精品解析：辽宁省沈阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题

2025年沈阳市高中三年级教学质量监测（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，答题用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，写在答题卡上的非答题区域无效． 4．必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断. 【详解】因为定义域为，且， 所以是奇函数，故排除BC， 又，则，故排除D， 故选：A 3. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列和常数数列的性质，分别从充分性和必要性两个方面分析即可. 【详解】当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件； 当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件. 综上可知：是的充分不必要条件. 故选：A 4. 若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形，再逐项判断得解. 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整理齐次式方程，利用同角平方式整理方程，根据二倍角公式，结合角的取值范围，可得答案. 【详解】由，则， 可得， 化简可得，由角为锐角，则， 由，整理可得， 分解因式可得， 由角为锐角，解得. 故选：B. 6. 已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标表示，结合基本不等式求出最大值及最小值即得. 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 8. 三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取的中点，且,进而得出三棱锥的外接球的球心，再计算体积得出，最后计算外接球的表面积即可. . 【详解】 取的中点，因为，连接，所以,三棱锥的外接球的球心， 因为和都是等边三角形，设， 因为平面，所以平面， 所以，所以是直角三角形； 又因为， 所以所以外接球的表面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知，则中至少有一个为0 D. 袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的概念，可判断A的真假；利用“插空法”判断B的真假；根据复数的运算，判断C的真假；根据超几何分布的表示方法判断D的真假. 【详解】对A：家庭由两个小孩的样本空间为：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），已知两个小孩中有女孩的条件下，样本空间为：（男，女），（女，男），（女，女），所以两个小孩中有男孩的概率为，而不是，故A错误； 对B：问题相当于在7盏亮的路灯间插入3盏不亮的灯，7盏灯之间有6个空，所以满足条件的不同的关灯方法有：种，故B正确； 对C：设，，由，得：，即. 当时，则，若，则；若，则，即. 当时，由①得：，代入②得：，所以，，即. 所以中至少有一个为0，故C正确； 对D：超几何分布，其中是总体个数，是总体中的黑球数，是抽取的个数，所以黑球个数，故D正确. 故选：BCD 10. 已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先确定椭圆的基本参数，根据，，结合二次函数的值域，可判断A的真假；取特殊点，可判断B的真假；数形结合，可判断C的真假；根据，可判断D的真假. 【详解】对椭圆，易得，，，因为为短轴的一个端点，不妨设.设为椭圆上一点. 对A选项：因为，所以，且. 所以. 所以当时，取得最小值1，；当时，取得最大值4.所以.故A正确； 对B选项：当点与点重合时，，， ，所以不正确，故B错误； 对C选项：显然，因为，所以当，，三点共线时，，所以错误，故C错误； 对D选项：设，又，所以，. 又. 又. 所以成立，故D正确. 故选：AD 11. 对于函数，下列结论中正确的是（ ） A. 任取，都有 B. ，其中 C. 对一切恒成立 D. 方程有两个相异实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析函数的性质并作出图象，利用其图象性质，结合数列相关知识逐项分析判断即可. 【详解】当时，函数在时取最大值1，在时取最小值， 当时，可视为的图象向右每2个单位一平移， 其函数值为相邻上一个区间对应值的，因此， 作出函数的图象，如图， 对于A，当时，，任取， ，A正确； 对于B，，数列是 以为首项，为公比的等比数列，， 因此，B错误； 对于C，由，得，则，， 因此，C正确； 对于D，方程有两个相异实根，则， 由，解得或，于是， 所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题选项BC，利用函数的性质，构造数列，再利用数列相关知识求解是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线被圆截得的最短弦长为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长，计算即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径， 过定点 则圆心到直线的距离为， 可得截得弦长为， 弦长取得最小值时，. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】分析数列的单调性，确定时，的值，即可求的最大值. 【详解】因为为等比数列，且，所以， 由. 所以， 所以为的最大值，且. 故答案为：8 14. 若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据基本（均值）不等式求出的取值范围，再结合对变形成，设函数，则问题转化成函数在给定区间上的最小值问题.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为x，y为正实数，且， 所以，且（当且仅当时取“”）. 又因为. 设函数（）.问题转化为求函数的最小值. 因为， 由，又，所以； 由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化成函数求最小值问题，还要结合基本不等式，确定所设函数的定义域. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． （1）求的长； （2）求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据条件求角，结合平面向量的数量积求的长. （2）设，利用列式可求的长. 【小问1详解】 由 所以，又，所以. 因为为中点，所以， 所以. 所以，即. 【小问2详解】 因为平分，所以. 设， 由. 所以. 故. 16. 已知平行六面体的底面为正方形，所有棱长为2，点和O分别为上、下底面的中心，且． （1）求证：平面平面ABCD； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理，利用线面垂直判定以及面面垂直判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用面面角的夹角向量公式，可得答案. 【小问1详解】 连接，如下图： 由平行六面体的棱长为，则， 在中，由，则， 同理可得， 在正方形中，由，则为的中点，易知， 在中，由，则， 在中，易知， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知平面，因为平面中，所以，， 在正方形中，易知，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，， 在平面中，取，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量； 在平面中，取，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量. 设平面与平面所成角为，则. 17. 函数﹒ （1）当时，求函数的极值和极值点； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）极大值点，极大值；极小值点，极小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，并把代入，利用导数求出极值点及对应的极值. （2）由（1）中导数，按分类讨论函数在上的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，，， 由，得或，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数极大值点为，极大值为；极小值点为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，由，得，函数在上单调递增， 则当时，，即不等式在恒成立，因此； 当时，由，得或， ①当，即时，，恒有成立， 函数在上单调递增，不等式在恒成立，因此； ②当，即时，恒有成立，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，不等式在恒成立，因此； ③当，即时，而，， 函数在区间上单调递减，，，不符合题意， 所以实数a的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比． （1）已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程； （2）已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程； （3）已知抛物线作“伸缩变换” ，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列通项公式． 【答案】（1） （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可； （2）先由伸缩变换求得方程，分别与射线联立方程求A、B坐标，根据两点距离公式解方程即可； （3）由伸缩变换的定义计算，结合条件及累乘法，等差数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 由条件得，整理得，所以的方程为； 【小问2详解】 因为，关于原点“伸缩变换”， 对作变换，得， 联立，解得点的坐标为， 联立，解得点的坐标为， 所以，所以或， 所以或； 因此椭圆的方程为或； 【小问3详解】 对作变换， 得抛物线，得， 又因，所以，即， 当时，， 得，适用上式， 所以数列的通项公式. 【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，学会将已经学习过的知识方法迁移到新的问题中. 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【小问1详解】 因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . 小问2详解】 ①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. 【小问3详解】 由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年沈阳市高中三年级教学质量监测（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，答题用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，写在答题卡上的非答题区域无效． 4．必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知，则中至少有一个为0 D. 袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数X，则 10. 已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列结论中正确的是（ ） A 任取，都有 B. ，其中 C. 对一切恒成立 D. 方程有两个相异实根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线被圆截得的最短弦长为，则______． 13. 已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为_______． 14. 若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． （1）求的长； （2）求的长. 16. 已知平行六面体的底面为正方形，所有棱长为2，点和O分别为上、下底面的中心，且． （1）求证：平面平面ABCD； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 函数﹒ （1）当时，求函数的极值和极值点； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 18. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比． （1）已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程； （2）已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程； （3）已知抛物线作“伸缩变换” ，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列的通项公式． 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$