2025年安徽省中考数学模拟卷04

2025年安徽中考数学模拟卷04解析 一、选择题（共40分） 1．（本题4分）4的倒数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行解答即可． 【详解】解：4的倒数是， 故选：B 2．（本题4分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．逐项分析即可． 【详解】解：A、 ，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 3．（本题4分）2024年10月18日，中国科学院计算技术研究所研究员、博士生导师王元卓教授做客“近光讲堂”．王元卓教授曾在科幻电影《流浪地球2》中担任科学顾问，面对女儿看完电影后提出的“十万个为什么”王教授设计了一套可爱又直观的手绘图，一经发出瞬间引爆全网，话题阅读量达到，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 4．（本题4分）如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可，注意看不见的棱用虚线表示． 【详解】 解：由图知，该几何体的左视图是， 故选：D． 5．（本题4分）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，列出方程为， 故选A． 6．（本题4分）某市招聘教师，规定将笔试和面试成绩按照计算总分并择优录取．小星本次参加测试的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，则小星最后得分是（   ） A．80分 B．85分 C．86分 D．90分 【答案】C 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可，熟练掌握加权平均数的计算公式计算是解决此题的关键． 【详解】由题意可知，小星最后得分是：（分）， 故选：C． 7．（本题4分）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（本题4分）在下列函数图像上任取不同的两点和，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 先判断各函数的增减性，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故A选项不符合题意； B、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故B选项不符合题意； C、，∴当时，y随x的增大而增大，即当时，必有，，故C选项不符合题意； D、∵，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，∴时，必有，，故D选项符合题意． 故选：D． 9．（本题4分）如图，在中，，点在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论： ①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 10．（本题4分）如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目． 先根据点D运动时，点P与点A重合．从而求得，再由函数图象求得，从而求得，得出，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．所以当时，点P在边上，此时，，根据三角形面积公式求得，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意知，点D运动时，点P，D的位置如图1所示． 此时，在中，，，， ∴， ∴． 由函数图象得， ∴， ∴． 由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值． 当时，点P在边上，如图2， 此时，， ∴． ∵， 又∵， ∴当时，的值最大， 此时． 故选：B． 二、填空题（共20分） 11．（本题5分）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解：； 故答案为： 12．（本题5分）如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点，以为边在的左侧作菱形，顶点，在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数图象和性质，勾股定理， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键； 根据题意可求出点的坐标，进而求得的长，即可求解； 【详解】解：过点作轴，交反比例函数的图象于点， 则点的横坐标为， 将代入反比例函数上， 可得：， 故点， 因为是菱形， 在中，， ； 故点坐标为：； 故答案为： 13．（本题5分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，，则，依题意，，根据题意得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：设，，则 依题意， ∵的面积是的倍， ∴，即 ∴ 即（负值舍去） ∵小正方形的面积是， ∴ ∴ ∴ ∴大正方形的面积 故答案为：． 14．（本题5分）已知，是二次函数图象上两个不同的点． （1）若，，则实数a的值是 ； （2）若，当时，恒有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）利用抛物线的对称性即可得出对称轴为直线，且，即可求解； （2）根据题意可得，均位于抛物线对称轴的右侧，即，且，即可求解得到a的取值范围． 【详解】（1）∵，是二次函数图象上两个不同的点，且 ∴，关于抛物线的对称轴对称 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． （2）由题意知，抛物线的对称轴是直线 ∵当，时，恒有 ∴，均位于抛物线对称轴的右侧 ∴ 解得 即实数a的取值范围为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（共90分） 15．（本题8分）计算： 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的混合运算，涉及二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 首先化简二次根式、计算绝对值，特殊角的三角函数值，然后进行合并计算即可． 【详解】解：原式 16．（本题8分）（1）解不等式：． （2）解不等式组并写出它的整数解： 【答案】（1），（2），整数解为：，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式、一元一次不等式组的知识， （1）先去分母，移项合并同类项，系数化为1，即可作答； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，问题随之得解． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 则整数解为：，，． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（A，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（A，，的对应点分别是，，）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）先根据位似图形性质得到A、C的对应点、，然后顺次连接即可； （2）根据旋转性质找到A、B、C对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 18．（本题8分）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是……按照此规律，回答下列问题． (1)第10个结构式的分子式是 (2)第n个结构式的分子式是 (3)试通过计算，说明分子式为的化合物是否属于上述的碳氢化合物？ 【答案】(1) (2) (3)属于 【分析】本题考查了图形的规律变化，根据题意观察图形的变化规律是解题的关键． （1）观察前3个碳氢化合物的结构式，发现第几个结构式就有几个C，且H的个数比C的个数的2倍多2个，由此规律即可解答． （2）由（1）的观察规律，用n表示分子的结构式即可； （3）代入验证的值是否为即可解答． 【详解】（1）解：观察前3个碳氢化合物的结构式，发现第几个结构式就有几个C，且H的个数比C的个数的2倍多2个， 则第10个结构式有10个C，有个H， 第10个结构式的分子式是． 故答案为：． （2）由（1）得，第几个结构式就有几个C，且H的个数比C的个数的2倍多2个， 第n个结构式的分子式是． 故答案为：． （3）令时，则， 分子式为的化合物属于上述的碳氢化合物． 19．（本题10分）甘州木塔（图1）于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一，某校实践小组把“测量甘州木塔高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案． 活动课题 测量甘州木塔高度 工具 无人机 示意图 说明 如图2，用无人机在点C处测得木塔顶端A处的仰角为，木塔底端B处的俯角为，无人机距离木塔的水平距离为，木塔垂直于地面， A，B，C，D在同一平面内． 测量数据 ，，米． 请根据以上测量数据，计算甘州木塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据垂直的定义得到，在中，根据正切的定义可求出；在中，根据正切的定义可求出，即可求解． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 在中，， ， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， 即甘州木塔的高度为米． 20．（本题10分）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为3 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键． 21．（本题12分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； (2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 【答案】(1)20；18；36 (2)恰好都是女性的概率为． 【分析】本题考查了统计图、列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据统计图中的信息，列式计算即可； （2）由题意得，用现金支付方式的居民里有名女性，根据题意列出表格，结合表格再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：由统计图可得，本次调查的总人数为：， ， ， 在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为． 故答案为：20；18；36． （2）由题意得，用现金支付方式的居民共有5人， 用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性， 用现金支付方式的居民里有名女性， 设男性为、，女性为、、，列表得： 由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种， 恰好都是女性的概率． 答：恰好都是女性的概率为． 22．（本题12分）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可； （2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出； （3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明∶∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，正确的识别图形是解题的关键． 23．（本题14分）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． （1）根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可； （2）将代入抛物线解析式，求得值与2.24比较即可； （3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征来求解即可． 【详解】（1）解：由表格，可知抛物线顶点坐标为； 设与之间的函数关系式为． 将代入，得 ， 解得， 经检验，表格中其他数据也满足上述关系． 排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：； （2）能，理由如下： 当时，． ， 小华这次发球能过网； （3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 小华的击球点高度的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽中考数学模拟卷04 一、选择题（共40分） 1．（本题4分）4的倒数是（   ）A． B． C．2 D． 2．（本题4分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）2024年10月18日，中国科学院计算技术研究所研究员、博士生导师王元卓教授做客“近光讲堂”．王元卓教授曾在科幻电影《流浪地球2》中担任科学顾问，面对女儿看完电影后提出的“十万个为什么”王教授设计了一套可爱又直观的手绘图，一经发出瞬间引爆全网，话题阅读量达到，将用科学记数法表示应为（    ）A． B． C． D． 4．（本题4分）如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）某市招聘教师，规定将笔试和面试成绩按照计算总分并择优录取．小星本次参加测试的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，则小星最后得分是（   ） A．80分 B．85分 C．86分 D．90分 7．（本题4分）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ）A． B． C． D． 8．（本题4分）在下列函数图像上任取不同的两点和，一定能使成立的是（    ）A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在中，，点在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④ 10．（本题4分）如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题5分）因式分解： ． 12．（本题5分）如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点，以为边在的左侧作菱形，顶点，在轴上，则点的坐标为 ． 13．（本题5分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 14．（本题5分）已知，是二次函数图象上两个不同的点． （1）若，，则实数a的值是 ； （2）若，当时，恒有，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题（共90分） 15．（本题8分）计算： 16．（本题8分）（1）解不等式：． （2）解不等式组并写出它的整数解： 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（A，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（A，，的对应点分别是，，）． 18．（本题8分）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是……按照此规律，回答下列问题． (1)第10个结构式的分子式是 (2)第n个结构式的分子式是 (3)试通过计算，说明分子式为的化合物是否属于上述的碳氢化合物？ 19．（本题10分）甘州木塔（图1）于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一，某校实践小组把“测量甘州木塔高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案． 活动课题 测量甘州木塔高度 工具 无人机 示意图 说明 如图2，用无人机在点C处测得木塔顶端A处的仰角为，木塔底端B处的俯角为，无人机距离木塔的水平距离为，木塔垂直于地面， A，B，C，D在同一平面内． 测量数据 ，，米． 请根据以上测量数据，计算甘州木塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，） 20．（本题10分）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 21．（本题12分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； (2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 22．（本题12分）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 23．（本题14分）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$