2025年九年级中考数学二轮复习专题突破课件：专题七 二次函数与几何图形的综合题

专题七　二次函数与几何图形的综合题 类型一 与线段有关的问题(南充2024.25；巴中2024.25；凉山州2024.28，2023.28，2022.28；泸州2023.25；绵阳2023.25；巴中2023.25，2022.25；内江2023.28) 夺 冠 技 法 基本图形1 基本结论 MN＝|yM－yN| EF＝|xE－xF| AB＝ 基本图形2 基本结论 MP＝yM－yP，当不确定点M是否在直线DE的上方的抛物线上时，MP＝|yM－yP| PQ＝xP－xQ，当不确定点P是否在点Q的右侧时，PQ＝|xP－xQ| MN＝MP·cos∠PMN ＝MP·cos∠BOE ＝|yM－yP|·cos∠BOE 例1 如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，连接BC． (1)求此抛物线的函数解析式与直线BC的函数解析式； 图① ☞ 解题思路 利用待定系数法即可求解． 【解答】将点A(－1，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋2x＋c(a≠0)中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3． 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)． 设直线BC的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0)．将点B(3，0)， C(0，3)代入， 得解得∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3． (2)如图②，P是抛物线的对称轴上任意一点，求PA＋PC的最小值； 图② 第一步：由P是抛物线的对称轴上任意一点，可得PA＝PB； 第二步：要求PA＋PC的最小值，即求PB＋PC的最小值，当B，P，C三点共线时，PB＋PC最小，即为BC的长，进一步求BC的长即可求解． ☞ 解题思路 【解答】∵P是抛物线的对称轴上任意一点， ∴PA＝PB，∴PA＋PC＝PB＋PC． 要求PA＋PC的最小值，即求PB＋PC的最小值． 当B，P，C三点共线时，PB＋PC最小，即为BC的长． ∵B(3，0)，C(0，3)，∴BC＝＝3， ∴PA＋PC的最小值为3． (3)如图③，在直线BC上方的抛物线上有一点N，过点N作NG∥y轴，交BC于点M，交x轴于点G，当线段MN的长度最大时，求点N的坐标，并求线段MN长度的最大值； 图③ 第一步：设点N的坐标，表示出点M的坐标及线段MN的长； 第二步：由二次函数的性质可得MN的最大值以及此时点N的坐标． ☞ 解题思路 【解答】设点N的坐标为(n，－n2＋2n＋3)，其中0＜n＜3，则M(n，－n＋3)， ∴MN＝－n2＋2n＋3＋n－3＝－n2＋3n＝－． ∵－1＜0， ∴当n＝时，MN的长度最大，最大为，此时点N的坐标为， ∴当线段MN的长度最大时，点N的坐标为，线段MN长度的最大值为． (4)如图④，在(3)的条件下，过点N作NH⊥BC于点H，求△MNH周长的最大值； 图④ 第一步：由点B，C的坐标可知∠CBO的度数，进而可得∠MNH的度数； 第二步：由(3)得MN的最大值，结合∠MNH的度数，利用三角函数即可求解． ☞ 解题思路 【解答】∵B(3，0)，C(0，3)， ∴∠CBO＝45°． ∵NG∥y轴，∴NG⊥x轴， ∴∠BMG＝45°＝∠HMN． ∵NH⊥BC，∴∠MNH＝45°． 由(3)可得MN最大＝， ∴MH最大＝NH最大＝MN最大＝， ∴△MNH周长的最大值为×2＋． (5)如图⑤，J是线段BC上的一个动点，且JQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当BJ＋JQ取得最大值时，求点J的坐标． 图⑤ ☞ 解题思路 第一步：设点J的坐标，即可表示出点Q的坐标； 第二步：表示出BJ＋JQ的长，通过二次函数的性质即可求解． 【解答】设J(j，－j＋3)，其中0＜j＜3，则Q(j，－j2＋2j＋3)． ∵B(3，0)， ∴BJ＋JQ＝(3－j)－j2＋2j＋3＋j－3＝－j2＋(3－)j＋3． ∵－1＜0，∴当j＝－时，BJ＋JQ取得最大值，此时点J的坐标为． 类型二 与面积有关的问题(绵阳2024.25，2023.25；巴中2024.25，2022.25；凉山州2024.28；泸州2023.25，2022.25；内江2022.28) 夺 冠 技 法 基本方法 基本图形 基本结论 铅垂法 过点C作x轴的垂线，与AB交于点D S△ABC＝CD·|xA－xB| ＝|yC－yD|·|xA－xB| 过点C作y轴的垂线，与AB的延长线交于点E S△ABC＝CE·|yA－yB| ＝|xC－xE|·|yA－yB| 基本方法 基本图形 基本结论 割补法 分别过点A，C作x轴的垂线，分别过点B，D作y轴的垂线，围成矩形EFGH S四边形ABCD＝S矩形EFGH－S△AEB－S△BFC－S△CGD－S△DHA 分别过点A，B，C作x轴的垂线，与经过点D且垂直于y轴的直线分别相交于点M，P，N S四边形ABCD＝S梯形ABPM＋S梯形BCNP－S△CND－S△AMD 等积变换法 过点B作AC的平行线，与x轴交于点M，连接CM S△ABC＝S△ACM 例2 如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C(0，4)，P为抛物线上位于第一象限内的一点． (1)求抛物线的函数解析式； 图① ☞ 解题思路 第一步：将点A，C的坐标代入抛物线的函数解析式中； 第二步：通过列方程组解出a，c的值，即可得到抛物线的函数解析式． 【解答】将点A(－1，0)，C(0，4)代入y＝ax2＋x＋c(a≠0)， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋4． (2)连接AC，CP，PB，求四边形ABPC面积的最大值及此时点P的坐标； 图① 第一步：连接BC，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q； 第二步：得出直线BC的函数解析式； 第三步：设点P的坐标，用含t的式子表示出四边形ABPC的面积，利用二次函数的性质求面积的最大值及此时点P的坐标． ☞ 解题思路 【解答】如答图①，连接BC，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q． 令y＝0，得0＝－x2＋x＋4，解得x1＝－1，x2＝3， ∴B(3，0)． ∵C(0，4)，∴易得直线BC的函数解析式为y＝－x＋4． 设P，则Q，其中0＜t＜3， ∴S四边形ABPC＝S△BPC＋S△ABC＝PQ·|xB－xC|＋AB·OC＝－2t2＋6t＋8＝－2(t－)2＋．∵－2＜0， ∴当t＝时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为． 答图① (3)如图②，连接BC，过点A作直线AK∥BC交y轴于点K，连接PA，PK，PK与BC交于点Q，连接AQ，求△PAQ面积的最大值． 图② ☞ 解题思路 第一步：过点P作PE∥y轴交直线AK于点E，连接BK； 第二步：求出点K的坐标，然后设出点P的坐标，将△PAQ的面积转化为△AKP与△AKB的面积之差； 第三步：利用二次函数的性质求出面积的最大值． 【解答】如答图②，过点P作PE∥y轴交直线AK于点E，连接BK． 由(2)可得直线BC的函数解析式为y＝－x＋4． ∵BC∥AK，A(－1，0)， ∴直线AK的函数解析式为y＝－x－， ∴K．设P(s，－s2＋s＋4)， 则E(s，－s－)，其中0＜s＜3，   答图② ∴S△PAQ＝S△AKP－S△AKQ＝S△AKP－S△AKB＝PE·|xA－xK|－AB·|yK|＝－s2＋2s＝－． ∵－＜0，∴当s＝时，△PAQ的面积最大，最大值为． 答图② 类型三 与角度有关的问题(绵阳2024.25，2022.24；南充2022.25) 夺 冠 技 法 角度相关的探究题一般分为探究特殊角度或两个角相等． 探究特殊角度：①45°角→构造三垂直全等．②30°角或60°角→构造三垂直． 探究两个角相等：①根据题意画出对应的角，注意画角需要分类讨论，顺时针与逆时针两种情况．②根据已知角的数据分为两种类型：第一种，已知锐角三角函数值，可直接作垂直构造直角三角形，用锐角三角函数列方程；第二种，根据所画的图，分析图中角之间的关系，将所求角转化为其他的等角，再用锐角三角函数或相似等列方程． (2024·泸州模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D(3，4)在抛物线上，P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数解析式； 例3 【解答】∵点B(4，0)，D(3，4)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上， ∴解得 ∴该抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4． 利用待定系数法求解即可． ☞ 解题思路 (2)如图①，连接OD，OP，若OP平分∠COD，求点P的坐标； 图① 第一步：过点P作PE∥y轴，交OD于点Q，交x轴于点E； 第二步：设点P的坐标，表示出点Q，E的坐标，由PQ＝OQ，列方程求解即可． ☞ 解题思路 【解答】如答图①，过点P作PE∥y轴，交OD于点Q，交x轴于点E． ∵PE∥y轴，∴∠OPQ＝∠POC． ∵OP平分∠COD，∴∠POC＝∠POQ， ∴∠OPQ＝∠POQ， ∴PQ＝OQ． 设直线OD的函数解析式为y＝kx(k≠0)， 将点D(3，4)代入，得k＝， ∴直线OD的函数解析式为y＝x． 答图① 设P(t，－t2＋3t＋4)，其中0＜t＜3，则Q，E(t，0)， ∴PQ＝－t2＋3t＋4－t＝－t2＋t＋4． ∵在Rt△OEQ中，OE＝t，EQ＝t， ∴由勾股定理得OQ＝t， ∴t＝－t2＋t＋4，解得t1＝2，t2＝－2(舍去)， ∴－t2＋3t＋4＝－4＋6＋4＝6，∴点P的坐标为(2，6)． 答图① 第一步：将△AOC绕点O顺时针旋转90°至△A'OB，联立直线BA'与抛物线的函数解析式可得一个点P(P1)的坐标； 第二步：过点C作CF∥x轴，过点B作BF∥y轴，CF与BF交于点F，作点A'关于BC的对称点P2，点P2在CF上，作直线BP2，则直线BP2与抛物线的其中一个交点满足条件，求解即可． (3)如图②，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP＋∠ACO＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图② ☞ 解题思路 (3)【解答】存在. 令y＝0，得－x2＋3x＋4＝0， 解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0). 令x＝0，解得y＝4，∴C(0，4)， ∴OB＝OC＝4，∴∠OCB＝∠OBC＝45°. 如答图②，将△AOC绕点O顺时针旋转90°至△A'OB，BA'的延长线交抛物线于点P1，则A'O＝AO＝1，∠ACO＝∠A'BO， ∴A'(0，1)，∠CBP1＋∠ACO＝∠CBP1＋∠A'BO＝45°. 设直线BP1的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0). 将点B(4，0)，A'(0，1)代入，得 解得 ∴直线BP1的函数解析式为y＝－x＋1. 答图② 联立 解得(舍去)， ∴P1，此时使∠CBP1＋∠A'BO＝∠CBP1＋∠ACO＝45°； 过点C作CF∥x轴，过点B作BF∥y轴，CF与BF交于点F，则四边形OBFC为正方形，作点A'关于BC的对称点P2，点P2在CF上，作直线BP2，则直线BP2与抛物线的其中一个交点满足条件. ∵OA'＝1，C(0，4)，∴CA'＝4－1＝3，BF＝OC＝4，∴P2(3，4)与点D重合. ∵点D(3，4)在抛物线上，∴P2(3，4)满足∠CBP2＋∠ACO＝45°. 综上所述，点P的坐标为(3，4)或. 类型四 特殊三角形的存在性问题(成都2023.25；内江2023.25；凉山州2023.28) 夺 冠 技 法 模型 问题情境 问题探究 问题解决 “两圆一线”法：确定“两定一动”型等腰三角形(含等边三角形)存在性问题中的动点坐标 如图，已知点A，B和直线l，在直线l上求作点P，使△PAB为等腰三角形 如图，分别以点A，B为圆心，线段AB的长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和AB的垂直平分线与直线l的交点均为符合条件的点P 利用“两圆一线”法确定符合条件的动点，然后利用点A，B，P的坐标，表示出线段AB，AP，BP的长，由三条线段关系(AB＝AP或AB＝BP或PA＝PB)建立等量关系，从而解决问题． 等量关系可利用：(1)勾股定理建立；(2)方程思想建立 模型 问题情境 问题探究 问题解决 “一圆两线”法：确定“两定一动”型直角三角形存在性问题中的动点坐标 如图，已知点A，B和直线l，在直线l上求作点P，使△PAB为直角三角形 如图，先以AB为直径作圆与直线l相交，再分别过点A，B作线段AB的垂线，垂线和圆与直线l的交点均为所求的点P 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长，根据图形特殊性分别建立等量关系． 等量关系可利用：(1)勾股定理：AB2＝AP2＋BP2或AP2＝AB2＋BP2或BP2＝AB2＋AP2；(2)作垂线，构造一线三垂直相似建立等量关系 例4 如图①，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N． (1)若抛物线经过点(2，3)，求抛物线的函数解析式． 图① 将点(2，3)代入y＝ax2－2ax－3a中，求出a即可得解． ☞ 解题思路 【解答】将点(2，3)代入y＝ax2－2ax－3a， 得4a－4a－3a＝3， 解得a＝－1， ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3． (2)P是抛物线对称轴上一动点． ①如图②，当点P在x轴上方，且△POB为等腰三角形时，求点P的坐标； 图② ☞ 解题思路 第一步：令y＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标及抛物线的对称轴，得到OB，ON，BN的长及点P的横坐标； 第二步：当△POB为等腰三角形时，分OP＝OB，BP＝OB两种情况讨论即可． 【解答】令y＝0，即ax2－2ax－3a＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，OB＝3，ON＝1， ∴点P的横坐标为1，BN＝2． 若△POB为等腰三角形，则易知分两种情况： 当OP＝OB＝3时，△POB为等腰三角形， 在Rt△PON中，PN＝＝2， 即点P的坐标为(1，2)； 当BP＝OB＝3时，△POB为等腰三角形， 在Rt△BPN中，PN＝， 即点P的坐标为(1，)． 综上所述，当点P在x轴上方，且△POB为等腰三角形时，点P的坐标为(1，2)或(1，)． ②如图③，若OC＝OB，则当以A，P，C为顶点的三角形是直角三角形时，求点P的坐标． 图③ 第一步：由OC＝OB及OB的长可得点C的坐标，从而得到a的值，求出抛物线的函数解析式； 第二步：设点P的坐标，计算出AC2，表示出AP2，CP2； 第三步：分AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP三种情况讨论即可． ☞ 解题思路 【解答】由题意，得A(－1，0)，OC＝OB＝3， 即点C的坐标为(0，3)， ∴－3a＝3，即a＝－1， ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． 设P(1，n)， ∴AC2＝10，AP2＝4＋n2，CP2＝1＋(n－3)2＝n2－6n＋10． 分三种情况讨论： 当AC⊥AP时，则AC2＋AP2＝CP2，即10＋4＋n2＝n2－6n＋10， 解得n＝－，∴点P的坐标为； 当AC⊥CP时，则AC2＋CP2＝AP2，即10＋n2－6n＋10＝4＋n2， 解得n＝，∴点P的坐标为； 当AP⊥CP时，则AP2＋CP2＝AC2，即4＋n2＋n2－6n＋10＝10， 解得n＝1或n＝2，∴点P的坐标为(1，1)或(1，2)． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或(1，1)或(1，2)． 夺 冠 技 法 类型五 特殊四边形存在性问题(内江2024.28；泸州2024.25，2022.25；南充2023.25；巴中2023.25) 类型 问题 构图思路 找点的方法 “三定一动”型 在平面直角坐标系中，已知点A，B，C(三定)，求一点D(一动)，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形 “三条平行线”即过点A，B，C分别作BC，AC，AB的平行线，三条平行线的交点即为所求点D 1．以AC为对角线，平移BA至CD1，确定点D1的坐标． 2．以AB为对角线，平移CB至AD2，确定点D2的坐标． 3．以BC为对角线，平移AC至BD3，确定点D3的坐标 类型 问题 构图思路 找点的方法 “两定两动”型 在平面直角坐标系中，已知点A，B(两定)，点C在x轴上，点D在y轴上，求两点C，D(两动)，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形 AB为边 AB为对角线 1．利用平行四边形对边平行且相等，构造全等三角形解决． 2．设C(x，0)，D(0，y)，利用平行四边形对角顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等，列方程组解决 例5 如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2OB，连接BC，抛物线的对称轴为直线x＝． (1)求抛物线的函数表达式． 图① 第一步：根据题目信息和对称轴到点A，B的距离相等，求出点A，B的坐标； 第二步：用待定系数法求抛物线的函数表达式． ☞ 解题思路 【解答】设B(t，0)，由OA＝2OB，得A(－2t，0)． ∵抛物线的对称轴为直线x＝， ∴－t＝－2t－，解得t＝－1，∴A(2，0)，B(－1，0)． 将点A(2，0)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx＋2(a≠0)， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2． (2)在平面直角坐标系内，是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 图① ☞ 解题思路 第一步：设点D的坐标，由设问中的信息以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，观察是三定一动； 第二步：可以考虑用平移或中点坐标列方程求解． 【解答】存在．设点D的坐标为(m，n)，易得C(0，2)． 由(1)知，A(2，0)，B(－1，0)． 分三种情况：①当AC为对角线时． ∵AC与BD的中点坐标相同，AC的中点坐标为(1，1)， ∴＝1，＝1， ∴m＝3，n＝2，∴D(3，2)； ②当BC为对角线时．∵BC与AD的中点坐标相同，BC的中点坐标为，∴＝－＝1，∴m＝－3，n＝2，∴D(－3，2)； ③当AB为对角线时．∵AB与CD的中点坐标相同，AB的中点坐标为 ，∴＝0， ∴m＝1，n＝－2，∴D(1，－2)．综上所述，点D的坐标为(3，2)或(－3，2)或(1，－2)． (3)如图②，P是抛物线对称轴上的一点，Q是平面直角坐标系内的一点，是否存在点P，使以P，B，C，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图② ☞ 解题思路 第一步：设点P的坐标为，点Q的坐标为(e，f)，由题中的信息以P，B，C，Q为顶点的四边形是矩形，用中点坐标公式和矩形对角线相等分情况列方程； 第二步：解方程，求出符合条件的点P的坐标． (3)【解答】存在. 设点P的坐标为，点Q的坐标为(e，f). 易知B(－1，0)，C(0，2). 分三种情况： ①当BC为对角线时，BC与PQ的中点坐标相同，且BC＝PQ， ∴解得 ∴点P的坐标为； ②当BQ为对角线时，BQ与CP的中点坐标相同，且BQ＝CP， ∴ 解得∴点P的坐标为； ③当BP为对角线时，BP与CQ的中点坐标相同，且BP＝CQ， ∴解得 ∴点P的坐标为. 综上所述，点P的坐标为. (4)如图③，P是抛物线对称轴上的一点，G是平面直角坐标系内的一点，是否存在点P，使以P，B，C，G为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图③ ☞ 解题思路 第一步：设点P，G的坐标，由题中信息以P，B，C，G为顶点的四边形是菱形，用中点坐标公式和菱形的邻边相等分情况列方程； 第二步：解方程，求出符合条件的点P的坐标． 【解答】存在.点P的坐标为(，2＋)或. 【解法提示】设P，G(r，s).易知B(－1，0)，C(0，2).分三种情况：①当PB，CG为对角线时，则PB与CG的中点坐标相同，且BC＝BG，∴ 解得 ∴P或P； ②当PC，BG为对角线时，则PC与BG的中点坐标相同，且BC＝BP， ∴ 解得 ∴P(，－)或P； ③当PG，BC为对角线时，则PG与BC的中点坐标相同，且BP＝BG， ∴ 解得∴P.综上所述，点P的坐标为. 1．(2024·淄博)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(点A在点B的左侧)，其中x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)已知直线l：y＝3x＋9与x轴，y轴分别相交于点D，E． ①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物 线上是否存在点P，使∠PBF＝∠DFB？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD＋QE的最小值． 综合训练 解：(1)∵x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两个根，∴x1＝－1，x2＝3． ∵点A在点B的左侧， ∴A(－1，0)，B(3，0)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴相交于A，B两点， ∴解得 ∴该抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3． 解：(2)①存在.如答图①，过点P作PH⊥x轴于点H，连接BP. ∵直线y＝3x＋9与x轴，y轴分别交于点D，E， ∴当x＝0时，y＝9，当y＝0时，3x＋9＝0，解得x＝－3， ∴D(－3，0)，E(0，9)，∴OD＝3，OE＝9，∴tan∠OED＝. 在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠FCE＝∠OCB＝45°. ∵∠DFB是△CEF的一个外角，∴∠DFB＝∠FCE＋∠FEC＝45°＋∠FEC. ∵∠DFB＝∠PBF＝∠CBO＋∠PBH＝45°＋∠PBH，∴∠PBH＝∠FEC， ∴tan∠PBH＝. 设P(m，－m2＋2m＋3)(m＜－1)，则BH＝3－m，PH＝m2－2m－3， ∴，∴m＝3(舍去)或m＝－， ∴P. 答图 ②如答图②，根据题意作图. 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，易得直线BC的函数解析式为y＝－x＋3，∴设直线MN的函数解析式为 y＝－x＋n，设直线BM的函数解析式为y＝k1x＋m(k1≠0)， 将点B(3，0)代入，得3k1＋m＝0， 解得m＝－3k1，∴直线BM的函数解析式为y＝k1x－3k1. 设直线CN的函数解析式为y＝k2x＋m1， 将点C(0，3)代入，得m1＝3，∴直线CN的函数解析式为y＝k2x＋3. 联立 得x2－3x＋n－3＝0，∴x3＋x4＝3， 将M(x3，y3)分别代入y＝k1x－3k1，y＝－x2＋2x＋3，得 ∴＋(k1－2)x3－3(k1＋1)＝0，∴(x3－3)(x3＋k1＋1)＝0，解得k1＝－1－x3. 将N(x4，y4)分别代入y＝k2x＋3，y＝－x2＋2x＋3 ，得 ∴＋( k2－2)x4＝0，∴x4(x4＋k2－2)＝0，解得k2＝2－x4. 联立 得xQ＝， ∴点Q在直线x＝上运动， 在y＝3x＋9中，令x＝0，则y＝9，即E(0，9). 作点E关于直线x＝的对称点E'，连接DE'交直线x＝于点Q'，连接EQ'，QE'，则E'(3，9). 由轴对称的性质可得EQ'＝E'Q'，∴QD＋QE＝QD＋QE'≥DE'. 当Q，D，E三点共线，即点Q运动到点Q'的位置时，线段QD＋QE有最小值，最小值为DE'的长. ∵DE'＝＝3，∴线段QD＋QE的最小值为3. 2．(2024·眉山)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，点D在抛物线上． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标． (3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)把点A(－3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴该抛物线的函数解析式为y＝－x2－2x＋3． (2)如答图①，过点D作DK∥y轴交AC于点K． 由点A(－3，0)，C(0，3)易得直线AC的函数解析式为y＝x＋3． 设D(t，－t2－2t＋3)，则K(t，t＋3)，∴DK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t． ∵△ACD的面积为3，∴DK·|xA－xC|＝3， 即(－t2－3t)×3＝3，解得t＝－1或t＝－2， ∴点D的坐标为(－1，4)或(－2，3)． 答图① (3)在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，点P的坐标为(0，3)或()或()或(，－)． 答图 【解法提示】在y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，得0＝－x2－2x＋3，解得 x＝－3或x＝1，∴B(1，0)，由点B(1，0)，C(0，3)易得直线BC的函数解析式为y＝－3x＋3，设P(m，－3m＋3)，D(n，－n2－2n＋3).①∵OA＝OC＝3，∴当点P与点C重合，点D与点A重合时，△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，如答图②，此时点P的坐标为(0，3)； 过点P作PN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥y轴于点M. ②当点P在第一象限，点D在第四象限时，如答图③.∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，∴OD＝OP，∠POD＝90°，∴∠DOM＝90°－∠PON＝∠OPN. ∵∠DMO＝90°＝∠ONP，∴△DOM≌△OPN(AAS)，∴DM＝ON，OM＝PN， ∴解得(n＜0，舍去)或 ∴－3m＋3＝－3×＋3＝，∴点P的坐标为()； ③当点P在第四象限，点D在第三象限时，如答图④.∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，∴OD＝OP，∠POD＝90°，∴∠DOM＝90°－∠PON＝∠OPN. ∵∠DMO＝90°＝∠ONP，∴△DOM≌△OPN(AAS)，∴OM＝PN，DM＝ON，同理可得解得(n＞0，舍去)， ∴－3m＋3＝－3×＋3＝， ∴点P的坐标为()； 答图 ④当点P在第四象限，点D在第一象限时，如答图⑤.∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，∴OD＝OP，∠POD＝90°，∴∠DOM＝90°－∠PON＝∠OPN.∵∠DMO＝90°＝∠ONP，∴△DOM≌△OPN(AAS)，∴OM＝PN，DM＝ON，∴解得(舍去)或∴－3m＋3＝ －3×＋3＝－，∴点P的坐标为.综上所述，点P的坐标为(0，3)或或()或. 3．(2024·宜宾)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使△BDM的周长最小？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点E在以点P(3，0)为圆心，1为半径的☉P上， 连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连接BF， 求BF的取值范围． 解：(1)把点A(－1，0)， C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4． ∵y＝x2－3x－4＝， ∴顶点D的坐标为． (2)存在． 作点D关于y轴的对称点D'，连接BD'交y轴于点M，如答图①，则D'M＝DM． 在y＝x2－3x－4中，令y＝0，得0＝x2－3x－4， 解得x＝4或x＝－1，∴B(4，0)， ∴BD＝， ∴要使△BDM的周长最小，只需DM＋BM的值最小． ∵DM＝D'M，∴DM＋BM＝D'M＋BM， 答图① ∴当B，M，D'三点共线时，DM＋BM的值最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长最小． 由点B(4，0)，D'易得直线BD'的表达式为y＝x－， 令x＝0，得y＝－， ∴点M的坐标为． 答图① 解：(3)以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如答图②. ∵A(－1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形， ∴点Q的坐标为(1，－2). ∵△AEF，△APQ都是等边三角形， ∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°， ∴∠EAP＝∠FAQ， ∴△EAP≌△FAQ(SAS)， ∴PE＝QF＝1， ∴点F的运动轨迹是以点Q(1，－2)为圆心，1为半径的圆. ∵B(4，0)，∴BQ＝. 当点F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ－QF＝－1； 当点F在射线BQ上时，BF最大，此时BF＝BQ＋QF＝＋1， ∴BF的取值范围是－1≤BF≤＋1. 答图② 4．(2024·内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)是否存在点D，使△BDE和△ACE相似？ 若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． (3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标． 解：(1)在y＝－2x＋6中，令y＝0，则－2x＋6＝0，解得x＝3；令x＝0，则y＝6， ∴A(3，0)，B(0，6)． 把点A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6． 解：(2)存在点D，使△BDE和△ACE相似. 设D(t，－t2＋t＋6)(0＜t＜3)，则E(t，－2t＋6)，C(t，0)， ∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t. ∵△BDE和△ACE相似，且∠BED＝∠AEC， ∴有△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE两种情况. ①如答图①，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴BD∥AC，∴点D的纵坐标为6， ∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0(舍去)或t＝1， ∴D(1，6)； 答图 ②如答图②，当△ACE∽△DBE时，∠CAE＝∠BDE. 过点B作BH⊥DC于点H， ∴∠BHD＝90°，H(t，6)，∴BH＝t，DH＝－t2＋t， ∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝， ∴＝2，∴－2t2＋2t＝t， 解得t＝0(舍去)或t＝，∴D. 综上所述，点D的坐标为(1，6)或. (3)①如答图③，当点D在点F左侧时. ∵四边形EGFD为菱形， ∴DE∥FG，DE＝FG，DE＝EG. 设D(m，－m2＋m＋6)(0＜m＜3)，E(m，－2m＋6)，F(n，－n2＋n＋6)(0＜n＜3且n≠m)，G(n，－2n＋6)， ∴DE＝－m2＋3m，FG＝－n2＋3n，∴－m2＋3m＝－n2＋3n， 即(m－n)(m＋n－3)＝0. ∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0，即n＝3－m. ∵A(3，0)，B(0，6)，∴AO＝3，BO＝6，∴AB＝＝3. 过点G作GK⊥DC于点K，∴KG∥AC，∴∠EGK＝∠BAC， ∴＝cos∠EGK＝cos∠BAC＝， 即，∴EG＝(n－m)＝(3－2m). ∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝(3－2m)，∴m2－(3＋2)m＋3＝0， 解得m＝(不符合题意，舍去)或m＝， ∴点D的横坐标为. 答图 ②如答图④，当点D在点F右侧时， 同理可得点D的横坐标为(不符合题意的值已舍去). 综上所述，当四边形EGFD为菱形时，点D的横坐标为. 5．(2024·达州模拟)如图，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过坐标轴上的A，B，C三点，直线y＝－x＋4经过点B和点C． (1)求抛物线的解析式． (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，连接BE，CE， 求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标． (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P， 使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)对于y＝－x＋4，当x＝0时，y＝4， ∴B(0，4)． 当y＝0时，x＝4，∴C(4，0)． 将点B(0，4)，C(4，0)代入y＝ax2＋x＋c(a≠0)， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4． (2)如答图，过点E作EG∥y轴交BC于点G． 设E(0＜t＜4)， 则G(t，－t＋4)， ∴EG＝－t2＋2t， ∴S△BCE＝×4＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4． ∵－1＜0， ∴当t＝2时，△BCE的面积有最大值，最大值为4，此时点E的坐标为(2，4). 答图 解：(3)存在点P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形. ∵y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 设Q(1，m)，P. ①当PQ为平行四边形的对角线时，则1＋n＝4，解得n＝3，∴P； ②当PB为平行四边形的对角线时，则n＝4＋1＝5，∴P； ③当PC为平行四边形的对角线时，则4＋n＝1，解得n＝－3，∴P. 综上所述，满足条件的点P的坐标为. 6．(2024·泸州龙马潭区二模改编)如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋b(a≠0)经过点D(－1，－5)，且交x轴于A(－6，0)，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线 AD下方的抛物线上运动，过点P分别作PE⊥直线 AD于点E，PF⊥直线DM于点F，求PE＋PF的最大值以及此时点P的坐标． (3)将原抛物线沿射线CA的方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使∠CAG＝45°，求出所有符合条件的点G的横坐标． 解：(1)将点D(－1，－5)，A(－6，0)代入y＝ax2＋5ax＋b(a≠0)， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－3． 解：(2)过点P作PH∥y轴交AD于点H，如答图①. 由点A(－6，0)，D(－1，－5)易得直线AD与x轴所夹锐角为45°， 直线AD的解析式为y＝－x－6， ∴∠PHE＝∠MDA＝45°，∴PH＝PE. 设P(－6＜x＜－1)，则H(x，－x－6)， ∴PE＋PF＝PH＋(xF－xP)＝－x－6－x2－x＋3＋(－1－x)＝－x2－x－4＝ －.∵－＜0， ∴当x＝－时，PE＋PF有最大值，最大值为，此时点P的坐标为. 答图 (3)将原抛物线沿射线CA的方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，如答图②. ∵原抛物线的解析式为y＝x2＋x－3＝， ∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2＋x＋①. 当点G在x轴下方时，设直线AG交y轴于点N，过点N作NT⊥直线AC于点T. ∵A(－6，0)，C(0，－3)，∴AC＝3. 设CT＝x.∵∠ACO＝∠TCN， ∴tan∠ACO＝tan∠TCN，则，∴，即NT＝2x. ∵∠CAG＝45°，∴AT＝NT，即2x＝x＋3，解得x＝3， ∴CN＝＝15，∴N(0，－18). 由点A(－6，0)，N(0，－18)易得直线AN的解析式为y＝－3x－18②. 联立①②，得x2＋x＋＝－3x－18， 解得x＝(不符合题意的值已舍去)； 当点G在x轴上方时，同理可得，直线AG的解析式为y＝x＋2③. 联立①③，得x2＋x＋x＋2， 解得x＝(不符合题意的值已舍去). 综上所述，符合条件的点G的横坐标为. $$