精品解析：青海省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据交集定义计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以 从而. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边同时平方，结合同角三角函数平方关系及正弦二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，两边同时平方得 ， 由同角三角函数平方关系得， 则. 故选：B. 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断是否能推出，反之，判断是否能推出即可. 【详解】若，则；若，则或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数图象的一个对称中心为点的一个周期为，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过验证，周期是否可以为可判断选项正误. 【详解】对于A，，最小正周期为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，最小正周期为，故D错误. 故选：A 6. 已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列的前n项和公式基本量运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：C. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求对数复合函数的定义域，再结合复合函数的单调性规则列不等式组计算求解. 【详解】由，解得或，则的定义域为. 令，因为是增函数，所以要找的减区间， 所以解得，即在上单调递减，所以. 故选：D. 8. 已知奇函数满足.当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明4为的一个周期，可得，再利用导数证明在上单调递增，从而可得答案. 【详解】由奇函数满足，得， 则，所以4为的一个周期， 则， 当时，，令， 则，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，故. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的焦距为26 B. 的离心率为 C. 的渐近线方程为 D. 的焦点到它的渐近线的距离为12 【答案】AD 【解析】 【分析】利用双曲线的方程可知，即可判断各选项. 【详解】设双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距分别为， 根据双曲线方程，可得， 则的焦距，A正确. 则的离心率，B错误. 因为，所以的渐近线方程为，C错误. 因为的焦点到它的渐近线的距离为， D正确. 故选：AD. 10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 11. 在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为3 C. D. 点在半径为的球面上 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，易得，应用线面平行的判定判断A；设的中点为，连接，根据已知求得，结合确定的轨迹为球，利用球的结构特征判断B；应用空间向量数量积的运算律及定义有，即可判断C；设的中点为，连接，有判断D. 【详解】取的中点，连接，结合题设易知，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面，A正确. 设的中点为，连接， 由知，四边形是直角梯形，且， 所以， 因为，所以在以为球心，为半径的球面上运动（不经过面）， 则，B错误. ， 因为与不共线，所以， 所以，C正确. 设的中点为，连接，则， 所以在以点为球心，为半径的球面上运动，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上的最大值为5，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】化简函数，根据函数的解析式判断函数的单调性，再根据最值，即可求解. 【详解】因为在区间上是减函数，所以，解得. 故答案为：3 13. 若正数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，故展开，结合基本不等式求其最小值. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________；若恰有2个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，分段求函数的值的范围，由此求时函数的最小值，就时函数的零点个数展开讨论，列不等式求的范围. 【详解】若，则， 当时，函数在上单调递增，故， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 若当时，有个零点， 则当时，有个零点， 则，解得 若当时，没有零点， 则当时，有个零点，则或， 解得. 综上，或. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线方程为，求与的值； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1） （2） 若，则，令， 则， 令，得，易知在上单调递增，在和上单调递减. 因为，所以在上的最大值为6. 因为，所以在上的最小值为0， 所以当时，. 【解析】 【分析】(1)根据题意有解出即可； （2）构造，利用导数得到单调区间求出的最值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为切线方程为，所以 解得，所以. 【小问2详解】 略 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 【答案】（1） （2） 证明：由余弦定理可得， 因为，所以， 代入上式可得， 化简得. ， 则， 故是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）先应用诱导公式化简再解一元二次方程即可求值； （2）由余弦定理结合已知条件得出，，由即可证明. 【小问1详解】 ， 可得， 即， 也即， 解得； 【小问2详解】 略 17. 在三棱锥中，平面，若. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：因为平面，平面，所以. 因为，即，且，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面,所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面可得，又，所以根据线面垂直的判定定理得平面，则，又，则可得平面，则，结合，利用线面垂直的判定定理即可得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面BPC的法向量，利用面面角的向量公式算出二面角的余弦值的绝对值，再利用平方关系求正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，直线两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则. 设平面的法向量为，平面BPC的法向量为， 由得令，得 由得令，得. 设二面角的大小为，所以，从而， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为. （1）求的方程； （2）已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据是等腰直角三角形得，利用和的最大值即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立得到点的坐标，由得即可解得. 【小问1详解】 设的焦距为，因为是等腰直角三角形，所以，从而. 又因为的最大值为，所以. 由解得 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以. 显然直线的斜率存在，设直线，联立方程组 消去得，解得或，可得. 因为为线段的中点，所以， 所以直线的斜率为. 由，整理得，解得或. 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． （1）求点的坐标； （2）设，求数列的前项和； （3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 【答案】（1）， （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据特征方程和特征根的定义求解即可； （2）由（1）知，化简，再利用裂项相消法求解即可； （3）求得，设，分别求出，再根据特征方程和特征根的定义即可得出答案. 【小问1详解】 因为点列的特征根为和， 所以点列的特征方程为， 所以， 则，即， 所以， 所以的坐标为， 由， 得，即， 所以， 所以的坐标为； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 设， 则， ， ， 设， 则①， ②， 由①②得，即， 将代入②得， 因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数， 所以， 又，所以，得， 又， 所以点列的特征方程为，特征根为和. 【点睛】关键点点睛：理解特征方程和特征根的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数图象的一个对称中心为点的一个周期为，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数满足.当时，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的焦距为26 B. 的离心率为 C. 的渐近线方程为 D. 的焦点到它的渐近线的距离为12 10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 11. 在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为3 C. D. 点在半径为的球面上 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上的最大值为5，则__________. 13. 若正数满足，则的最小值是__________. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________；若恰有2个零点，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线方程为，求与的值； （2）若，证明：当时，. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 17. 在三棱锥中，平面，若. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为. （1）求的方程； （2）已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率. 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． （1）求点的坐标； （2）设，求数列的前项和； （3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $