检测03 《不等式性质与基本不等式》单元检测A卷-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

《不等式性质与基本不等式》单元检测A卷 （限时120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为实数a，b满足，所以，所以，故选项A错误； 当时，满足，但是，不满足，故选项B错误； 当时，满足，但是，不满足，故选项C错误； ，即，故选项D正确. 故选：D 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于选项A：例如，满足，但，即，故选项A为假命题； 对于选项B：若，则，所以，故选项B为真命题； 对于选项C：例如，满足，但，故选项C为假命题； 对于选项A：例如，满足，但，即，故选项D为假命题. 故选：B. 3．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误；对B，当时，故B错误；对C，，因为，故，故，故，故C错误；对D，，因为，故，故，即，故D正确.故选：D 4．已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B． 5．已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：D 6．已知且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立.故选：C. 7．若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【详解】因为正实数，满足，则有：对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确；对B，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以有最小值4，B正确；对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误；对D，因为，当且仅当时，等号成立，所以，D正确；故选：C. 8．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】设，则且，解得.所以，因为，所以，，当时取等号，即且，解得.故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知a，b,m都是负数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为a，b都是负数，且，所以.对于A：，则，故A错误；对于B：，则，故B正确；对于C：，则，故C错误；对于D：，则，故D正确.故选：BD. 10．已知，且，则（    ） A． B． C．无最小值，只有最大值为4 D．的最小值为12 【答案】ACD 【详解】由，则，又，即，同理，A对；由，且，显然时，B错；由上分析知：且，结合的单调性知：，C对；由，当且仅当时等号成立，D对.故选：ACD 11．已知，则下列命题正确的是（    ） A．且，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】AD 【详解】对于A，若且，则，，故A正确， 对于B，若，则，故B错误， 对于C，，而，则，，故，，故C错误， 对于D，，而，则，，故，，故D正确， 故选：AD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若正数，满足，则的最小值是___________. 【答案】 【详解】由，得，得，则，所以，得，得，当且仅当时取等号，所以的最小值是.故答案为1. 13．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当时取最小值，则的最小值为.故答案为：. 14．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由，可得，因为，可得，， 当时，即时，等号成立.所以的最小值为.故答案为： 四、解答题（5小题共77分） 15．（本题满分13分）比较下列两组代数式的大小. (1)与；(2)与. 【详解】（1）∵， ∴. （2）∵， ∴. 16．（本题满分15分）甲、乙同学分别解“已知，若，求的最小值”的过程如下： 甲：由基本不等式得，因为，故有，即有，又，故； 乙：因为，有，. 请判断甲、乙同学的解法哪个正确，并选用合适的方法求解下题： 已知，，若 求的最小值. 【详解】甲同学使用了两次基本不等式，第一次等号成立的条件是，第二次等号成立条件是，故甲同学的方法错误； 乙同学的方法巧妙使用了1的作用，且只使用了一次基本不等式，故方法正确，选择乙同学的方法， 因为，所以，故 当且仅当时，即时取等号. 综上的最小值. 17．（本题满分15分） （1）当时，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值． 【详解】（1）由可得，所以， 当且仅当时取等号；所以的最小值为5． （2）根据题意，且， 则 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 18．（本题满分16分）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖也全部溶解了，此时糖水变甜。请将这一事实表示为一个关于不等式的命题，并证明之. 【详解】命题为：若，，则，证明如下： ， ，，则，， ，得证. 19．（本题满分18分）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中.(1)求关于的函数，并写出的取值范围；(2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 【详解】（1）依题意，，整理得， 由，得，解得， 所以关于的函数. （2）由（1）知，，， 因此广告牌的周长， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以广告牌的长、宽分别为米、米时，广告牌的周长最小. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《不等式性质与基本不等式》单元检测A卷 （限时120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 5．已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 7．若正实数，满足，则下列说法错误的是（ ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 8．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知a，b,m都是负数，且，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，且，则（    ） A． B． C．无最小值，只有最大值为4 D．的最小值为12 11．已知，则下列命题正确的是（    ） A．且，则 B．，则 C．，则 D．，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若正数，满足，则的最小值是___________. 13．已知，则的最小值为 . 14．已知，，且，则的最小值为 . 四、解答题（5小题共77分） 15．（本题满分13分）比较下列两组代数式的大小. (1)与；(2)与. 16．（本题满分15分）甲、乙同学分别解“已知，若，求的最小值”的过程如下： 甲：由基本不等式得，因为，故有，即有，又，故； 乙：因为，有，. 请判断甲、乙同学的解法哪个正确，并选用合适的方法求解下题： 已知，，若 求的最小值. 17．（本题满分15分）（1）当时，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值． 18．（本题满分16分）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖也全部溶解了，此时糖水变甜。请将这一事实表示为一个关于不等式的命题，并证明之. 19．（本题满分18分）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中.(1)求关于的函数，并写出的取值范围；(2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$