第4章　平行四边形 习题课件 2024—2025学年 浙教版数学八年级下册

第4章　平行四边形 4.5　三角形的中位线 1. 连结三角形两边　　　　的线段叫做三角形的中位线.  2. 三角形的中位线　　　　第三边,并且等于第三边的　　　　. 中点 平行于 一半 1. (教材P99课内练习第2题变式)(2024·兰州)如图,小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离,他先在AB外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18m,由此估测A,B之间的距离约为 (　　) A. 18m B. 24m C. 36m D. 54m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点, AD=BC,连结PE,PF,EF.若∠PEF=30°,则∠PFE的度数为 (　　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点,则∠DEF的度数为　　　　.  　　 4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB, BC的中点.若EF=1,则AB的长为　　　　. 55° 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,连结OE.若OA= 1,△AOE的周长等于5,求▱ABCD的周长. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,AD=BC,OB= OD.∵ E为AD的中点,∴ AD=2AE,OE是△ABD的中位 线.∴ AB=2OE.∵ △AOE的周长等于5,∴ OA+AE+OE =5.∵ OA=1,∴ AE+OE=5-OA=5-1=4.∴ AB+AD=2OE+ 2AE=2(OE+AE)=8.∴ ▱ABCD的周长为2×(AB+AD)= 2×8=16 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. (教材P100作业题第2题变式)如图,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连结CD,DE,EF. (1) 求证:四边形CDEF是平行四边形; (1) ∵ D,E分别是AB,AC的中点,∴ DE是△ABC的中 位线.∴ DE∥BC,DE=BC.∵ CF=BC,∴ DE=CF.又 ∵ DE∥CF,∴ 四边形CDEF是平行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 求四边形BDEF的周长. (2) ∵ 四边形CDEF是平行四边形,∴ DC=EF.∵ D为 AB的中点,△ABC为等边三角形,且边长是2,∴ BD= AB=1,CD⊥AB,BC=2.∴ DE=CF=BC=1.在Rt△BCD 中,由勾股定理,得DC===.∴ EF=DC=.∴ 四边形BDEF的周长为DE+BD+BC+CF+EF=1+1+2+1+=5+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线BN垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线CM垂直于AD,垂足为M,连结MN.若BC=7,则MN的长为 (　　) A. B. 2 C. D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析:∵ ∠ABC的平分线BN垂直于AE,垂足为N,∴ ∠NBA=∠NBE, ∠BNA=∠BNE=90°.在△BNA和△BNE中,∴ △BNA ≌△BNE.∴ BA=BE,AN=EN.同理,可得CA=CD,AM=DM.∵ AN=EN,AM =DM,∴ MN是△ADE的中位线.∴ MN=DE.∵ △ABC的周长为19,BC= 7,∴ BA+CA=19-BC=19-7=12.∴ BE+CD=BA+CA=12.∴ DE=BE+CD-BC =12-7=5.∴ MN=DE=×5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,D,E分别为 AC,BC的中点,DE=2,过点B作BF∥AC,交DE的延长线于点 F,则四边形ABFD的面积为　　　　. 8 解析:∵ D,E分别为AC,BC的中点,∴ DE是△ABC的中位线,BE=BC.∴ DE∥AB,AB=2DE=4.又∵ BF∥AC,∴ 四边形ABFD是平行四边形.∵ ∠ABC=90°,∠C=30°,∴ 易得AC=2AB=8.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==4.∴ BE=BC=2.∴ S四边形ABFD=AB·BE=4×2 =8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结GH,GF,EH,EF.求证:四边形EFGH是平行四边形. 连结AC.∵ E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴ HG, EF分别是△ACD,△ABC的中位线.∴ HG∥AC,HG=AC, EF∥AC,EF=AC.∴ HG∥EF,HG=EF.∴ 四边形EFGH 是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 我们知道“连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”“三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半”.类似地,我们把连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点,那么EF是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC之间的位置关系和数量关系,并证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC)　如图,连结AF并延长,交BC的延长线于点G.∵ E,F分别是AB,CD的中点,∴ AE=BE,DF=CF.∵ AD∥BC,∴ ∠DAF =∠G.在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=CF,∴ △ADF≌△GCF.∴ AF=GF,AD=GC.又∵ AE=BE,∴ EF是△ABG的中位线.∴ EF∥BG,EF=BG=(GC+BC)=(AD+BC).∴ EF∥AD∥BC,EF= (AD+BC) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第4章　平行四边形 小专题(六)　与平行四边形相关的面积问题 类型一　借助平行四边形的中心对称性计算面积 1. 如图,在▱ABCD中,AC,BD为对角线,BC=3,边BC上的高为2,则涂色部分的面积为 (　　) A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 2. 如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF经过点O,分别交AD,BC于点E,F.如果图中涂色部分的面积是5cm2,那么▱ABCD的面积是　　　cm2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 10 类型二　利用“等底等高的两个三角形面积相等”计算面积 3. 如图,直线a∥b,点A,B,C在直线a上,点D,E,F在直线b上,AB=EF=2.若△CEF的面积为5,则△ABD的面积为 (　　) A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图,在▱ABCD中,P是AB上一点,E,F分别是BC,AD的中点,连结PE,PC, PD,PF.设▱ABCD的面积为m,则S△PCE+S△PDF的值为 (　　) A. m B. m C. m D. m A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,在▱ABCD中,E,F分别是边AB,DC上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q.若=8,=21,求图中涂色部分的面积. 连结EF.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB∥CD. ∴ △EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相 等.∴ S△EFC=S△BCF.∴ S△EFC-S△QCF=S△BCF-S△QCF, 即S△EQF=S△BQC.同理,可得S△EPF=S△APD.∵ S△APD=8, S△BQC=21,∴ S涂色=S△EPF+S△EQF=S△APD+S△BQC=8+21=29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型三　利用“平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形,这两个三角形的面积都等于平行四边形面积的一半”和“与平行四边形等底等高的三角形面积等于平行四边形面积的一半”计算面积 6. 如图,将▱ABCD和▱EFGH上下叠放,AD∥EH,AD=EH,连结CE,EG,CE交GH于点O.若S▱ABCD=a,S▱EFGH=b(a<b),则涂色部分的面积为 (　　) A. b-a B. (b-a) C. a D. b 第6题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为　　　　.  　　 8. 如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,BC=5,P是对角线AC上任意一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,连结EF交AC于点O,则涂色部分的面积是　　　　. 20 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图,过▱ABCD内任意一点P作各边的平行线,分别交AB,BC,CD,DA于点E,F,G,H,连结AF,AG,FG.求证:S▱ABCD-S四边形AEPH=2S△AFG. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB∥CD,AD∥BC. 由题意,得EG∥AD,HF∥AB.∴ AD∥EG∥BC,AB∥ HF∥CD.∴ 四边形AEGD,四边形FPGC,四边形ABFH 都是平行四边形.∴ S△AFG=S▱ABCD-(S△AGD+S△GFC+S△ABF) =S▱ABCD-(S▱AEGD+S▱FPGC+S▱ABFH)=S▱ABCD-(S▱ABCD+S四边形AEPH)=(S▱ABCD-S四边形AEPH).∴ S▱ABCD-S四边形AEPH=2S△AFG 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型四　巧设参数,借助面积公式及面积关系建立方程 10. 如图,四边形ABCD是平行四边形,面积是1.F为DC上一点,E为AB上一点,连结AF,BF,DE,CE,AF交DE于点G,EC交FB于点H.已知EB=4AE, △BHC的面积是,求△ADG的面积. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设AB的长为a,边AB上的高为h.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ ah=1, CD=AB=a.∵ EB=4AE,∴ AE=,BE=,h=.设△BEH的边BE上的高为h1,则S△BEH=BE·h1=S△BCE-S△BCH=-=.∴ h1=2×=.∴ S△CFH=CF·(h-h1)=S△BCF-S△BHC=CF·h-,即CF·=CF·-.∴ CF=.∴ DF=DC-CF=.设△AEG的边AE上的高为h2,则S△ADG=S△ADE-S△AEG=AE·h-AE·h2=-×h2=-·h2.又∵ S△ADG=S△ADF-S△DFG=DF·h-DF·(h-h2)=DF·h2=·h2=·h2,∴ ·h2=-·h2,解得h2=.∴ S△ADG=·h2==,即△ADG的面积是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第4章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质 第1课时　平行四边形的概念及边、角的性质 1. 两组对边分别　　　　的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“　　　　”表示.  2. (1) 平行四边形的对角　　　　;(2) 平行四边形的对边　　　　.  3. 四边形具有　　　　性(填“不稳定”或“稳定”). 平行 ▱ 相等 相等 不稳定 1. 