且仅当时，等号成立，故B正确. ，即，故C不正确. ，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 11．某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案（如下表格），其中. 方案 第一次提价（%） 第二次提价（%） 甲 乙 丙 则两次提价后价格关系正确的为（    ） A．甲等于乙 B．甲等于丙 C．甲小于丙 D．乙大于丙 【答案】AC 【详解】设商品原价为1，甲：经两次提价后变为：；乙：经两次提价后变为：； 则两次提交后甲乙价格相等；丙：经两次提价后变为：．因为，所以，则，所以经两次提价后，甲乙相同，只有丙方案两次提价后价格最高． 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的最小值是 . 【答案】 【详解】由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以函数的最小值是.故答案为：. 13．若，则的最大值是 . 【答案】 【详解】由得，，，因为，，所以利用基本不等式可得，整理得，即，即，当且仅当即时，等号成立，所以.故当时，的最大值为. 14．两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元，则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为，所以，即，所以乙种购物策略比较经济.故答案为：乙. 四、解答题（5小题共77分） 15．（本题满分13分）已知，求的最小值 【答案】6 【详解】当时，，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6. 16．（本题满分15分）已知．(1)求证：；(2)求证：． 【详解】（1）， 所以，证毕. （2）， 因为，所以，又因为，所以， 所以. 17．（本题满分15分）已知正实数满足：.(1)求的最大值；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 【详解】（1）因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； （2）正实数满足：，则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. （3）正实数满足：，则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为. 18．（本题满分16分）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】设矩形平行于墙面的一边长为m，，与之相邻的邻边长为m， 则菜园的面积为，，所以， 当且仅当，即时，菜园面积最大，最大面积为. 19．（本题满分18分）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 【详解】（1）根据题意，矩形海报纸面积为， 所以， 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以四个宣传栏的总面积， 其中所以.即. （2）由（1）知，则 ，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 即,时，可使用宣传栏总面积最大为. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《不等式性质与基本不等式》单元检测B卷 （限时120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．8 2．若正数满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 4．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．15 5．设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2， B．的最小值为4， C．的最小值为 D．的最大值为1， 8．已知，均为正数，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中为假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．设，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为4 11．某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案（如下表格），其中. 方案 第一次提价（%） 第二次提价（%） 甲 乙 丙 则两次提价后价格关系正确的为（    ） A．甲等于乙 B．甲等于丙 C．甲小于丙 D．乙大于丙 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的最小值是 . 13．若，则的最大值是 . 14．两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 四、解答题（5小题共77分） 15．（本题满分13分）已知，求的最小值 16．（本题满分15分）已知．(1)求证：；(2)求证：． 17．（本题满分15分）已知正实数满足：.(1)求的最大值；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 18．（本题满分16分）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 19．（本题满分18分）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$