精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高三上学期1月月考数学试题

数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语不等式，函数，导数及其应用，三角函数，平面向量，复数，数列，立体几何与空间向量，直线与圆的方程，椭圆. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 3. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 7. 将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 77 C. 91 D. 113 8. 已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若在复平面内对应的点为，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 直线的倾斜角为 10. 内角的对边分别为，且，若边的中线，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，椭圆的离心率为 B. 当椭圆的离心率最大时， C. 当椭圆的焦距为4时， D. 当时，椭圆的焦距为6 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则实数的值为________． 14. 已知为平行四边形边的中点，以为焦点的椭圆过点，且，则椭圆的离心率为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与直线相交于两点，求的值. 16. 已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. （1）求椭圆方程； （2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 17. 如图，四边形与均为菱形，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调性； （3）设函数.证明：存在实数，使得曲线关于直线对称. 19. 椭圆，椭圆，若，则椭圆与椭圆为相似椭圆，其中为相似比.已知椭圆的长轴长为4，且过点为椭圆上异于其左，右顶点的任意一点. （1）若，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值； （3）若，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语不等式，函数，导数及其应用，三角函数，平面向量，复数，数列，立体几何与空间向量，直线与圆的方程，椭圆. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合补集、交集运算可求出结果. 【详解】根据题意，集合，则， 又由，则， 故选：A. 2. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量为， 则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 3. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质建立方程，求解参数即可. 【详解】函数为奇函数，， 即，解得，故D正确. 故选：D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，故C正确. 故选：C. 5. 已知直线与直线，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直关系求出a的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案. 【详解】若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 6. 已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确 故选：B. 7. 将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 77 C. 91 D. 113 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以， 得， 当时，也符合上式， 所以， 第9个“拐角数”是，故C对； 其他都不是拐角数， 故选：C 8. 已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆柱的高为，勾股定理表示出圆柱底面半径，利用体积公式表示出体积与之间的函数关系式，利用导数求最大值； 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则有，（）， 所以，（） 令，则， 令，得又，所以， 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减. 所以. 故. 所以圆柱体积的最大值为. 故选：A. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若在复平面内对应的点为，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 直线的倾斜角为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合给定条件求解参数，求出复数，利用复数模的求法判断C，利用复数的几何意义求出对应点坐标，再利用斜率的几何意义求解即可. 【详解】设，因为， 所以，即 解得，故A，B正确，此时， 此时，故C错误； 由复数的几何意义得对应的点为，且设直线的斜率为，倾斜角为， 由斜率公式得，由斜率的几何意义得， 因为，所以，则直线的倾斜角为，故D错误. 故选：AB. 10. 的内角的对边分别为，且，若边的中线，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出角度判断A，B，利用向量中线定理判断C，利用三角形面积公式判断D即可. 【详解】在中，由题意得， 由正弦定理得， 所以， 化简得，即， 因为，所以，故， 解得，因为，所以，故A正确，B错误， 因为是边的中线，所以由向量中线定理得， 故，同时平方得， 代入得，解得(负根舍去)， 所以，故C正确， 设的面积为，由三角形面积公式得， ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，椭圆的离心率为 B. 当椭圆的离心率最大时， C. 当椭圆的焦距为4时， D. 当时，椭圆的焦距为6 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A，由离心率最大知长轴最长可得求解判断B，由离心率求出即可判断C，由求出，再得出焦距判断D. 【详解】过作于，如图， 由，当时，在中，， 所以椭圆中，，故A正确； 因为椭圆的短轴长为定值6，，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大， 由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B错误； 当椭圆的焦距为4时，，即， 所以，所以，故C错误； 当时，，所以， 由勾股定理可得，即，， 所以，所以焦距，故D正确. 故选：AD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角公式及差角的正弦公式列式求出，再利用和角的正弦公式求解. 【详解】由，得， 解得，所以. 故答案为： 13. 已知圆，当圆面积最小时，直线与圆相切，则实数的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，要使圆C的面积最小，则半径要最小，求出半径最小时的值，从而可求得圆的圆心与半径，再根据圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】解：由圆， 得， 当时，圆C的半径最小为，即面积最小， 所以当圆C的面积最小时，圆的方程为， 圆心，半径， 因为直线与圆C相切， 所以圆心到直线的距离， 解得或. 故答案为：或. 14. 已知为平行四边形的边的中点，以为焦点的椭圆过点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到，连接再由椭圆的定义，表示出、，再在、中，利用余弦定理表示出、，从而得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】如下图所示，因为为平行四边形的边的中点， 所以 ， 所以，所以. 连接，由椭圆的定义可知，； 设，则，故， 在中，. 在中，. 在平行四边形中，，所以， 所以，则， 整理得，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与直线相交于两点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将已知条件代入，解方程组，可得到的值，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再根据直线与圆相交时的弦长公式，即可得到弦的长. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由已知可得方程组，解之得：， ∴圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，圆的圆心为，由点到直线距离公式可知： 圆心到直线的距离为：， 当直线与圆相交时，由弦长公式，得. 16. 已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，根据椭圆的几何性质求得，即得椭圆方程； （2）设，利用点差法化简，得，代入弦的中点坐标，求出直线斜率，即得其方程. 【小问1详解】 由题意可知 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意直线l的斜率存在，如图，设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 17. 如图，四边形与均为菱形，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）设与相交于点O，连接，说明和即可证明； （2）连接，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）设与相交于点O，连接， ∵四边形为菱形，∴，且O为中点， ∵，∴， 又，∴平面 （2）连接，∵四边形为菱形，且， ∴为等边三角形， ∵O为中点，∴，又， ∴平面. ∵，，两两垂直， ∴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，四边形为菱形，， ∴，. ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴ ，，. 设平面的法向量为， 则，取，得 设直线与平面所成角为θ， 则. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的向量求法，属于中档题. 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调性； （3）设函数.证明：存在实数，使得曲线关于直线对称. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，和四种情况，解不等式，求出函数单调性； （3）先求函数定义域，根据定义域的对称性得到，再求出，证明出结论. 【小问1详解】 ，， 又， 故在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 证明：函数， 函数的定义域为． 若存在，使得曲线关于直线对称， 则关于直线对称，所以 由 ． 可知曲线关于直线对称． 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 19. 椭圆，椭圆，若，则椭圆与椭圆为相似椭圆，其中为相似比.已知椭圆的长轴长为4，且过点为椭圆上异于其左，右顶点的任意一点. （1）若，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值； （3）若，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值. 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）根据条件先求出的值，根据定义列出的方程，求解出结果即可得到标准方程； （2）设出点以及直线方程，联立方程，根据得到关于的方程，根据韦达定理求解出结果； （3）根据（2）中的斜率关系设出直线方程以及点的坐标，联立直线方程与椭圆方程，根据弦长公式得到弦长，相加即可求得结果. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4，且过点， 所以，解得，所以， 因为，， 所以，则， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，的左右顶点为， 设点，经过点与相切的直线为， 联立，消去可得： ， 所以， 化简可得， 由题可知是上述方程的两个实根， 所以，又因为为椭圆上一点，所以， 所以； 【小问3详解】 当时，， 所以，所以， 所以左右顶点分别为，且也为的焦点， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 设的直线方程为：，则的直线方程为：， 设， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 ； 联立，消去可得：， 所以， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：（1）一方面是理解相似椭圆的定义，可以从长轴长和短轴长的比值角度分析，也可以从焦点位置和离心率的角度分析，做到运用定义完成的标准方程的计算； （2）另一方面是关于直线斜率的探究，本题第二问作为引导，第三问需要从斜率角度分析的斜率关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$