桥梁上的拉杆、电视塔的底座都是三角形结构,而活动挂架是四边形结构,这是分别利用了三角形和四边形的 (　　) A. 稳定性、稳定性 B. 稳定性、不稳定性 C. 不稳定性、稳定性 D. 不稳定性、不稳定性 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,在▱ABCD中,AC=4cm.若△ACD的周长为13cm,则▱ABCD的周长为 (　　) A. 26cm B. 24cm C. 20cm D. 18cm 　 　　 3. 如图,在△ABC中,∠A=42°,AB=AC,点D在边AC上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为 (　　) A. 42° B. 69° C. 59° D. 72° D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,在▱ABCD中,∠A∶∠B=7∶2,则∠C的度数为　　　　.  　 5. (2023·株洲)如图,在▱ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB 的平分线AE交边CD于点E,则EC=　　　　. 140° 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (教材P81例1变式)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H.求证:AG=CH. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ ∠A=∠C,AD=BC, AD∥BC.∴ ∠E=∠F.∵ AD=BC,BE=DF,∴ AD+DF =BC+BE,即AF=CE.又∵ ∠A=∠C,∠F=∠E,∴ △AGF≌△CHE.∴ AG=CH 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (教材P83作业题第5题变式)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,连结DE,BF,DE∥BF.求证:AE=CF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠DAE=∠BCF.∵ DE∥BF,∴ ∠DEF=∠BFE.∴ ∠AED=∠CFB.在△ADE和△CBF中, ∴ △ADE≌△CBF.∴ AE=CF 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,在△MBN中,BM=6,点A,C,D分别在MB,NB,MN上,连结DA,DC.若四边形ABCD为平行四边形,且∠NDC=∠MDA,则▱ABCD的周长是 (　　) A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 D 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,E为▱ABCD外一点,且EB⊥BC于点B,ED⊥CD于点D.若∠E=50°,则∠A的度数为　　　　.  　 　 10. 如图,在▱ABCD中,AC为对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连结BF.若∠ACB=45°,AE=1,BE=4,则BF=　　　　. 130° 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,在▱ABCD中,AD=2AB,E为AD的中点,连结CE并延长,交BA的延长线于点F,连结BE. (1) 求证:FB=AD; (1) ∵ E为AD的中点,∴ DE=AE.∵ 四边形ABCD是平行 四边形,∴ AB=DC,AB∥DC.∴ ∠EDC=∠EAF.在△DEC 和△AEF中,∠DEC=∠AEF,DE=AE,∠EDC=∠EAF,∴ △DEC≌△AEF.∴ DC=AF.∴ AB=AF.∴ FB=2AB.又∵ AD=2AB,∴ FB=AD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若∠DAF=70°,求∠EBC的度数. (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ DA∥CB.∴ ∠CBF= ∠DAF=70°,∠AEB=∠EBC.由(1),知AE=AB,∴ ∠AEB= ∠ABE.∴ ∠EBC=∠ABE=∠CBF=35° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,点E在▱ABCD内部,连结AE,BE,CE,DE,AF∥BE,DF∥CE. (1) 求证:△BCE≌△ADF; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠ABC+∠BAD=180°,即∠CBE+∠EBA+∠BAD= 180°.∵ AF∥BE,∴ ∠EBA+∠BAF=180°,即∠EBA +∠BAD+∠DAF=180°.∴ ∠CBE=∠DAF.同理,可得 ∠BCE=∠ADF.在△BCE和△ADF中, ∴ △BCE≌△ADF　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值. (2) ∵ △BCE≌△ADF,∴ S△BCE=S△ADF.∴ S四边形AEDF =S△ADF+S△AED=S△BCE+S△AED=S▱ABCD.∵ ▱ABCD的面 积为S,四边形AEDF的面积为T,∴ ==2 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第4章　平行四边形 阶段训练(4.3~4.5) 一、 选择题 1. (2024·辽宁)纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的为 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. (2024·杭州拱墅期中)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连结EF.若BC=8,则EF的长为 (　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 　　 3. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为 (　　) A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图,E是▱ABCD的边AD延长线上一点,连结BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加下列条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是 (　　) A. ∠ABD=∠DCE B. DF=CF C. ∠AEB=∠BCD D. ∠AEC=∠CBD C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且∠AFD=∠CEB,连结DE, BF.有下列结论:① BE=DF;② BE∥DF;③ AB=DE;④ 四边形EBFD为平行四边形;⑤=;⑥ AF=CE.其中,正确的是 (　　) A. ①⑥ B. ①②④⑥ C. ①②③④ D. ①②④⑤⑥ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题 6. 已知点A(a,2),B(-3,2)关于y轴对称,点C(1,2),D(-1,b)关于原点对称,则a+ b=　　　　.  7. 如图,∠A+∠B=180°,添加一个条件:　　 　　,使四边形ABCD为平行四边形.  　　 1 答案不唯一,如AD=BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 在直角坐标系中,点A(0,0),B(2,2),C(3,0).若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为　 .  9. 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,M,N分别为线段BC, AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),E,F分别为DM,MN的中点,则EF长的最大值为　　　　. (5,2)或(-1,2)或(1,-2) 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图,在▱ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,点P在边AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动,点Q在边BC上以4cm/s的速度从点C出发,在点C,B之间往返运动.点P,Q同时出发,当点P到达点D时,两点同时停止运动,设运动时间 为ts.若5<t<10,则当t=　　　　时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边 形. 或8 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ PD∥BQ.若要以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形,则PD=BQ.当5<t≤时,AP=tcm,PD=(10-t)cm, CQ=(4t-20)cm,BQ=(30-4t)cm,∴ 10-t=30-4t,解得t=.当<t<10时,AP= tcm,PD=(10-t)cm,BQ=(4t-30)cm,∴ 10-t=4t-30,解得t=8.综上所述,当t=或8时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题 11. 如图,在△ABC中,D是边AB上的中点,AC=4,BC=6. (1) 作△BCD关于点D的中心对称图形; (2) 求线段CD长的取值范围. (1) 如图,△ADE即为所求作　 (2) 由(1),知△ADE≌△BDC.∴ DE=DC,AE=BC.∴ AE-AC<2CD<AE+ AC,即BC-AC<2CD<BC+AC.∴ 2<2CD<10,解得1<CD<5 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,连结BE,DF,AM⊥BE,CN⊥ DF,垂足分别为M,N,且AM=CN.求证:四边形BEDF是平行四边形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AB=CD, ∠ABC=∠ADC.∴ DE∥BF.∵ AM⊥BE,CN⊥DF,∴ ∠AMB=∠CND=90°.在Rt△ABM和Rt△CDN中, ∴ Rt△ABM≌Rt△CDN.∴ ∠ABM=∠CDN.∴ ∠ABC- ∠ABM=∠ADC-∠CDN,即∠EBF=∠EDF.∵ AD∥BC,∴ ∠DEB+ ∠EBF=180°.∴ ∠DEB+∠EDF=180°.∴ BE∥DF.又∵ DE∥BF,∴ 四边形BEDF是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,在▱ABCD中,EF∥AB交BC于点E,交AD于点F,连结AE,BF交于点M,连结CF,DE交于点N,连结MN.求证:MN∥AD且MN=AD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB∥CD,AD∥BC. 又∵ EF∥AB,∴ EF∥CD.∴ 四边形ABEF,ECDF均 为平行四边形.又∵ M,N分别为▱ABEF和▱ECDF对 角线的交点,∴ M为AE的中点,N为DE的中点,即MN 为△AED的中位线.∴ MN∥AD且MN=AD 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO,连结EC. (1) 求证:四边形AECD是平行四边形; (1) 在△AOE和△COD中,∴ △AOE≌ △COD.∴ OE=OD.又∵ AO=CO,∴ 四边形AECD是平 行四边形　 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积. (2) ∵ AB=BC,AO=CO,∴ OB⊥AC,即DE⊥AC.∵ 四边 形AECD是平行四边形,AC=8,∴ CO=AC=4,DE=2OD. 在Rt△COD中,由勾股定理,得OD== =3.∴ DE=2OD=6.∴ S四边形AECD=S△ACE+S△ACD=AC·OE +AC·OD=AC·DE=×8×6=24 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第4章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质 第3课时　平行四边形对角线的性质 平行四边形有如下性质:平行四边形的对角线　　　　　　. 互相平分 1. (2024·贵州)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 (　　) A. AB=BC B. AD=BC C. OA=OB D. AC⊥BD B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 在▱ABCD中,AB=7,AC=6,则对角线BD长的取值范围是 (　　) A. 8<BD<20 B. 6<BD<7 C. 4<BD<10 D. 1<BD<13 3. (教材P87例4变式)(2024·宁波期末)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=8,BD=20,则AC的长是 (　　) A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连结BE.若▱ABCD的周长为28,则△ABE的周长为 (　　) A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 　 5. 如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O.若AC= 2AB,∠BAO=94°,则∠AOD的度数为　　　　. D 137° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (教材P87例3变式)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OC,OA的中点,连结BE,DF.求证:BE=DF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ OA=OC,OB=OD. ∵ E,F分别是OC,OA的中点,∴ OE=OC,OF=OA. ∴ OE=OF.在△OBE和△ODF中, ∴ △OBE≌△ODF.∴ BE=DF 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,▱ABCD的周长是100cm, △AOB与△BOC的周长的和是122cm,且AC∶DB=2∶1,求AC和DB的长. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC,AB=CD, OB=OD.∵ ▱ABCD的周长是100cm,∴ AB+BC=100 ÷2=50(cm).∵ △AOB与△BOC的周长的和是122cm, ∴ OA+OB+AB+OB+OC+BC=122cm,即AC+DB=122- 50=72(cm).又∵ AC∶DB=2∶1,∴ AC=48cm,DB=24cm 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,在▱ABCD中,∠DAB∶∠ABC=1∶3,AB=4,对角线AC,BD相交于点O,且BD⊥AB,则BC,AC的长分别为 (　　) A. 4,5 B. 5,4 C. 4,4 D. 4,4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE⊥AD于点E,AB=2,AC =4,BD=8,则CE的长为 (　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:∵ AC=4,BD=8,AB=2,四边形ABCD是平行四边形,∴ CO=AC =2,DO=BD=4,CD=AB=2.∴ CD2+CO2=DO2.∴ ∠ACD=90°.在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD===2.∵ CE⊥AD,∴ S△ACD=CD·AC=AD·CE.∴ CE===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D在边AC上, 在以AB为对角线的▱ADBN中,M是对角线AB,DN的交点,则DN 长的最小值为　　　　. 3 第10题 解析:如图,连结MC.∵ 四边形ADBN是平行四边形,∴ MD=MN, MA=MB.∴ 当MD的长取最小值时,DN的长最小,此时MD⊥AC. ∵ ∠ACB=90°,∴ MD∥CB.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC= 4,BC=3,∴ 易得AB=5.又∵ MA=MB=AB,∴ S△ACM=S△ABC.∴ AC·MD=AC·BC.∴ MD=BC=.∴ DN=2MD=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在CA,AC的延长线上,且AF=CE,连结BE,DF.求证:BE=DF,BE∥DF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ OA=OC,OB=OD. ∵ AF=CE,∴ AF-OA=CE-OC,即OF=OE.在△BEO 和△DFO中, ∴ △BEO≌△DFO. ∴ BE=DF,∠E=∠F.∴ BE∥DF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,▱ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连结DE. (1) 求证:DE⊥BE; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ OB=OD.∵ OB=OE, ∴ OE=OD.∴ ∠OED=∠ODE.∵ OB=OE,∴ ∠OBE= ∠OEB.∵ ∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°,∴ ∠OEB+∠OED=90°,即∠BED=90°.∴ DE⊥BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 设CD与OE交于点F,若OF2+FD2=OE2,CE=3,DE=4,求CF的长. (2) 由(1)知,OE=OD.∵ OF2+FD2=OE2,∴ OF2+FD2=OD2. ∴ △OFD为直角三角形,且∠OFD=90°.在Rt△CED中, 由勾股定理,得CD===5.∵ S△CED= CD·EF=CE·DE,∴ EF===.在Rt△CEF中,由 勾股定理,得CF=== 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第4章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质 第2课时　夹在两条平行线间的平行线段 及平行线之间的距离 1. 一般地,平行线有下面的性质定理:夹在两条平行线间的平行线段 　　　　.根据这个性质定理有以下推论:夹在两条平行线间的垂线段 　　　　.  2. 两条平行线中,一条直线上任意一点到　　　　　 　的距离,叫做这两条平行线之间的距离. 相等 相等 另一条直线 1. 如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是 (　　) A. AB B. AD C. CE D. AC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 已知直线a上有一点A,直线b上有一点B,且a∥b,点P在直线a,b之间.若PA=3,PB=4,则直线a,b之间的距离 (　　) A. 等于7 B. 小于7 C. 不小于7 D. 不大于7 3. 如图,直线a∥b,A是直线a上的一个定点,线段BC在直线b上移动,那么在移动过程中,△ABC的面积 (　　) A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,BE=2,CD=5,则AD与BC之间的距离为　　　　.  　 5. 如图,直线a∥b,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,且AB∶CD=1∶2.若△ABC的面积为6,则△BCD的面积为　　　　. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,AD∥BC,AB∥EF,CD∥EG,且点E和点F,H,G分别在直线AD,BC上,EH平分∠FEG,∠A=∠D,线段EH的长是否为两条平行线AD,BC之间的距离?为什么? 线段EH的长是两条平行线AD,BC之间的距离　 ∵ AB∥EF,CD∥EG,∴ ∠AEF+∠A=180°,∠DEG+∠D= 180°.∵ ∠A=∠D,∴ ∠AEF=∠DEG.∵ EH平分∠FEG,∴ ∠FEH=∠GEH.∴ ∠AEF+∠FEH=×180°=90°,即∠AEH=90°.∴ EH⊥AD.∵ AD∥BC,∴ EH⊥BC.∴ 线段EH的长是两条平行线AD,BC之间的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (教材P86作业题第1题变式)如图,l1∥l2,AB∥CD,BC=2CF.若△CEF的面积是5,求四边形ABCD的面积. ∵ l1∥l2,BC=2CF,∴ 设CF=x,l1与l2之间的距离为h, 则BC=2x.∵ △CEF的面积为5,∴ CF·h=5,即xh=5. ∴ xh=10.∵ AB∥CD,AD∥BC,∴ 四边形ABCD是平 行四边形.∴ S四边形ABCD=BC·h=2xh=2×10=20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,垂足分别为E,G,则下列说法错误的是 (　　) A. AB=CD B. CE=FG C. A,B两点间的距离就是线段AB的长 D. 直线a,b间的距离就是线段CD的长 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,过点P作PE⊥AB于点E.若PE=2,则平行线AD与BC间的距离为 (　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点F在直线CD上,点E在直线AB上,那么图中一定与△ABF面积相等的三角形是　　　　.  　 11. 如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥DC,交DC的延长线于点F.若∠EAF=30°,AB=6,AD=10,则CD的长为　　　　;AB与CD间的距离为 　　　　;AD与BC间的距离为　　　　;∠D的度数为　　　　. △CDE 6 5 3 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 小颖对小明说:“你给我任意一个四边形ABCD(如图),我都可以画出一个与你给的四边形面积相等的三角形.方法为连结BD,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E,连结DE,则S△AED=S四边形ABCD.”小颖说的有道理吗?为什么? 有道理　∵ CE∥BD,∴ S△BDC=S△BDE.∵ S△AED= S△ABD+S△BDE,S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC,∴ S△AED= S四边形ABCD 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,连结DE并延长,与AB的延长线交于点F,连结AC,CF.求证: (1) △ABE是等边三角形; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC. ∴ ∠EAD=∠AEB.∵ AE平分∠BAD,∴ ∠BAE =∠EAD.∴ ∠BAE=∠AEB.∴ AB=BE.又∵ AB =AE,∴ AB=BE=AE.∴ △ABE是等边三角形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) △ABC≌△EAD; (3) S△ABE=S△CEF . (2) ∵ △ABE是等边三角形,∴ ∠ABE=∠BAE=∠EAD =60°.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ BC=AD.又∵ ∠ABC=∠EAD,AB=EA,∴ △ABC≌△EAD　 (3) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AB=CD,AB∥CD.∴ AB与CD间的距离相等.∴ △ABC与△FCD等底等高.∴ S△ABC=S△FCD.又∵ AD∥BC,∴ △AEC与△DEC同底等高.∴ S△AEC=S△DEC.∴ S△ABC-S△AEC =S△FCD-S△DEC,即S△ABE=S△CEF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第4章　平行四边形 阶段训练(4.1~4.2) 一、 选择题 1. 在四边形ABCD中,∠A+∠C=160°,∠B比∠D大60°,则∠B的度数为 (　　) A. 70° B. 80° C. 120° D. 130° 2. 已知一个多边形的内角和是它的外角和的5倍,则从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为 (　　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 3. (2024·宁波鄞州期末)在▱ABCD中,已知∠A=5∠D,则∠B的度数是 (　　) A. 20° B. 30° C. 40° D. 150° 4. 如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点.若添加一个条件,使△ABE ≌△CDF,则添加的条件不可以是 (　　) A. BE=DF B. BF=DE C. AE=CF D. ∠1=∠2 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. 如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=34,AB=10,则△OCD的周长是 (　　) A. 44 B. 27 C. 34 D. 17 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE⊥AD于点E.若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长为 (　　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 二、 填空题 8. 如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,∠A=∠C=105°,则∠D的度数为　　. 　　 9. 如图,∠1是六边形ABCDEF的一个外角.若∠1=70°,则∠A+∠B+∠C +∠D+∠E的度数为　　　　.  10. 如图,在▱ABCD中,∠C=43°,过点D作AD的垂线,交AB于点E,交CB的延长线于点F,则∠BEF的度数为　　　　.  60° 610° 47° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11. 如图,在▱ABCD中,AB=,AD=4,将▱ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为　　　　.    12. 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,直线MN经 过点O,分别交AD,BC于点M,N.若∠MDO=∠MOD,BN=2, 则MN的长为　　　　. 3 4 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 三、 解答题 13. 若一个多边形的内角和的比一个五边形的外角和多90°,求这个多边形的边数. 设这个多边形的边数是n.根据题意,得×180°×(n-2)-360°=90°,解得n=12.∴ 这个多边形的边数是12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14. 如图,在四边形ABCD中,∠A=100°,∠D=140°,∠BCD的平分线CE交AB于点E. (1) 若∠B=∠BCD,求∠B的度数; (2) 若CE∥AD,求∠B的度数. (1) ∵ ∠A=100°,∠D=140°,∴ ∠B+∠BCD=360°- ∠A-∠D=120°.∵ ∠B=∠BCD,∴ ∠B=60°　 (2) ∵ CE∥AD,∴ ∠DCE+∠D=180°.∵ ∠D=140°,∴ ∠DCE=180°-∠D=40°.∵ CE平分∠BCD,∴ ∠BCD=2∠DCE=80°.∴ ∠B=360°-∠A-∠D-∠BCD=40° 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. 如图,点E,F分别在▱ABCD的边AD和BC上,且AE=CF,连结AF,CE.求证: ∠BAF=∠DCE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,∠B=∠D, AD=BC.∵ AE=CF,∴ AD-AE=BC-CF,即DE=BF.在 △ABF和△CDE中,∴ △ABF≌△CDE. ∴ ∠BAF=∠DCE 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. 如图,在▱ABCD中,AB=3,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E,若点E恰好在边AD上,求BE2+CE2的值. ∵ BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,∴ ∠EBC=∠ABC, ∠ECB=∠BCD.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥ BC,AB∥CD,AB=CD=3,BC=AD.∴ ∠ABC+∠BCD=180°.∴ ∠EBC+ ∠ECB=90°.∴ ∠BEC=90°.∴ BE2+CE2=BC2.∵ AD∥BC,∴ ∠EBC= ∠AEB.∵ BE平分∠ABC,∴ ∠EBC=∠ABE.∴ ∠AEB=∠ABE.∴ AB= AE=3.同理,可得DE=DC=3.∴ DE+AE=AD=6.∴ BC=AD=6.∴ BE2+CE2= BC2=36 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. 如图,在▱ABCD中,AD=12,对角线AC,BD相交于点O. (1) 若BD=10,AC=26,求; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,BD=10,AC=26, ∴ OD=BD=5,OA=AC=13.∵ AD=12,∴ AD2+OD2 =OA2.∴ △AOD是直角三角形,且∠ADO=90°. ∴ S▱ABCD=AD·BD=120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2) 若∠ADC=105°,∠ACD=30°,求▱ABCD的周长. (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,AD=BC, AB∥CD.∵ ∠ADC=105°,∠ACD=30°,∴ ∠DAB= 180°-∠ADC=75°,∠CAB=∠ACD=30°.∴ ∠DAO= ∠DAB-∠CAB=45°.如图,过点D作DH⊥AC于点H.∴ ∠AHD=∠CHD=90°.∵ ∠DAH=45°,∴ DH=AH.在 Rt△DHA中,由勾股定理,得DH2+AH2=AD2.∴ DH=AH =6.∵ ∠HCD=30°,∴ 易得CD=2DH=12.∴C▱ABCD =2×(12+12)=24+24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$第4章　平行四边形 4.4　平行四边形的判定定理 第2课时　利用对角线判定平行四边形 对角线　　　　　　的四边形是平行四边形.  互相平分 1. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的为 (　　) A. OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=1.5 B. OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=2.5 C. OA=2,OB=1.5,OC=2,OD=1.5 D. OA=1.5,OB=2,OC=2.5,OD=2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. (2024 ·温州瓯海期末)如图,四边形ABCD的对角线交于点O,下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (　　) A. OA=OB,OC=OD B. AB=BC,CD=DA C. AB∥CD,∠ABC=∠ADC D. ∠BAD=∠ABC,∠BCD=∠ADC C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图,把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB,则四边形ABDC的形状一定是　　　　　　.  　 　 4. 如图,在直角坐标系中,△ABO与△DEO关于原点O成中心对称,并且点A与点D是对称点,连结BD,AE,则四边形ABDE的形状是　　　　　　　 , AB与DE之间的关系是　　　 　　　. 平行四边形 平行四边形 AB∥DE,AB=DE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点,连结AF,BE.求证:四边形AFBE是平行四边形. ∵ AC∥DB,∴ ∠C=∠D,∠CAO=∠DBO.又∵ AO=BO, ∴ △AOC≌△BOD.∴ OC=OD.∵ E,F分别是OC,OD 的中点,∴ OE=OC,OF=OD.∴ OE=OF.又∵ AO=BO, ∴ 四边形AFBE是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. (教材P96例2变式)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,OC上,且OB=OD,∠1=∠2,AE=CF.求证: (1) △BEO≌△DFO; (2) 四边形ABCD是平行四边形. (1) 在△BEO和△DFO中,∴ △BEO ≌△DFO　 (2) 由(1),可知△BEO≌△DFO.∴ OE=OF.∵ AE=CF,∴ AE+OE=CF+ OF,即OA=OC.又∵ OB=OD,∴ 四边形ABCD是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4, BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 (　　) A. 6 B. 12 C. 20 D. 24 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,AF,BE相交于点M,EC, DF相交于点N,AF与BE互相平分,EC与DF互相平分,连结EF,则图中有 　　　　个平行四边形. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (教材P97作业题第2题变式)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E, F是对角线AC上的两点,且BE⊥AC,DF⊥AC,连结ED,FB. (1) 求证:四边形BEDF是平行四边形; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ OA=OC,OB=OD, AB=CD,AB∥CD.∴ ∠BAE=∠DCF.∵ BE⊥AC,DF⊥ AC,∴ ∠AEB=∠CFD=90°.在△ABE和△CDF中, ∴ △ABE≌△CDF.∴ AE=CF.∴ OA-AE=OC-CF,即OE =OF.又∵ OB=OD,∴ 四边形BEDF是平行四边形　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若BE=3,EF=2,求BD的长. (2) 由(1),知OE=OF=EF=1.∵ BE⊥AC,∴ ∠BEO= 90°.在Rt△BOE中,由勾股定理,得OB= ==.∵ OB=OD,∴ BD=OB+OD=2OB= 2 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-3,0),(0,6),动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO以每秒2个单位长度的速度运动.连结CP,以CP,CO为邻边构造▱PCOD.在线段OP的延长线上有一动点E,且满足PE=AO,连结AC,AD,DE, CE. (1) 当点C在线段OB上运动时,求证:四边形ADEC是平 行四边形; 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 连结CD,交AE于点F.∵ 四边形PCOD是平行四边形,∴ CF=DF,OF= PF.∵ PE=AO,∴ AO+OF=PE+PF,即AF=EF.又∵ CF=DF,∴ 四边形ADEC是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 当点P运动的时间为秒时,求此时四边形ADEC的周长. (2) ∵ A(-3,0),B(0,6),∴ AO=3,OB=6.∴ PE=AO=3.当点P 运动的时间为秒时,OP=,BC=2×=3.∴ OC=OB-BC=6- 3=3,OE=OP+PE=+3=.在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC ==3.在Rt△COE中,由勾股定理,得CE= =.由(1)知,四边形ADEC是平行四边形. ∴ 四边形ADEC的周长为(3+)×2=6+3 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第4章　平行四边形 4.1　多 边 形 第1课时　多边形的概念及四边形的内角和 1. 在同一平面内,由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于　　　　　)　　　　　　相接形成的图形叫做多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的　　　　　　.  2. 多边形　　　　两边组成的角叫做多边形的内角,多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的　　　　.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的　　　　.连结多边形　　　　　　两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3. 四边形的内角和等于　　　　　. 3 首尾顺次 边 相邻 外角 顶点 不相邻 360° 1. 如图,在四边形ABCD中,下列说法错误的是 (　　) A. ∠BAD是四边形ABCD的一个内角 B. ∠ADE是四边形ABCD的一个外角 C. AC是四边形ABCD的一条对角线 D. ∠ACF是四边形ABCD的一个外角 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. (教材P77作业题第2题变式)如图,x的值是 (　　) A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 3. 如图,在四边形ABCD中,∠A=150°,∠C=60°,∠ABC与∠ADC的平分线交于点O,则∠BOD的度数为 (　　) A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图,在四边形ABCD中,∠A+∠C=135°,∠ADE=125°,则∠B的度数为　　　　. 170° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. (教材P77例1变式)已知在四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D= 2∶4∶1∶5. (1) 求四边形ABCD四个内角的度数. (2) 四边形ABCD中是否有互相平行的边?若有,请写出来;若没有,请说明理由. (1) 设∠A=2x,则∠B=4x,∠C=x,∠D=5x.∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°, ∴ 2x+4x+x+5x=360°,解得x=30°.∴ ∠A=60°,∠B=120°,∠C=30°, ∠D=150°　 (2) 有　∵ ∠A+∠B=180°,∴ AD∥BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,在四边形ABCD中,∠B=50°,∠C=110°,∠D=90°,AE⊥BC于点E,AF是∠BAD的平分线,与边BC交于点F.求∠EAF的度数. ∵ AE⊥BC,∴ ∠AEB=90°.∵ ∠B=50°,∴ ∠BAE= 90°-∠B=40°.∵ ∠C=110°,∠D=90°,∴ ∠BAD= 360°-∠B-∠C-∠D=110°.又∵ AF平分∠BAD,∴ ∠FAB=∠BAD=55°.∴ ∠EAF=∠FAB-∠BAE=55° -40°=15° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,点A,B,C,D,E在同一平面内,连结AB,BC,CD,DE,EA.若∠C=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E的度数为 (　　) A. 220° B. 240° C. 260° D. 280° 　　 8. 如图,四边形ABCD各内角的平分线分别交于点E,F,G,H,则∠E+∠G的度数是　　　　. D 180° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (教材P78作业题第5题变式)如图,在四边形ABCD中,∠A=80°,∠ABC= 70°,∠C=90°,DF平分∠ADC,交BC于点F,点E在AD上,连结BE,且∠ABE∶∠EBC=4∶3.求证:BE∥DF. ∵ ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠A=80°,∠ABC =70°,∠C=90°,∴ ∠ADC=120°.∵ DF平分∠ADC, ∴ ∠FDC=∠ADC=60°.∵ ∠C=90°,∴ ∠DFC=30°. 又∵ ∠ABE∶∠EBC=4∶3,∴ ∠EBC=∠ABC=30°. ∴ ∠DFC=∠EBC.∴ BE∥DF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 在四边形ABCD中,∠BAD的平分线与边BC交于点E,∠ADC的平分线交直线AE于点O. (1) 点O在四边形ABCD的内部. ① 如图①,若AD∥BC,∠B=40°,∠C=70°,则∠DOE的度数为　　　　; 125° 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② 如图②,试探索∠B,∠C,∠DOE之间的数量关系. ② ∵ AE,DO分别平分∠BAD,∠ADC,∴ ∠OAD=∠BAD, ∠ADO=∠ADC.∵ ∠DOE=∠OAD+∠ADO,∴ ∠DOE= ∠BAD+∠ADC,即2∠DOE=∠BAD+∠ADC.又∵ ∠B+ ∠C+∠BAD+∠ADC=360°,∴ ∠B+∠C+2∠DOE=360° 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 如图③,若点O在四边形ABCD的外部,请写出∠B,∠C,∠DOE之间的数量关系,并说明理由. (2) ∠B+∠C=2∠DOE　理由:∵ AE,DO分别平分∠BAD, ∠ADC,∴ ∠BAD=2∠OAD,∠ADC=2∠ADO.∴ ∠BAD+ ∠ADC=2(∠OAD+∠ADO)=2(180°-∠DOE).又∵ ∠BAD +∠ADC=360°-∠B-∠C,∴ 360°-∠B-∠C=2(180°- ∠DOE).∴ ∠B+∠C=2∠DOE. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第4章　平行四边形 4.1　多 边 形 第2课时　多边形的内角和与外角和 n边形的内角和为　　　　　　(n≥3).任何多边形的外角和为　　 　. (n-2)×180° 360° 1. 已知从一个多边形的任何一个顶点出发都只有3条对角线,则它的内角和是 (　　) A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 2. (2024·资阳)已知一个多边形的每个外角都为60°,则该多边形的边数是 (　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3. (教材P80作业题第2题变式)(2024·宁波海曙期中)已知一个多边形的内角和是它的外角和的5倍,则这个多边形的边数是 (　　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为 (　　) A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. (教材P80作业题第1题变式)如果一个多边形的内角和为1260°,那么从这个多边形的一个顶点可以引　　　　条对角线,可以把这个多边形分成　　　　个三角形.  6. 如图,∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的3个外角.若∠A+∠B=240°,则∠1 +∠2+∠3的度数为　　　　.  6 7 240° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 一个多边形的每个内角都相等,每个内角与相邻外角的差为100°,求这个多边形的边数与内角和. 设这个多边形每个内角的度数为n°.由题意,得n-(180-n)=100,解得n= 140.∴ 这个多边形每个外角的度数为180°-140°=40°.∵ 多边形的外角和为360°,∴ 这个多边形的边数为360°÷40°=9.∴ 内角和为(9-2) ×180°=1260° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后,得到∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5=460°.求: (1) 六边形ABCDEF的内角和; (2) ∠BGD的度数. (1) 六边形ABCDEF的内角和为180°×(6-2)=720°　 (2) ∵ 六边形ABCDEF的内角和为720°,∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5=460°,∴ ∠GBC+∠C+∠CDG=720°-460°= 260°.∴ ∠BGD=360°-(∠GBC+∠C+∠CDG)=100° 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 一个多边形剪去一个角后,所得多边形的内角和是720°,则这个多边形的边数不可能是 (　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 已知一个多边形的外角和是其内角和的,则下列说法正确的是 (　　) A. 过这个多边形的一个顶点可画出9条对角线 B. 这个多边形的内角和为1620° C. 如果将这个多边形剪掉一个角,那么还余下10个角 D. 这个多边形的每个外角的度数为40° A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,五边形ABCDE的两个外角的平分线交于点P.若∠P= 112°,则∠A+∠B+∠E的度数为　　　　. 解析:在△PCD中,∵ ∠P=112°,∴ ∠PCD+∠PDC=180°- ∠P=180°-112°=68°.∵ 五边形ABCDE的两个外角的平分线交于点P,∴ ∠BCD+∠EDC=360°-2(∠PCD+∠PDC)=360°-2×68°=224°. ∵ ∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC=(5-2)×180°=540°,∴ ∠A+∠B+ ∠E=540°-∠BCD-∠EDC=540°-224°=316°. 第11题 316° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (教材P79例2变式)如图,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C=120°,∠E= 80°.求∠F的度数. 连结AD.在四边形ABCD中,∠BAD+∠ADC+∠B+∠C =360°.∵ AB⊥BC,∴ ∠B=90°.又∵ ∠C=120°,∴ ∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C=150°.∵ CD∥AF, ∴ ∠ADC=∠DAF.又∵ ∠CDE=∠BAF,∴ ∠CDE-∠ADC=∠BAF-∠DAF,即∠ADE=∠BAD.∴ ∠CDE=∠ADC+∠ADE=∠ADC+∠BAD= 150°.∴ ∠BAF=150°.∵ 多边形ABCDEF的内角和为(6-2)×180°= 720°,∴ ∠F=720°-∠BAF-∠B-∠C-∠CDE-∠E=130° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. “转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化成具体的问题. (1) 请你根据已经学过的知识求出图①中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数; 第13题 (1) 如图①,∵ ∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D, ∠1+∠A+∠C=180°,∴ ∠A+∠B+∠C+∠D +∠E=180° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若将图①截去一个角,如图②,请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F的度数; (2) 如图②,∵ ∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F, ∠1+∠A+∠C+∠D=360°,∴ ∠A+∠B+∠C +∠D+∠E+∠F=360° 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若再将图②中的角进一步截去,你能由(2)中所得的方法或规律,猜想图③中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗(只要写出结论,不需要写出过程)? (3) 由(1)(2)知,每截去一个角会增加180°.当截去5个角时, 增加了180°×5=900°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+ ∠G+∠H+∠M+∠N=900°+180°=1080° 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第4章　平行四边形 小专题(七)　平行四边形的性质与判定的综合应用 类型一　先判定平行四边形,后运用平行四边形的性质计算 1. 如图,四边形ABCD的面积为8cm2,AB∥CD,AB=CD,E是AB的中点,则△AEC的面积是 (　　) A. 4cm2 B. 3cm2 C. 2cm2 D. 1cm2 2. 如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,E,F是对角线DB上的两点,且AE∥CF.若∠AEB=115°,∠ADB=35°,则∠BCF的度数为　　　　. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 80° 3. (2024·宁波鄞州期中)如图,△ABC≌△EAD,点E在BC上,连结CD. (1) 求证:四边形ABCD是平行四边形; (1) ∵ △ABC≌△EAD,∴ BC=AD,AB=EA,∠B =∠DAE.∴ ∠B=∠AEB.∴ ∠DAE=∠AEB. ∴ AD∥BC.∴ 四边形ABCD是平行四边形　 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 若∠B∶∠CAD=5∶4,AE⊥ED,求∠EDC的度数. (2) 由(1),知AD∥BC,∴ ∠CAD=∠ACB.∵ ∠B与 ∠CAD的度数之比为5∶4,∴ ∠B与∠ACB的度数 之比为5∶4.∴ 设∠B=5x,则∠ACB=4x.∵ AE⊥ED, ∴ ∠AED=90°.∵ △ABC≌△EAD,∴ ∠BAC=∠AED=90°.∴ ∠B+ ∠ACB=90°.∴ 5x+4x=90°.∴ x=10°.∴ ∠B=∠DAE=50°.∴ ∠ADE =90°-50°=40°.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ ∠ADC=∠B=50°. ∴ ∠EDC=∠ADC-∠ADE=10° 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图,在▱ABCD中,O为AC的中点,EF过点O,分别交AD,CB的延长线于点E,F,连结AF,CE. (1) 求证:四边形AFCE是平行四边形; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC. ∴ ∠EAO=∠FCO.∵ O为AC的中点,∴ AO=CO. 在△AOE和△COF中, ∴ △AOE≌△COF.∴ OE=OF.又∵ AO=CO,∴ 四边形AFCE是平行四边形　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 若AC平分∠BAE,AB=6,AE=8,求BF的长. (2) ∵ AC平分∠BAE,∴ ∠BAC=∠EAC.∵ AD∥BC, ∴ ∠EAC=∠ACB.∴ ∠BAC=∠ACB.∴ BC=AB=6. ∵ 四边形AFCE是平行四边形,∴ CF=AE=8.∴ BF= CF-BC=2 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型二　在平行四边形的基础上判定新的平行四边形 5. 如图,在▱ABCD中,M,N分别是边AD,BC上的点,点E,F在对角线BD上.当DM=BN时,DF=BE,连结ME,EN,NF,FM.求证:四边形MENF是平行四边形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠ADB =∠CBD.在△BNE和△DMF中,∴ △BNE≌△DMF.∴ NE=MF,∠BEN=∠DFM.∵ ∠NEF =180°-∠BEN,∠MFE=180°-∠DFM,∴ ∠NEF=∠MFE .∴ NE∥MF.∴ 四边形MENF是平行四边形 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图,将▱ABCD的边DA,AB,BC,CD分别延长至点E,F,G,H,使得AE=CG, BF=DH,连结EF,FG,GH,HE.求证:四边形EFGH为平行四边形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,∠BCD= ∠BAD.∵ ∠HCG=180°-∠BCD,∠EAF=180°- ∠BAD,∴ ∠HCG=∠EAF.∵ BF=DH,∴ AB+BF= CD+DH,即AF=CH.又∵ AE=CG,∴ △FAE≌△HCG.∴ EF=GH.同理,可得EH=GF.∴ 四边形EFGH为平行四边形 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图,在▱ABCD中,分别延长AB,CD至点E,F,使得BE=DF,连结EF,分别交AD,BC于点M,N,连结AN,CM. (1) 求证:△DFM≌△BEN. (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ ∠ADC=∠ABC, AB∥CD.∴ ∠MDF=∠NBE,∠F=∠E.在△DFM和 △BEN中,∴ △DFM≌△BEN　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 四边形AMCN是平行四边形吗?请说明理由. (2) 四边形AMCN是平行四边形　 理由:∵ △DFM≌△BEN,∴ DM=BN.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC.∴ AD-DM=BC-BN, 即AM=CN.又∵ AM∥CN,∴ 四边形AMCN是平行四边 形. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　判定平行四边形后运用性质证明线段之间的关系 8. 如图,四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形,连结AF,BE交于点I.求证:AF和BE互相平分. 连结AE,BF.∵ 四边形ABCD和四边形CDEF都是平行 四边形,∴ AB∥CD,EF∥CD,AB=CD,EF=CD.∴ AB∥ EF,AB=EF.∴ 四边形ABFE是平行四边形.∴ AF和BE 互相平分 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 如图,在▱ABCD中,AB>AD,∠DAB与∠ADC的平分线交于点E,∠ABC与∠BCD的平分线交于点F,连结EF.求证:EF=AB-BC. 如图,延长DE交AB于点M,延长BF交CD于点N.∵ 四边 形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC,AB=CD,CD∥AB. ∴ ∠CDM=∠AME.又∵ DE平分∠ADC,∴ ∠ADM= ∠CDM.∴ ∠ADM=∠AME.∴ AD=AM.同理,可得CB =CN.∴ AM=CN.∴ AB-AM=CD-CN,即BM=DN.又∵ BM∥DN,∴ 四边形DMBN是平行四边形.∴ DM∥NB, DM=NB.∵ AE平分∠DAB,AM=AD,∴ E是DM的中点. ∴ EM=DM.同理,可得BF=BN.∴ EM=BF.又∵ EM∥ BF,∴ 四边形EFBM是平行四边形.∴ EF=BM.又∵ AD =BC=CN=AM,∴ BM=AB-AM=AB-BC.∴ EF=AB-BC 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$第4章　平行四边形 4.3　中心对称 1. 如果一个图形绕着一个点旋转　　　 后,所得到的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫　　 　　. 2. 如果一个图形绕着一个点O旋转180°后,能够和另外一个图形互相重合,我们就称这两个图形关于点O　　　　　　　.  3. 对称中心　　　　连结两个对称点的线段.  4. 在直角坐标系中,点A(x,y)与点B(　　　　)关于原点成中心对称. 180° 对称中心 成中心对称 平分 -x,-y 1. (2024·内江)2024年6月5日,是二十四节气中的芒种,二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节变化,指导农事活动.下列四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”.其中,属于中心对称图形的是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称,则这个点是 (　　) A. Q1 B. Q2 C. Q3 D. Q4 3. (教材P92作业题第2题变式)(2024·扬州)在直角坐标系中,点P(1,2)关于坐标原点的对称点P'的坐标为 (　　) A. (-1,-2) B. (-1,2) C. (1,-2) D. (1,2) A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,图甲和图乙中所有的小正方形都全等,将图甲中的小正方形放在图乙中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,这个位置是　　　　(填序号).  5. 如图,△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形,点A的对称点是A1.若AO=4cm,则AA1=　　 cm;若∠CBO=20°,则∠C1B1O的度数为　　　. ③ 8 20° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (教材P93作业题第7题变式)如图,在边长均为1的正方形网格图中有三个点A,B,C,要求作一个四边形,使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在网格图的格点上. (1) 在图①中作出的四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形; (2) 在图②中作出的四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形; (3) 在图③中作出的四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形. 答案不唯一,如 (1) 如图①所示　 (2) 如图②所示　 (3) 如图③所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (2024·自贡)我国汉代数学家赵爽在他所著的《勾股圆方图注》中,运用弦图(如图)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是 (　　) A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,在直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P.若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为 (　　) A. (-4,-5) B. (-5,-4) C. (-3,-4) D. (-4,-3) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知点P(a+3b,3)与点Q(-5,a+2b)关于原点对称,则a+b=　　　　.  10. 如图,AB⊥BC,AB=BC=2cm,曲线OA与曲线OC关于点O成 中心对称,则AB,BC,曲线CO,曲线OA所围成的图形的面积是 　　　　cm2. -11 第10题 2 解析:连结AC.∵ 曲线OA 与曲线OC 关于点O成中心对称,∴ AC经过点O,曲线OC和线段OC所围成的图形绕点O旋转180°后能与曲线OA和线段OA所围成的图形重合,则AB,BC,曲线CO,曲线OA所围成的图形的面积=S△ABC=AB·BC=×2×2=2(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,△ABC各顶点的坐标分别为A(-2,-2),B(-4,-1),C(-4,-4). (1) 作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1. (2) 作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界),求a的取值范围. (1) 如图,△A1B1C1即为所 求作　 (2) 如图,点A'即为所求作　 a的取值范围是4<a<6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,连结CF,BM的延长线交CF于点P. (1) 求证:AC=DC; (1) ∵ △ABM与△ACM关于直线AF成轴对称, ∴ AB=AC.∵ △ABE 与△DCE关于点E成中心 对称,∴ AB=DC.∴ AC=DC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若∠BAC=2∠MPC,请判断∠F与∠MCD之间的数量关系,并说明理由. (2) ∠F=∠MCD　 理由:由题意,得∠CAE=∠BAE=∠CDE,∠CMA= ∠BMA.∴ ∠BAC=2∠BAE.∵ ∠BAC=2∠MPC, ∴ ∠MPC=∠BAE.设∠MPC=α,则∠BAE=∠CAE =∠CDE=α.设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β.∴ ∠F=∠MPC-∠PMF= α-β,∠MCD=∠CDE-∠CMA=α-β.∴ ∠F=∠MCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第4章　平行四边形 4.6　反 证 法 1. 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、　　　　　、　 　　等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.  2. 在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相　　　　. 基本事实 定理 平行 1. 用反证法证明“若x2≠y2,则x≠y”时,应首先假设 (　　) A. x>y B. x=y C. x<y D. |x|=|y| 2. 用反证法证明“在直角三角形中,至少有一个锐角不小于45°”时,应先假设 (　　) A. 有一个锐角大于45° B. 每一个锐角都大于45° C. 有一个锐角小于45° D. 每一个锐角都小于45° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 3. 下列对反证法的理解错误的是 (　　) A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法 B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法 C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件 D. 用反证法证得的结论有时不可靠 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为下列三个步骤:① ∵ ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与“三角形内角和为180°”矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;② ∴ 一个三角形中不能有两个直角;③ 假设三角形的三个内角(∠A,∠B,∠C)中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.下列步骤顺序正确的是 (　　) A. ③②① B. ①③② C. ②③① D. ③①② 5. 命题:多边形中最多有3个锐角.若用反证法证明这个命题,则应先假设 　　　　　　 　　　　　. D 多边形中最少有4个锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (教材P101课内练习第1题变式)用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补. 如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截. 求证:∠1+∠2=180°. 证明:假设∠1+∠2　　　　180°.  ∵ l1∥l2(　　　　), ∴ ∠1　　　∠3(　　　　 　　　 　).  ∵ ∠1+∠2　　　　180°,  ∴ ∠3+∠2≠180°,这与　　　 　　矛盾.  ∴ 假设∠1+∠2　　　　180°不成立,即∠1+∠2=180°. ≠ 已知 = 两直线平行,同位角相等 ≠ 平角等于180° ≠ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (教材P102作业题第3题变式)用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直. 如图,假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A, PB⊥直线l于点B.∴ ∠PAB=90°,∠PBA=90°.∴ ∠PAB+∠PBA+ ∠APB>180°.这与“三角形内角和为180°”矛盾,∴ 假设不成立,原命题成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知五个正数的和等于1,用反证法证明“这五个正数中至少有一个大于或等于”时,先要假设这五个正数 (　　) A. 都大于 B. 都小于 C. 没有一个小于 D. 没有一个大于 9. 用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时,应先假设_______ 　　　　　　　　　　,通过推理会得出与　　 　　　　　　　　　矛盾. B 四边形的内角和为360° 四边形 的四个内角都是锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 用反证法证明:当a<|a|时,a必为负数. 证明:假设a不是负数,那么a是正数或a是　　　　.  (1) 如果a是正数,那么a　　　　|a|,这与　　 　　矛盾,∴ a不可能是 　　　　.  (2) 如果a是　　　　,那么a　　　　|a|,这与　　　　矛盾,∴ a不可能是　　　　.  综合(1)和(2),可知a不可能是　　　　,也不可能是　　　　.∴ a必为负数. 0 = a<|a| 正数 0 = a<|a| 0 正数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 阅读下面的材料,并回答问题. 题目:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A≠45°.求证:AC≠BC. 证明:假设AC=BC.∵ ∠A≠45°,∠C=90°,∴ ∠A≠∠B.∴ AC≠BC.这与假设矛盾.∴ AC≠BC. 上面的证明过程中有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请写出正确的证明过程. 有错误　假设AC=BC,则∠A=∠B.∵ ∠C=90°,∴ ∠A+∠B=90°.∴ ∠A=∠B=45°.这与∠A≠45°矛盾,∴ AC=BC不成立.∴ AC≠BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 用反证法证明:在△ABC中,如果M,N分别是边AB,AC上的点,那么BN, CM不能互相平分. 如图,假设BN,CM能互相平分,则四边形BCNM是平行四边形.∴ BM∥ CN,即AB∥AC.这与“在△ABC中,AB,AC交于点A”矛盾.∴ BN,CM能互相平分不成立.∴ BN,CM不能互相平分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内的一点,且∠APB>∠APC.求证: PB<PC(用反证法证明). 假设PB≥PC.如图,把△ABP绕点A按逆时针方向旋转, 使点B与点C重合,连结PD,则PB=CD,AP=AD,∠APB= ∠ADC.∵ PB≥PC,∴ CD≥PC.∴ ∠CPD≥∠CDP.又∵ AP=AD,∴ ∠APD=∠ADP.∴ ∠APD+∠CPD≥∠ADP +∠CDP,即∠APC≥∠ADC.又∵ ∠APB=∠ADC,∴ ∠APC≥∠APB,这与∠APB>∠APC矛盾.∴ PB≥PC不 成立.∴ PB<PC 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第4章　平行四边形 4.4　平行四边形的判定定理 第1课时　利用边判定平行四边形 1. 一组对边平行并且　　　　的四边形是平行四边形.  2. 两组对边分别　　　　的四边形是平行四边形.  相等 相等 1. (2024·温州期末)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC是对角线,要使四边形ABCD为平行四边形,可添加条件 (　　) A. AD=BC B. ∠ACD=∠BAC C. ∠BAD+∠D=180° D. AB=CD D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 小红不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块.为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃,她应该带去玻璃店的两块是 (　　) A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图,以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径画弧,再以顶点C为圆心、AB长为半径画弧,两弧交于点D,连结AD,CD.若∠B=65°,则∠ADC的度数为　　　　.  　 　 4. 如图,在四边形ABFD中,E,C为边BF上的两点.如果∠BAE=∠CDF,AE= DF,∠AEB=∠F,那么图中的平行四边形是　　　　 　　　　　　　. 65° 四边形ABCD、四边形AEFD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. (教材P95作业题第2题变式)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB∥DE, AC∥DF,BE=CF,连结AD.求证:四边形ABED是平行四边形. ∵ AB∥DE,∴ ∠B=∠DEF.∵ AC∥DF,∴ ∠ACB =∠F.∵ BE=CF,∴ BE+CE=CF+CE,即BC=EF.在 △ABC和△DEF中,∴ △ABC≌△DEF. ∴ AB=DE.又∵ AB∥DE,∴ 四边形ABED是平行四边形 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,∠ADB=∠CBD=90°,四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由. 四边形ABCD是平行四边形　 理由:∵ ∠ADB=∠CBD=90°,AB=CD,DB=BD, ∴ Rt△ABD≌Rt△CDB.∴ AD=CB.又∵ AB=CD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连结DE,EF,BF,则图中平行四边形的个数是 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 　　 8. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AE平分∠DAB,交CD于点E,交BC的延长线于点F,∠BAF=∠F,AB=8,AD=5,则CF=　　　　. B 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从 点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射 线BC以2cm/s的速度运动.若点E,F同时出发,设运动时间为 ts,则当t的值为　　　　时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形. 2或6 解析:① 当点F在点C左侧时,根据题意,得AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BC-BF=(6-2t)cm.∵ AG∥BC,∴ 当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即t=6-2t,解得t=2.② 当点F在点C右侧时,根据题意,得AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BF-BC=(2t-6)cm.∵ AG∥BC,∴ 当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t=2t-6,解得t=6.综上所述,当t的值为2或6时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,点D,E,F分别在△ABC的边BC,AB,AC上,且DE∥AF,DE=AF,点G在FD的延长线上,DG=DF,连结AG.求证:AG与ED互相平分. 连结AD,EG.∵ DE∥AF,DE=AF,∴ 四边形AEDF是平 行四边形.∴ DF∥AE,DF=AE.∵ DG=DF,∴ DG=AE. 又∵ DG∥AE,∴ 四边形AEGD是平行四边形.∴ AG与 ED互相平分 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (教材P95作业题第1题变式)如图,在▱ABCD中,分别以AD,BC为边向▱ABCD内作等边三角形ADE和等边三角形BCF,连结BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ CD=AB,AD=CB, ∠DAB=∠BCD.又∵ △ADE和△BCF都是等边三角 形,∴ DE=BF,AE=CF,∠DAE=∠BCF=60°.∴ ∠BCD-∠BCF=∠DAB- ∠DAE,即∠DCF=∠BAE.在△DCF和△BAE中,∴ △DCF≌△BAE.∴ DF=BE.又∵ DE=BF,∴ 四边形BEDF是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADE,AE⊥AC,连结AB. (1) 求证:四边形ABDE是平行四边形; (1) ∵ BD垂直平分AC,∴ AD=CD,AB=BC.在△ADB和 △CDB中,∴ △ADB≌△CDB.∴ ∠DAB= ∠DCB.∵ ∠BCD=∠ADE,∴ ∠ADE=∠DAB.∴ DE∥AB.∵ AE⊥AC, BD⊥AC,∴ AE∥BD.∴ 四边形ABDE是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若AE=DE=3,AD=4,求AC的长. (2) ∵ AE=DE=3,四边形ABDE是平行四边形,∴ AB= BD=3.∵ BD⊥AC,∴ 易得AD2-DF2=AB2-BF2.∴ 42- DF2=32-(3-DF)2,解得DF=.在Rt△ADF中,由勾股定理, 得AF===.∴ AC=2AF= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第4章　平行四边形 第4章总结提升 考点一　多边形的内角和与外角和 1. 如图,将三角形纸片剪掉一角得到四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β.下列关于α与β的关系中,正确的是 (　　) A. α=β B. α<β C. α>β D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 第1题 2. (2024·金华东阳期末)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,则这个多边形的边数是　　　　.  3. 如图,∠1,∠2是五边形ABCDE的两个外角,则∠A+∠C+∠D-∠1-∠2的度数为　　　　. 7 180° 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 考点二　中心对称与中心对称图形 4. (2024·牡丹江)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的为 (　　) 5. (2024·凉山)点P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b),则a+b的值是 (　　) A. 1 B. -1 C. -5 D. 5 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 考点三　平行四边形的性质 6. (2024·宁波慈溪期末)如图,在▱ABCD中,AE平分∠DAB,交边BC于点E, ∠D=110°,则∠AEC的度数是 (　　) A. 110° B. 125° C. 135° D. 145° 7. (2024 ·衢州开化期中)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥BC, ▱ABCD的面积为48,OA=3,则CD的长为 (　　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8. (2023·南充)如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.求证: (1) AE=CF; (2) BE∥DF. (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC. ∴ ∠DAF=∠BCE.在△ADF和△CBE中,∴ △ADF≌ △CBE.∴ AF=CE.∴ AF-EF=CE-EF,即AE=CF　 (2) 由(1),知△ADF≌△CBE,∴ ∠AFD=∠CEB.∴ BE∥DF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 考点四　平行四边形的判定 9. 下列四边形中,一定是平行四边形的为 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10. (2024·金华东阳期末)如图,在▱ABCD中,E是边AB的中点,F是边CD上一点,则下列条件中,不能判定四边形AEFD是平行四边形的为 (　　) A. F为CD的中点 B. AD=EF C. ∠D=∠AEF D. AE+CF=AB B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11. (2023·广安)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥ AC,垂足分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形. ∵ AF=CE,∴ AF-EF=CE-EF,即AE=CF.∵ BE⊥AC, DF⊥AC,∴ ∠AEB=∠CFD=90°.在△ABE和△CDF 中,∴ △ABE≌△CDF.∴ AB=CD.∵ ∠BAC=∠DCA, ∴ AB∥CD.∴ 四边形ABCD是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 考点五　三角形的中位线与反证法 12. 如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形BDEF的周长是 (　　) A. 28 B. 14 C. 10 D. 7 B 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13. (2024·浙江)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连结BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为　　　　.  　 　　　 14. 对于命题“如图,如果OA=OC,OB≠OD,那么四边形ABCD不是平行四边形”.当用反证法证明这个命题时,第一步应假设______________________ 　　. 4 四边形ABCD是平行四边 形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15. 如图,四边形ABCD和四边形AEFC都是平行四边形,点B在边EF上.若▱ABCD和▱AEFC的面积分别是S1,S2,则S1与S2的大小关系是 (　　) A. S1>S2 B. 2S1<S2 C. S1<S2 D. S1=S2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,连结CF.添加一个条件,使四边形ADFC为平行四边形,这个条件可以是 (　　) A. ∠B=∠F B. DE=EF C. AC=CF D. AD=CF B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17. 如图,在直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'关于点D(-1,0)成中心对称.已知点A的坐标为(-3,-2),则点A'的坐标为 (　　) A. (1,3) B. (1,2) C. (3,2) D. (2,3) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. 如图,在四边形纸片ABCD中,∠A=80°,∠B=70°,将纸片折叠,使点C, D分别落在边AB上的点C',D'处,折痕为EF,则∠1+∠2的度数为 (　　) A. 40° B. 50° C. 70° D. 60° D 解析:在四边形ABCD中,∠C+∠D=360°-∠A- ∠B=360°-80°-70°=210°.由折叠的性质,可得∠D=∠ED'B,∠C= ∠FC'A.在六边形C'D'EDCF中,∠C+∠D+∠FC'A+∠ED'B+(180°-∠1) +(180°-∠2)=180°×(6-2),∴ 2(∠C+∠D)+(180°-∠1)+(180°-∠2)= 180°×4.∴ 2×210°+360°-(∠1+∠2)=720°.∴ ∠1+∠2=60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19. 将△ABC与▱DEFG按如图所示的方式放置,点D,G分别在边AB,AC上,点E,F在边BC上.若BE=DE,CF=FG,则∠A的度数为　　　　. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC+∠DCB=90°,E,F分别是AD,BC的中点,分别以AB,CD为直径作半圆,这两个半圆的面积和为8π,则EF的长为 　　　　. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解析:如图,连结BD,取BD的中点M,连结EM,FM,延长EM交BC于点N. ∵ E,F,M分别是AD,BC,BD的中点,∴ EM=AB,FM=CD,EM∥AB, FM∥CD.∴ ∠ABC=∠ENC,∠MFN=∠DCB.∵ ∠ABC+∠DCB=90°, ∴ ∠MNF+∠MFN=90°.∴ ∠EMF=∠NMF=90°.在Rt△MEF中,由勾股定理,得ME2+FM2=EF2.∴ 两个半圆面积的和为π(ME2+FM2)=πEF2.由题意,得πEF2=8π,∴ EF=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21. 如图,在四边形PONM中,MO⊥ON,各边的长在图中已标出.求证:四边形PONM是平行四边形. ∵ MO⊥ON,∴ ∠MON=90°.在Rt△OMN中,由勾股 定理,得ON2+OM2=MN2,即(x-5)2+42=(x-3)2,解得x=8. ∴ PM=11-x=3,MN=x-3=5,ON=x-5=3.∴ PM=ON,PO= MN.∴ 四边形PONM是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22. 如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G,H分别在BA, DC的延长线上,且AG=CH,连结GE,EH,HF,FG,GH.求证:GH与EF互相平分. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,AB∥CD. ∴ ∠GBE=∠HDF.∵ AG=CH,∴ AB+AG=CD+CH, 即BG=DH.又∵ BE=DF,∴ △GBE≌△HDF.∴ GE= HF,∠GEB=∠HFD.∴ 180°-∠GEB=180°-∠HFD, 即∠GEF=∠HFE.∴ GE∥HF.又∵ GE=HF,∴ 四边 形GEHF是平行四边形.∴ GH与EF互相平分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23. 如图①,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,AO=CO,∠BCA= ∠CAD. (1) 求证:四边形ABCD是平行四边形. (1) ∵ ∠BCA=∠CAD,∴ AD∥BC.在△AOD和△COB中,∴ △AOD≌△COB.∴ AD=CB. 又∵ AD∥BC,∴ 四边形ABCD是平行四边形 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2) 如图②,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F,G分别是OB,OC,AD的中点,连结EF,GE,GF.若BD=2AB,BC=15,AC=16,求△EFG的周长. (2) 连结DF.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC=15, AB=CD,AD∥BC,BD=2OD,OA=OC=AC=8.∵ BD=2AB, ∴ AB=OD.∴ OD=CD.又∵ F是OC的中点,∴ OF=OC=4, DF⊥OC.∴ AF=OA+OF=12.∵ DF⊥AC,∴ ∠AFD=90°. 在Rt△AFD中,由勾股定理,得DF===9.∵ 在Rt△AFD中,G是AD的中点,∴ DG=GF=AD=7.5.∵ E,F分别是OB,OC的中点,∴ EF是△OBC的中位线.∴ EF=BC=7.5,EF∥BC.∴ EF=DG, EF∥AD.∴ 四边形GEFD是平行四边形.∴ GE=DF=9.∴ △EFG的周长为 GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $$