精品解析：山东省济南市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024年八年级区域教育质量监测 数学 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可得解． 【详解】解：， ， 的平方根是． 故选：A． 2. 下列描述中，能确定位置的是（ ） A. 济南市泉城路 B. 电影院1号厅2排 C. 北纬，东经 D. 南偏西 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【详解】解：A、济南市泉城路，不能确定具体位置，故本选项不合题意； B、电影院1号厅2排，不能确定具体位置，故本选项不合题意； C、北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； D、南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由得到，则，由得到，最后由可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的即， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用开平方的定义、等式的性质、平行线的性质及直角三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、如果，那么，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、如果，那么，正确，是真命题，符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、在中，若，则不是直角三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心为半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，先由A、B的坐标得到，进而利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再求出的长即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故选：B. 6. 《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设合伙人数为x人，金价y，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱． ∵每人出钱400，会多出3400， ∴； ∵每人出钱300，会多出100， ∴． 联立两方程组成方程组得：， 故选：A． 7. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先利用一次函数的性质确定k，b的取值是关键．根据一次函数的性质确定k，b的符号，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：C． 8. 如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，由折叠可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为， 故选：C 9. 某超市的某种水果一周内每天的进价与售价信息和实际每天的销售量情况如下： 该种水果一周内实际销售量统计表 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 销售量（） 30 40 35 30 50 60 50 下列说法不正确的是（） A. 销售该种水果周一的利润最小 B. 销售该种水果周日的利润最大 C. 该种水果一周中每天的售价组成的这组数据的众数是5 D. 该种水果一周中每天的进价组成的这组数据的中位数是3.6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查折线统计图，中位数及众数，关键是根据折线图得出信息进行解答．根据折线图得出信息进行判断即可． 【详解】解：该商品周一的利润为45元，周二的利润为72元，周三的利润为77元，周四的利润为60元，周五的利润为70元，周六的利润为120元，周日的利润为90元， A．该商品周一的利润45元，最小，原说法正确，不符合题意； B．该商品周六的利润120元，最大，原说法错误，符合题意； C．一周中该商品每天售价组成的这组数据的众数是5，原说法正确，不符合题意； D．一周中的该商品每天进价组成的这组数据的中位数是3.6，原说法正确，不符合题意． 故选：B． 10. 坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论． 【详解】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢）， 设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 比大且比小的整数是______（写出一个即可）． 【答案】3、4（任写一个即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比大且比小的整数是3和4， 故答案为：3、4（任写一个即可）． 12. 甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 9.5 9.3 9.5 0.033 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题重点考查方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙的平均值最大，都是9.5， ∴从甲，丙中选取， ∵甲的方差是，丙的方差是， ∴甲的方差大于丙的方差， ∴发挥最稳定的运动员是丙， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙． 故答案为：丙． 13. 直线与交点的纵坐标为4，则关于、的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线交点坐标与二元一次方程之间的关系，两直线的交点的横纵坐标是对应二元一次方程组的解，据此可得方程组中，再求出方程组中x的值即可得到答案． 【详解】解：∵与交点的纵坐标为4， ∴关于、的二元一次方程组中的y的值为4， 把代入到中，解得， ∴关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 14. 为丰富学生课余生活，增强学生体质，学校开展了趣味体育闯关赛，设计了4个活动项目，规则见下图： 若小明参与了所有活动，共闯关成功两个，且他参与的第四个活动闯关成功，则小明最终剩下的“闯关币”数量的所有可能取值为______． 【答案】2或3或4 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解活动规则是解题的关键．根据规则列式计算． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2或3或4． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，根据相应的运算法则计算即可． （1）利用平方差公式和二次根式的性质计算即可； （2）利用二次根式的性质化简、二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 16. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查了解二元一次方程组； （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元后解方程组即可． 【小问1详解】 解： 代入得：， 解得： 把代入①得： ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理得： ③ 得： 把代入②得， 解得： ∴方程组的解为 17. 如图，在中，点、点分别为、上一点，平分，，． （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质和三角形内角和定理： （1）根据平行线的性质和已知条件证明，则可证明； （2）根据三角形外角的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 18. 在平面直角坐标系中，，，，与关于轴成轴对称． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）判断的形状并说明理由； （3）连接、，求四边形的面积． 【答案】（1）如图所示，即为所求 （2）是直角三角形， 理由如下：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换、勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据轴对称的性质，找到关于轴的对称点，顺次连接，即可求解； （2）根据已知点的坐标，分别求得，进而根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解； （3）根据四边形的面积为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接、， 四边形的面积为 19. 蔬菜种植是农业经济的重要组成部分，其产量的数据分析可优化农业种植决策，促进农业的可持续发展．某社团对2024年上半年20个地区蔬菜产量进行了调查，获得了各地区蔬菜产量（蔬菜产量用表示，单位：万吨）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：51，56，56，54，55，58． b．不完整的2024年上半年蔬菜产量的频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）请补全频数直方图； （2）C组数据的众数是______； （3）这20个地区2024年上半年蔬菜产量的中位数是______； （4）2024年上半年各组蔬菜平均产量如下表： 组别 A B C D E 平均产量（万吨） 35 43 55 68 74 求这20个地区2024年上半年蔬菜的平均产量． 【答案】（1）补全频数直方图如下； （2）56 （3）56 （4）万吨． 【解析】 【分析】（1）用B组圆心角占比乘以总个数得到C组的个数，再求出D组的数据个数，补全频数直方图即可； （2）C组数据中出现次数最多的是56，即可求出众数； （3）根据中位数的定义可得出中位数为第10和11个数的平均数，第10和11个数均在组，求解即可； （4）根据加权平均数的求解方法计算即可． 【小问1详解】 解：B组的地区个数为， D组的地区个数为， 【小问2详解】 C组数据中出现次数最多的是56，故C组数据的众数是56， 故答案为：56 【小问3详解】 20个地区2024年上半年蔬菜产量由高到低排列后，处在中间位置的两个数据是第10个和第11个数据，是C组数据从小到大排列后的第4个和第5个，即51，54，55，56，56， 58中的56，56，故这20个地区2024年上半年蔬菜产量的中位数是， 故答案为： 【小问4详解】 （万吨） 答：这20个地区2024年上半年蔬菜的平均产量为万吨． 【点睛】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图的相关知识，涉及求扇形所对的圆心角的度数，画频数分布直方图，求中位数、众数和平均数，熟练掌握知识点，并能够从题目中获取信息是解题的关键． 20. “泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． （1）绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ （2）某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 【答案】（1）绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元 （2）分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元，根据2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元列出方程组求解即可； （2）设购买绢布扇m个，购买手账本n个，根据总费用为110元列出方程求出m、n的值，再求出的最大值即可得到结论． 【小问1详解】 解：设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元； 【小问2详解】 解：设购买绢布扇m个，购买手账本n个， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都为自然数， ∴当时，； 当时，； ∵， ∴分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多． 21. 某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： （1）根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； （2）根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 【答案】（1）， （2）①, B套餐的大致图象如图； ； ②B； ③使用B种套餐流量更多，理由： 当时，A套餐，，， B套餐，，， ∴使用B种套餐流量更多 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用， （1）分别根据两种套餐求出费用即可； （2）①分两种情况求出函数解析式，画出函数图象即可；②根据图象回答问题即可；③分别求出当时，A套餐的流量为，B套餐，比较后后即可得到答案． 【小问1详解】 按A套餐：（元）， 按B套餐：元， 故答案为：， 【小问2详解】 ①解：当时，； 当时，； ∴ ②由图象可知，若她某月使用流量为，则使用B套餐月资费更少； 故答案为：B ③略． 22. 【课本再现】 北师大版八年级上册第七章《平行线的证明》习题7.7第3题中，研究了这类图形中角之间的数量关系．某数学兴趣小组对这类图形进行深入探究． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点为线段上一点，连接和． ①若，，，则______； ②证明：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，分别以直角边和斜边为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，． ①判断，的位置关系并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①； ②证明：， ， ①， ②， ②①得，， ． （2）①， 理由：延长交于， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）①根据三角形外角的性质即可得到结论； ②根据垂直的定义得到，根据勾股定理即可得到结论； （2）①延长交于，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，于是得到； ②根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，由（1）的结论即可得到答案． 【详解】解（1）①：，， ， ， 故答案为：； ②略； （2）①略； ②在中，，， ， ， ， 由（1）知，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线∥y轴，直线交直线于点，交直线于点． （1）求直线的函数表达式； （2）当时，求的面积； （3）连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，求出直线的关系式，再求出点，然后根据待定系数法求出直线的关系式； （2）先设点，可表示，再根据纵坐标的差表示，然后根据，求出m的值，接下来分两种情况求出，即可得出面积； （3）过点A作于点H，过点H作轴于点K，过点B作于点T，先说明是等腰直角三角形，接下来证明，即可得出点，再求出直线的关系式，然后得出点，进而得出答案． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点． 将点和点代入直线的关系式，得 ， 解得， 所以直线的关系式； 【小问2详解】 解：设，则， ∴． ∵， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴． 综上所述，的面积是或； 【小问3详解】 解：过点A作于点H，过点H作轴于点K，过点B作于点T， ∵点， ∴， ∴， ∴． ∴， 即． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 由点，可知直线的关系式：． 当时，， ∴． 在中，当时，， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形式解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年八年级区域教育质量监测 数学 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 下列描述中，能确定位置的是（ ） A. 济南市泉城路 B. 电影院1号厅2排 C. 北纬，东经 D. 南偏西 3. 光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D. 在中，若，则是直角三角形 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心为半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 某超市的某种水果一周内每天的进价与售价信息和实际每天的销售量情况如下： 该种水果一周内实际销售量统计表 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 销售量（） 30 40 35 30 50 60 50 下列说法不正确的是（） A. 销售该种水果周一的利润最小 B. 销售该种水果周日的利润最大 C. 该种水果一周中每天的售价组成的这组数据的众数是5 D. 该种水果一周中每天的进价组成的这组数据的中位数是3.6 10. 坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 比大且比小的整数是______（写出一个即可）． 12. 甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 9.5 9.3 9.5 0.033 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是______． 13. 直线与交点的纵坐标为4，则关于、的二元一次方程组的解为______． 14. 为丰富学生课余生活，增强学生体质，学校开展了趣味体育闯关赛，设计了4个活动项目，规则见下图： 若小明参与了所有活动，共闯关成功两个，且他参与的第四个活动闯关成功，则小明最终剩下的“闯关币”数量的所有可能取值为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点、点分别为、上一点，平分，，． （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）求的度数． 18. 在平面直角坐标系中，，，，与关于轴成轴对称． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）判断的形状并说明理由； （3）连接、，求四边形的面积． 19. 蔬菜种植是农业经济的重要组成部分，其产量的数据分析可优化农业种植决策，促进农业的可持续发展．某社团对2024年上半年20个地区蔬菜产量进行了调查，获得了各地区蔬菜产量（蔬菜产量用表示，单位：万吨）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：51，56，56，54，55，58． b．不完整的2024年上半年蔬菜产量的频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）请补全频数直方图； （2）C组数据的众数是______； （3）这20个地区2024年上半年蔬菜产量的中位数是______； （4）2024年上半年各组蔬菜平均产量如下表： 组别 A B C D E 平均产量（万吨） 35 43 55 68 74 求这20个地区2024年上半年蔬菜的平均产量． 20. “泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． （1）绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ （2）某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 21. 某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： （1）根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； （2）根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 22. 【课本再现】 北师大版八年级上册第七章《平行线的证明》习题7.7第3题中，研究了这类图形中角之间的数量关系．某数学兴趣小组对这类图形进行深入探究． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点为线段上一点，连接和． ①若，，，则______； ②证明：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，分别以直角边和斜边为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，． ①判断，的位置关系并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线∥y轴，直线交直线于点，交直线于点． （1）求直线的函数表达式； （2）当时，求的面积； （3）连接，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $