7.2.3 平行线的性质（中等生篇）2024-2025学年 人教版（2024）七年级数学下册同步个性化分层作业

（中等生篇）2024-2025学年下学期初中数学人教版（2024）七年级同步个性化分层作业7.2.3 平行线的性质 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•天津期末）如图，已知CD∥AB，MN⊥CD于点N，若∠M＝32°，则∠1的大小是（　　） A．32° B．42° C．58° D．68° 2．（2024秋•安宁区校级期末）如图，若AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝65°，则∠P＝（　　） A．45° B．50° C．65° D．115° 3．（2024秋•于洪区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP＝45°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 4．（2023春•梅县区校级期中）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 5．（2024秋•安宁区校级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，已知∠1＝130°，∠2＝20°，则∠3的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•相城区期末）如图，直线l1∥l2，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在l2上，若∠1＝40°，则∠2＝ 　 　． 7．（2024•工业园区校级模拟）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝　 　°． 8．（2024秋•南阳期末）某段江水流向经过B、C、D三点拐弯后方向与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠CDE＝20°，则∠BCD＝ 　 　． 9．（2024秋•汇川区期末）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝35°，则∠2＝　 　°． 10．（2024秋•临高县期中）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠EGF＝112°，则∠EHF＝ 　 　°． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•相城区期末）如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）求证：DF∥BC； （2）若∠1＝72°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 12．（2024秋•沈河区期末）如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB； （1）AD是否平行于BC？并说明理由； （2）试说明AE⊥EF． 13．（2022秋•高安市校级月考）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1． （1）求证：AB∥DF． （2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数． 14．（2024秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（ 　 　）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以 　 　（ 　 　）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以 　 　（等量代换）． 所以BC∥FG （ 　 　）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又 　 　（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（ 　 　）． 15．（2023秋•沐川县期末）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． （中等生篇）2024-2025学年下学期初中数学人教版（2024）七年级同步个性化分层作业7.2.3 平行线的性质 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 C D C D C 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•天津期末）如图，已知CD∥AB，MN⊥CD于点N，若∠M＝32°，则∠1的大小是（　　） A．32° B．42° C．58° D．68° 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，∵MN⊥CD， ∴∠MNE＝90°， ∵∠M＝32°， ∴∠MEN＝58°， ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠MEN＝58°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2024秋•安宁区校级期末）如图，若AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝65°，则∠P＝（　　） A．45° B．50° C．65° D．115° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系，然后将∠B＝50°，∠D＝65°代入，即可求∠BPD的度数． 【解答】解：如图，过P点作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PO∥AB， ∴∠BPO＝∠B，∠OPD＝∠D， ∵∠BPD＝∠BPO+∠OPD， ∴∠BPD＝∠B+∠D． ∵∠B＝50°，∠D＝65°， ∴∠BPD＝∠B+∠D＝50°+65°＝115°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 3．（2024秋•于洪区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP＝45°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝45°，又因为∠APB＝100°，所以∠BPE＝55°，再根据BD∥EF，即可解得． 【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝45°， ∴∠APE＝∠CAP＝45°， ∵∠APB＝100°， ∴∠BPE＝55°， ∵BD∥EF， ∴∠DBP＝∠BPE＝55°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 4．（2023春•梅县区校级期中）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【解答】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2+∠3+∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2024秋•安宁区校级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，已知∠1＝130°，∠2＝20°，则∠3的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】由平行线的性质可得∠CDG＝50°，再由对顶角相等可得∠FDH＝50°，从而可求∠3． 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠1＝130°， ∴∠CDG＝180°﹣∠1＝50°， ∴∠FDH＝∠CDG＝50°， ∵∠2＝20°， ∴∠3＝∠FDH﹣∠2＝30°． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•相城区期末）如图，直线l1∥l2，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在l2上，若∠1＝40°，则∠2＝ 　50°　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据∠1＝40°求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝40°， ∴∠3＝90°﹣40°＝50°， ∵直线l1∥l2， ∴∠2＝∠3＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 7．（2024•工业园区校级模拟）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝　117　°． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】117． 【分析】由已知条件可求得∠BAD的度数，再利用平行线的性质即可求得∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵∠1＝27°，∠CAB＝90°， ∴∠BAD＝∠1+∠CAB＝117°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠BAD＝117°． 故答案为：117． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 8．（2024秋•南阳期末）某段江水流向经过B、C、D三点拐弯后方向与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠CDE＝20°，则∠BCD＝ 　80°　． 【考点】平行线的性质；平行公理及推论．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】80°． 【分析】过点C作CF∥AB，则CF∥DE，根据平行线的性质得∠BCF+∠ABC＝180°，∠CDE＝∠DCF＝20°，然后用角度和差即可求解． 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∵经过B、C、D三点拐弯后与原来相同， ∴AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC＝180°， ∴∠BCF＝180°﹣∠ABC＝60°， ∴∠CDE＝∠DCF＝20°， ∴∠BCD＝∠DCF+∠BCF＝20°+60°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 9．（2024秋•汇川区期末）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝35°，则∠2＝　145　°． 【考点】平行线的性质；平行线的判定．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据平行线的性质，由l1∥l2得∠3＝∠1＝35°，再根据平行线的判定，由∠α＝∠β得AB∥CD，然后根据平行线的性质得∠2+∠3＝180°，再把∠1＝35°代入计算即可． 【解答】解：如图，延长AE交直线l2于点B， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠1＝35°， ∵∠α＝∠β， ∴AB∥CD， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣35°＝145°． 故答案为：145． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；反之也成立． 10．（2024秋•临高县期中）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠EGF＝112°，则∠EHF＝ 　124　°． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】124． 【分析】过点G作GM∥AB，根据题意求得∠MGE+∠MGF＝∠DFG+∠BEG＝∠EGF＝112°，从而∠AEG+∠CFG＝248°，过点H作HN∥AB，同理可求∠EHF＝124°． 【解答】解：如图，过点G作GM∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥MG∥AB， ∴∠BEG＝∠MGE，∠DFG＝∠MGF， ∴∠MGE+∠MGF＝∠DFG+∠BEG＝∠EGF＝112°， ∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣112°＝248°， ∵EH，FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线， ∴， 过点H作HN∥AB， 同理可求∠EHF＝∠EHN+∠FHN＝∠HEA+∠HFC＝124°． 故答案为：124． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•相城区期末）如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）求证：DF∥BC； （2）若∠1＝72°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFD＝∠FDE，从而利用等量代换可得∠1＝∠FDE，然后利用平行线的判定，即可解答； （2）根据已知可得∠FDE＝72°，再利用角平分线的定义可得∠FDE＝∠ADF＝72°，然后利用平行线的性质，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AC∥DE， ∴∠AFD＝∠FDE， ∵∠AFD＝∠1， ∴∠1＝∠FDE， ∴DF∥BC； （2）解：∵∠1＝∠FDE，∠1＝72°， ∴∠FDE＝72°， ∵DF平分∠ADE， ∴∠FDE＝∠ADF＝72°， ∵DF∥BC， ∴∠B＝∠ADF＝72°， ∴∠B的度数为72°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 12．（2024秋•沈河区期末）如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB； （1）AD是否平行于BC？并说明理由； （2）试说明AE⊥EF． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）AD∥BC，理由见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质结合已知条件推出∠DAB+∠ABC＝180°，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义，结合三角形的内角和定理得到，结合∠DAB+∠ABC＝180°，求出∠EAF的度数，进一步求出∠AEF的度数，即可得出结论． 【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵DC∥AB， ∴∠DCB+∠ABC＝180°， ∵∠DCB＝∠DAB， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC； （2）∵AE平分∠DAB， ∴， ∵∠AGB＝30°， ∴， 又∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴， 即：∠EAF＝30°， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝90°， 即：AE⊥EF． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的内角和定理，掌握平行线的判定和性质是关键． 13．（2022秋•高安市校级月考）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1． （1）求证：AB∥DF． （2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为DE∥BC，可知∠B＝∠AED，再根据∠1＝∠AED，可知∠1＝∠B，进而可证明DF∥AB． （2）由DE∥BC可知∠EDF＝∠1，再根据DF平分∠CDE可求∠EDC，再由三角形外角的性质可求∠A，从而可求∠C． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠AED， ∵∠1＝∠AED， ∴∠1＝∠B， ∴DF∥AB． （2）解：∵DE∥BC， ∴∠EDF＝∠1＝52°， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDC＝2∠EDF＝104°， ∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝104°﹣52°＝52°， ∵DE∥BC， ∴∠A＝∠CDF＝52°， ∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝76°． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 14．（2024秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（ 　垂直定义　）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以 　∠1＝∠GFE　（ 　两直线平行，同位角相等　）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以 　∠2＝∠GFE　（等量代换）． 所以BC∥FG （ 　内错角相等，两直线平行　）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又 　DM∥BC　（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（ 　同位角相等，两直线平行　）． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】垂直定义；∠1＝∠GFE；两直线平行，同位角相等；∠2＝∠GFE；内错角相等，两直线平行；DM∥BC；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据垂直定义可得∠BDC＝∠EFC＝90°，从而可得BD∥EF，再利用平行线的性质可得∠1＝∠GFE，从而可得∠2＝∠GFE，然后利用内错角相等，两直线平行可得BC∥FG，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠AGF，∠AMD＝∠ABC，从而可得∠AMD＝∠AGF，最后利用同位角相等，两直线平行可得DM∥FG，即可解答． 【解答】解：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（垂直定义）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以∠1＝∠GFE（两直线平行，同位角相等）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以∠2＝∠GFE（等量代换）． 所以BC∥FG （内错角相等，两直线平行）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又DM∥BC（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；∠1＝∠GFE；两直线平行，同位角相等；∠2＝∠GFE；内错角相等，两直线平行；DM∥BC；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 15．（2023秋•沐川县期末）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）GD∥CA．理由见解析； （2）40°． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出∠1+∠ACD＝180°，再根据条件∠1+∠2＝180°，即可得到∠ACD＝∠2，进而判定GD∥CA． （2）根据平行线的性质，得到∠2＝∠ACD＝40°，根据角平分线的定义，可得到∠BDG＝∠2＝40°，即再根据平行线的性质即可得出∠A的度数． 【解答】解：（1）GD∥CA． 理由：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ACD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠ACD＝∠2， ∴GD∥CA； （2）∵GD∥CA， ∴∠2＝∠ACD＝40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠BDG＝∠2＝40°， ∵GD∥CA， ∴∠A＝∠BDG＝40°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的综合应用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 考点卡片 1．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 3．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 4．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 5．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$