精品解析：湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷

武汉六中高一年级第三次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合，函数的定义域为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义域由解得，进而运用交集定义运算即可. 【详解】要使有意义，需满足，解得， 所以， 又集合，所以. 故选：D． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 若某扇形的面积为8，弧长为8，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式、弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形的面积为，弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数为， 因为某扇形的面积为8，弧长为8， 所以由， 于是由， 故选：C. 4. 已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上的奇函数，求得其解析式，再根据，由的周期为6及对数运算求解. 【详解】因为在上的奇函数，所以，解得， 所以， 因为，所以的周期为6， 所以， 又， 其中，则， ，所以. 故选：D 5. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（为常数），经过7min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A. 16min B. 21min C. 26min D. 29min 【答案】B 【解析】 【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果． 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器中只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 故选：B． 6. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“”的否定是“” ②函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时 ③若的定义域为R，则实数a的取值范围 ④已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ⑤已知幂函数对于， 都有，则 A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由存在量词命题的否定即可判断；对于②，由奇偶性结合题设计算求解时解析式即可判断；对于③，由题设得恒成立，分和两种情况分析，当时列出关于a的不等式组计算即可得解；对于④，由题设列出关于a的不等式组计算即可得解；对于⑤，先由幂函数得，求出m即可得，再由函数奇偶性即可得解. 【详解】对于①，命题“”的否定是“”，故①错误； 对于②，因为函数是定义在R上的奇函数，所以且， 又因为当时，， 所以当时，，故，故②正确； 对于③，的定义域为R，所以恒成立， 当时，得恒成立，符合； 当时，则， 所以满足题意的实数a的取值范围，故③错误； 对于④，由题设，将代入得， 因为函数在R上单调递增， 所以， 所以满足题意的实数a的取值范围是，故④正确； 对于⑤，因为幂函数， 所以或，所以或， 又即函数为偶函数，所以函数，故，故⑤正确； 故选：C. 7. 已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出关于原点对称的函数为，转化为与的图象交点个数至少有3对，分和两种情况，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】关于原点对称的函数为， 依题意，与的图象交点个数至少有3对， 若，画出与的图象，如下： 显然两函数图象只有1个交点，不合题意； 若，画出与的图象，如下： 需满足，解得. 综上，可得实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 求出关于原点对称的函数， 解题关键在于：将问题转化为与的图象交点个数至少有个，通过作图，数形结合进行求解. 8. 已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ，所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，， 所以，，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、多选题（本题共3小题每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ） A. 2.49 B. 2.52 C. 2.55 D. 2.58 【答案】BC 【解析】 【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理及精确度确定零点所在区间，即可得解. 【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的唯一近似解在，，，内， 又精确度0.1， 所以方程的近似解（精确度0.1）可取为，. 故选：BC 10. 已知函数，，恒成立，则（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C. 可以取 D. 当时，的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用偶函数的性质结合单调性可得出，利用辅助角公式求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断C选项；当时，求出的取值范围，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 且可知为偶函数，故A正确； 对于B选项，因为函数、在上都是增函数， 故函数在上是增函数， 任取、且，则， 又因为，由不等式的基本性质可得，即， 所以，函数在上单调递增，故B正确； 对于C选项，由于函数为偶函数，且在上为增函数， 由， 可得， 等价于， 所以，，可得， 令，化为， 即，其中，， 所以，，则， 可得，整理可得， 解得，故，故C正确； 对于D，当时，， 其中为锐角，且， 由图可知，，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，则的值可能是2024（注：） D. 当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知条件确定函数的周期，从而判断选项A错，B正确；由和的图像都关于点，判断C错误；令确定它是偶函数，由在上的解析式，得出在上的解析式，然后由周期性得出其在实数集上的解析式，结合周期作出函数图像，从而可得出的解析式及其大致图像，将方程的解转化为函数与图像交点个数，数形结合得结论. 【详解】是奇函数，则的图象关于点对称，即， 又，所以，即， 所以，是周期函数，周期为4， ，A错，B正确； ，令，则，， 所以的图象关于点对称，又的图象也关于点对称， 因此与的图象交点也关于点对称， 又，即是它们图象的一个交点，因此它们有奇数个交点， 是4的倍数加2，不可能是2024，C错； 的图象关于点对称，又关于直线对称，因此图象也关于原点对称，即是奇函数， 设，则，所以是偶函数， 时，，由得， 当时，，所以， 作出函数在上的图象，如图所示： 又是以4为周期的周期函数，所以将函数在上的图象以4为单位进行左右平移可得在上的图象， 当时，，， 又是偶函数，由对称性作出函数和的图象，如图所示， 当直线与，的图象有一个交点时， 方程有两个相等的实根，， （负值舍去）， 当直线与，的图象有一个交点时， 同理求得，由图可知，当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根，D正确， 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的对称中心为______； 【答案】 【解析】 【分析】解方程，由此可解得函数的对称中心坐标. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心是. 故答案为：. 13 若，，且，，则______； 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以. 所以， 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 这个区间内，时，. 故答案为：. 14. 已知函数，的零点分别为，，且，，则______；若恒成立，则整数的最大值为______.（参考数据：，，，.） 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】将问题转化为以与图象的交点的横坐标为，由反比例函数、指数函数与对数函数的关系可知函数、的图象关于对称，作出图象，利用对称性可得第一空答案；由零点存在定理可得，且，从而得，即可得第二空答案. 【详解】解：令，由；令，则， 所以与图象的交点的横坐标即为两函数的零点. 又因为，其图象是将的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到的， 由反比例函数的性质可知曲线的图象关于对称， 又因为的图象也关于对称， 如图所示： 当，时，点与点关于对称， 所以， 可得，， 令，则， 因为在上均为单调递增函数， 所以在上为单调递增函数， 即在上单调递增， 由， 可得， ， 由零点存在定理可得，则， 且， 因为恒成立，所以整数的最大值为. 故答案为：2；6. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出函数、的图象关于对称并作出图象. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据单位圆的定义，求，再根据三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，以及诱导公式，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，且，则， 所以，， ； 【小问2详解】 ，， 原式. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递减区间； （2）若，求在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式将函数化简，再由其周期即可的带，结合正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果； （2）由三角恒等变换公式将函数解析式化简，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题得，又， 所以的最小正周期，解得，故， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. 【小问2详解】 由题得 ， 当时，，由的性质可知， 所以，所以在上的值域为. 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】（1） （2）项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【解析】 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由， 可得，解得 故； 小问2详解】 设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 18. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数. （1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围. （2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由. 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可； （2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案． 【小问1详解】 由题意可得，，，，， 所以， 不等式在上有解， 等价于在上有解， 令，则， 由在上单调递减， 所以当时，取得最大值，故. 【小问2详解】 设，则. 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立， 所以.所以 . 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增， 在单调递增，，且当时取到“=”. ，又在区间的最小值为， ，且，此时，.所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的对称性确定、的关系，化简得：，通过换元法结合已知条件确定. 19. 已知函数是偶函数，是自然对数的底数， （1）求的最小值； （2）当时， （i）令，，求的值域； （ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）2998 【解析】 【分析】（1）由函数是偶函数，得，再代入所求式子，表示为的二次函数求最值； （2）（i）由条件可知，，求函数的解析式，并判断函数的单调性，即可求其值域；（ii）利用反证法进行证明. 小问1详解】 函数的定义域为，根据偶函数的定义： ，，即， 即：上式对任意恒成立，这等价于. ， 等号成立当且仅当，.所以的最小值为. 【小问2详解】 （i）由（1）可得：，由于，为偶函数，故只需考虑时，的值域， ， 令，，根据复合函数的单调性可得，，单调递增，在上单调递增， 的值域为，，. 故的值域为. （ii）对于常数，令，为偶函数. 下面先证明一个结论：在上单调递增. 证明：. 由（2）可得：为偶函数，在上单调递增， 在上单调递增， 证毕. 对于，，且， 先证明：当取最大值时，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于2. 用反证法，假如当取最大值时，中存在两个数， 不妨设，记，则，且，. 记，则，根据的单调性可知 ， 在中，将，分别替换成，， 其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾！ 中最多只有一个. ①中没有数字在区间时，中的每一个数，要么等于，要么等于2， 记中等于2的元素个数为，，，这与为整数矛盾！ ②中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于2的数字个数为，则等于的数字个数为，则. 即：，由于，， 又，，， 这1000个数为，其中有333个，666个2. . 【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到，关键2是判断函数的单调性，关键3是利用反证法证明中最多只有一个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉六中高一年级第三次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合，函数的定义域为，则为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若某扇形的面积为8，弧长为8，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4 5. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（为常数），经过7min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A. 16min B. 21min C. 26min D. 29min 6. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“”的否定是“” ②函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时 ③若的定义域为R，则实数a的取值范围 ④已知函数在R上单调递增，则a取值范围是 ⑤已知幂函数对于， 都有，则 A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 7. 已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某同学利用二分法求函数零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ） A. 2.49 B. 2.52 C. 2.55 D. 2.58 10. 已知函数，，恒成立，则（ ） A. 是偶函数 B. 上单调递增 C. 可以取 D. 当时，的取值范围是 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，则的值可能是2024（注：） D. 当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的对称中心为______； 13. 若，，且，，则______； 14. 已知函数，的零点分别为，，且，，则______；若恒成立，则整数的最大值为______.（参考数据：，，，.） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. （1）求； （2）求的值. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递减区间； （2）若，求在上的值域. 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 18. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数. （1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围. （2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由. 19. 已知函数是偶函数，是自然对数的底数， （1）求的最小值； （2）当时， （i）令，，求的值域； （ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $