江西省南昌市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年江西省南昌市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卷上） 1．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝2a5 B．（a2）3＝a5 C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．a9÷a﹣3＝a12 3．（3分）把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，分式的值也扩大3倍，则在□中添加的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 4．（3分）如图，CA平分∠BCD，BC＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠CAE＝55°，则∠BAE的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 5．（3分）小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．180° B．240° C．270° D．300° 6．（3分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图所示的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，面积记为S1，图中小正方形的面积记为S2．若S1＝8S2，则＝（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）北斗卫星导航系统（BDS）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到0.00000001秒．将0.00000001用科学记数法可表示为　 　． 8．（3分）平面直角坐标系中，点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 9．（3分）计算：＝　 　． 10．（3分）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 　 　． 11．（3分）已知2m＝a，8n＝b，m，n为正整数，则22m+3n＝　 　． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝100°，若P是AB或AC上一点，当△DEP是以EP为底的等腰三角形时，则∠EDP的度数为　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）计算： （1）（﹣1）2025+（π﹣3）0﹣2﹣1； （2）（16a3﹣8a2+4a）÷4a． 14．（6分）先化简，然后在﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 15．（6分）解分式方程：． 16．（6分）如图，两个正方形边长分别为m，n． （1）求阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）； （2）当m+n＝8，mn＝12时，求此时阴影部分的面积的大小． 17．（6分）如图是8×7的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中过点A作AB的垂线l； （2）在图2的AC上找一点D，使得∠ABD＝45°． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A，B两种奖品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍． （1）求奖品A，B的单价分别是多少元？ （2）根据学校实际情况，计划购买A，B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要购买多少件？ 19．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E． （1）如图1，若AD＝1.5，DE＝0.7，求BE的长； （2）如图2，∠ACB的平分线与BE的延长线交于点F，连接AF，AF的延长线与CE的延长线交于点G，若∠GAD＝50°，求∠B的度数． 20．（8分）数学小组在研究式子M2﹣N2时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： 112﹣112＝0① 212﹣122＝1×3×99② 322﹣232＝1×5×99③ 422﹣242＝2×6×99④ 根据上述规律解决下列问题： （1）填空：522﹣252＝　 　×7×99； （2）若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； （3）小智发现某一式子M2﹣N2（M≠N）的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，在AB的右侧作等边三角形ABD． （1）若∠CAD＝30°，求∠CBD的度数； （2）试判断∠CAD与∠CBD的数量关系，并说明理由； （3）如图2，作点D关于直线BC的对称点E，连接DE，CE，试判断∠BAC与∠ACE的数量关系，并证明． 2024-2025学年江西省南昌市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C C B D 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卷上） 1．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣1≠0． 解得；x≠1． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝2a5 B．（a2）3＝a5 C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．a9÷a﹣3＝a12 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意； C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项不符合题意； D、a9÷a﹣3＝a12，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（3分）把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，分式的值也扩大3倍，则在□中添加的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【分析】运用分数的基本性质进行变形求解． 【解答】解：∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ＝＝， ∴选项A不符合题意； ∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ＝＝， ∴选项B不符合题意； ∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ＝＝3×， ∴选项C符合题意； ∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ＝＝， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了分式基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识对分式进行正确地变形． 4．（3分）如图，CA平分∠BCD，BC＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠CAE＝55°，则∠BAE的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【分析】由CA平分∠DCB，得∠ACB＝∠ACD，即可证明△ACB≌△ACD，得∠B＝∠D，所以∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD＝∠EAC＝55°，则∠BAC＝125°，所以∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝70°． 【解答】解：∵CA平分∠DCB， ∴∠ACB＝∠ACD， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， ∴∠B＝∠D， ∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD， ∵∠EAC＝∠D+∠ACD＝55°， ∴∠B+∠ACB＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝125°﹣55°＝70°， 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ACB≌△ACD是解题的关键． 5．（3分）小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．180° B．240° C．270° D．300° 【分析】根据三角形内角和定理得出∠BMC＝180°﹣（∠B+∠C），∠ANM＝180°﹣（∠D+∠E），结合对顶角相等得出∠AMN＝∠BMC，∠ANM＝∠DNE，在△AMN中，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【解答】解：如图， 在△BCM中，∠B+∠C+∠BMC＝180°， ∴∠BMC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵∠AMN＝∠BMC， ∴∠AMN＝180°﹣（∠B+∠C）， 在△DEN中，∠D+∠E+∠DNE＝180°， ∴∠DNE＝180°﹣（∠D+∠E）， ∵∠ANM＝∠DNE， ∴∠ANM＝180°﹣（∠D+∠E）， 在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM＝180°， ∴∠A+180°﹣（∠B+∠C）+180°﹣（∠D+∠E）＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+180°， ∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝240°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 6．（3分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图所示的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，面积记为S1，图中小正方形的面积记为S2．若S1＝8S2，则＝（　　） A．2 B． C． D． 【分析】结合图形面积公式和完全平方公式进行列式、求解． 【解答】解：由题意得， （a+b）2＝8（a﹣b）2， 即a2+2ab+b2＝8（a2﹣2ab+b2）， 整理，得18ab＝7（a2+b2）， ∴＝， ∴＝＝， 故选：D． 【点评】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识和数形结合思想． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）北斗卫星导航系统（BDS）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到0.00000001秒．将0.00000001用科学记数法可表示为　1×10﹣8　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00000001＝1×10﹣8． 故答案为：1×10﹣8． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．（3分）平面直角坐标系中，点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标是 　（1，﹣3）　． 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【解答】解：点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣3）， 故答案为：（1，﹣3）． 【点评】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律． 9．（3分）计算：＝　　． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：•＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 10．（3分）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 　220　． 【分析】根据题干条件代值即可． 【解答】解：由题意可得U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220． 故答案为：220． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键． 11．（3分）已知2m＝a，8n＝b，m，n为正整数，则22m+3n＝　a2b　． 【分析】将22m+3n变形为（2m）2•8n，然后代入计算即可． 【解答】解：∵2m＝a，8n＝b， ∴22m+3n＝22m•23n＝（2m）2•（23）n＝（2m）2•8n＝a2b，故答案为：a2b． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝100°，若P是AB或AC上一点，当△DEP是以EP为底的等腰三角形时，则∠EDP的度数为　20°或60°或80°　． 【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∠AED＝100°， ∴∠EDB＝60°，∠C＝∠B＝40°， ∵当△DEP是以EP为底的等腰三角形时， 当点P在AB上时， ∵DE＝DP1， ∴∠DP1E＝∠BED＝180°﹣100°＝80°， ∴∠EDP1＝180°﹣80°﹣80°＝20°， 当点P在AC上时， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， 过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， ∴DG＝DH， 在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ， ∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL）， ∴∠CP2D＝∠BED＝80°， ∵∠EDG＝∠P2DH＝90°﹣80°＝10°， ∵DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∠C＝∠B＝40°， ∴∠CDH＝∠BDG＝50°， ∴∠EDP2＝180°﹣2×50°﹣2×10°＝60°， 当点P在AC上时， 同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL）， ∴∠EDG＝∠P3DH＝10°， ∴∠EDP3＝∠EDP2+∠P3DH+∠P2DH＝80°， 故答案为：20°或60°或80°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）计算： （1）（﹣1）2025+（π﹣3）0﹣2﹣1； （2）（16a3﹣8a2+4a）÷4a． 【分析】（1）先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣1）2025+（π﹣3）0﹣2﹣1 ＝ ＝； （2）（16a3﹣8a2+4a）÷4a ＝16a3÷4a﹣8a2÷4a+4a÷4a ＝4a2﹣2a+1． 【点评】本题考查了整式的除法，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（6分）先化简，然后在﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件把x＝0代入计算即可． 【解答】解：原式＝• ＝• ＝， ∵x﹣1≠0且x+1≠0且x﹣2≠0， ∴x可以取0， 当x＝0时，原式＝＝﹣． 【点评】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 15．（6分）解分式方程：． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：方程去分母得：得x+1﹣x+2＝﹣3x， 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入x﹣2得：x﹣2≠0． 所以，原分式方程的解为 x＝﹣1． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 16．（6分）如图，两个正方形边长分别为m，n． （1）求阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）； （2）当m+n＝8，mn＝12时，求此时阴影部分的面积的大小． 【分析】（1）根据S阴影部分＝S△ADC﹣S△AEF进行解答即可； （2）将S阴影部分＝化为[（m+n）2﹣3mn]再代入计算即可． 【解答】解：（1）如图，S阴影部分＝S△ADC﹣S△AEF ＝m2﹣n（m﹣n） ＝； （2）∵m+n＝8，mn＝12， ∴S阴影部分＝； ＝（m2﹣mn+n2） ＝（m2+2mn+n2﹣3mn） ＝[（m+n）2﹣3mn] ＝×（64﹣3×12） ＝14． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 17．（6分）如图是8×7的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中过点A作AB的垂线l； （2）在图2的AC上找一点D，使得∠ABD＝45°． 【分析】（1）取格点H，作直线AH即可； （2）构造等腰直角三角形ABT，BT交AC于点D，点D即为所求． 【解答】解：（1）如图，直线l即为所求； （2）如图，点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A，B两种奖品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍． （1）求奖品A，B的单价分别是多少元？ （2）根据学校实际情况，计划购买A，B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要购买多少件？ 【分析】（1）设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即奖品A的单价），再将其代入（x+10）中，即可求出奖品B的单价； （2）设购买m件奖品A，则购买（60﹣m）件奖品B，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是（x+10）元， 根据题意得：， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝15+10＝25（元）． 答：奖品A的单价是15元，奖品B的单价是25元； （2）设购买m件奖品A，则购买（60﹣m）件奖品B， 根据题意得：15m+25（60﹣m）≤1100， 解得：m≥40， ∴m的最小值为40． 答：奖品A至少需要购买40件． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E． （1）如图1，若AD＝1.5，DE＝0.7，求BE的长； （2）如图2，∠ACB的平分线与BE的延长线交于点F，连接AF，AF的延长线与CE的延长线交于点G，若∠GAD＝50°，求∠B的度数． 【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“AAS”可证△BCF≌△ACF，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠E＝90°． ∴∠A+∠ACD＝90° ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90° ∴∠A＝∠BCE． 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）． ∴CD＝BE，AD＝CE． ∵AD＝1.5，DE＝0.7， ∴BE＝0.8． （2）∵CF平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF． ∵AC＝BC， ∴△BCF≌△ACF（AAS）． ∴∠B＝∠CAF． 由（1）△ACD≌△CBE 可得∠B＝∠ACD． ∴∠CAF＝∠ACD． ∵∠GAD＝50°，∠ADC＝90°， ∴∠G＝40°， ∴∠GCA＝70°． ∴∠B＝70°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，由“AAS”可证△ADC≌△CEB是本题的关键． 20．（8分）数学小组在研究式子M2﹣N2时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： 112﹣112＝0① 212﹣122＝1×3×99② 322﹣232＝1×5×99③ 422﹣242＝2×6×99④ 根据上述规律解决下列问题： （1）填空：522﹣252＝　3　×7×99； （2）若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； （3）小智发现某一式子M2﹣N2（M≠N）的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）用含a，b的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可． （3）根据题意建立关于a，b的等式，再进行分析即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为112﹣112＝0×2×99＝（1﹣1）×（1+1）×99， 212﹣122＝1×3×99＝（2﹣1）×（2+1）×99， 322﹣232＝1×5×99＝（3﹣2）×（3+2）×99， 422﹣242＝2×6×99＝（4﹣2）×（4+2）×99， 所以522﹣252＝（5﹣2）×（5+2）×99＝3×7×99． 故答案为：3． （2）我发现的规律是：（10a+b）2﹣（10b+a）2＝（a﹣b）×（a+b）×99． 证明如下： 左边＝100a2+20ab+b2﹣100b2﹣20ab﹣a2 ＝99（a2﹣b2） ＝（a﹣b）×（a+b）×99 ＝右边， 故此等式成立． （3）因为M2﹣N2（M≠N）的结果恰好是一个整数的平方， 所以99（a﹣b）（a+b）是一个整数的平方． 因为99（a﹣b）（a+b）＝9×11×（a﹣b）（a+b）， 又因为1≤a，b≤9， 所以， 解得， 所以M＝6×10+5＝65． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，在AB的右侧作等边三角形ABD． （1）若∠CAD＝30°，求∠CBD的度数； （2）试判断∠CAD与∠CBD的数量关系，并说明理由； （3）如图2，作点D关于直线BC的对称点E，连接DE，CE，试判断∠BAC与∠ACE的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据全等三角形的性质性质及等腰三角形的性质即可解答； （2）设∠CAD＝α，根据全等三角形的性质性质及等腰三角形的性质即可解答； （3）连接CD，BE，根据题意及全等三角形的性质，证明△BDE≌△ACD（SAS），得到△CDE 为等边三角形，则∠DCE＝60°，设∠BAC＝β，则∠CAD＝60°﹣β，利用等腰三角形的性质即可解答； 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAD＝∠ABD＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝75°， ∴∠CBD＝75°﹣60°＝15°； （2）∠CAD＝2∠CBD，理由如下： 设∠CAD＝α， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAD＝∠ABD＝60°， ∴∠BAC＝60°﹣α， ∵AB＝AC， ∴， ∴， ∴∠CAD＝2∠CBD； （3），证明如下： 如图，连接CD，BE， ∵点D与点E关于BC对称， ∴△BDC≌△BEC． ∴∠DBC＝∠EBC，BD＝BE， 由（2）可知∠CAD＝2∠CBD， ∴∠DBE＝∠CAD， ∵AB＝AC，△ABD为等边三角形， ∴BD＝AD，BD＝BE， ∴△BDE≌△ACD（SAS）． ∴CD＝DE， ∴△CDE 为等边三角形， ∴∠DCE＝60°， 设∠BAC＝β，则∠CAD＝60°﹣β， ∵AC＝AD， ∴， ∴， 即． 【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$