精品解析：甘肃省天水市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点向上平移5个单位长度后的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（　 　） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 瓮中捉鳖 D. 拔苗助长 4. 如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A B. 4 C. D. 3 6. 如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 若，化简的正确结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，B，F，C三点共线，与交于点E，．若，则与周长之比为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，则该直角三角形能容纳的正方形的边长是（ ） A. 5步 B. 步 C. 13步 D. 步 10. 如图1，在中，，P是斜边上一动点．过点P作，垂足为P，交的边或于点Q，设，的面积为y．若y与x之间的函数关系如图2所示，则的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别为______． 12. 已知，，则______． 13. 如图，这是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”的A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为______． 14. 如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点，若，则________． 15. 某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为______元． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 计算：． 20. 已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求m，n值． （2）若A，B两点关于y轴对称，求m，n的值． 21. 如图，在中，，，垂直平分线段． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 22. 如图，在中，D是边上的一点，，，，． （1）在上找一点E，连接，使（尺规作图）． （2）根据你画出的图形，计算的长． 四、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 假日出游已经成为生活新潮．在数学活动课上，某班级收集了4个甘肃景区图片，制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除字母和内容外，其余均相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，求抽到“七彩丹霞”的概率． （2）若从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“鸣沙山月牙泉”和“麦积山”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示） 24. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形平行四边形，． （1）若，求线段的长． （2）若的面积为36，求平行四边形的面积． 25. 甘州木塔（图1）于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一，某校实践小组把“测量甘州木塔高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案． 活动课题 测量甘州木塔高度 工具 无人机 示意图 说明 如图2，用无人机在点C处测得木塔顶端A处的仰角为，木塔底端B处的俯角为，无人机距离木塔的水平距离为，木塔垂直于地面， A，B，C，D在同一平面内． 测量数据 ，，米． 请根据以上测量数据，计算甘州木塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，） 26. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 27. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，D是上的一个动点，过点D作于点F，延长D，交的延长线于点E． 请你解决下面各组提出的问题． （1）求证：； （2）在探究与的关系时，某小组发现当时，；当时，．请你继续探究：当时，猜想的值（用含m，n的式子表示）．并证明． （3）拓展应用：在图1中，过点E作于点P，垂足为P，连接，得到图2．当点D运动到某个位置使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点向上平移5个单位长度后的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”，即可求解，掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解题的关键． 【详解】解：点向上平移5个单位长度后的坐标为，即为， 故选：C． 3. 下列事件是必然事件是（　 　） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 瓮中捉鳖 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，不符合题意； C、瓮中捉鳖是必然事件，符合题意； D、拔苗助长是不可能事件，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了必然事件，熟知必然事件的定义是解题的关键． 4. 如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：B． 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式．根据根的情况确定参数的取值．解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 6. 如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义．根据正切函数的定义即可完成． 【详解】解：如图，，， ∴， 故选：B． 7. 若，化简的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简．先判断，，再根据 ，化简代数式并合并即可． 【详解】解：， ，， ． 故选：C． 8. 如图，B，F，C三点共线，与交于点E，．若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由证明，，然后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长之比为， 故选：A． 9. 我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，则该直角三角形能容纳的正方形的边长是（ ） A. 5步 B. 步 C. 13步 D. 步 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质．证明根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 10. 如图1，在中，，P是斜边上一动点．过点P作，垂足为P，交的边或于点Q，设，的面积为y．若y与x之间的函数关系如图2所示，则的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图形问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，观察图象可发现：当点Q在上时，的面积y随x的增大而增大，当点Q运动到点C时，此时y最大，过点C作于点D，则，当点P运动到点B时，y为0，即，然后证明，可求出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶过点C作于点D， 根据题意，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项．先将原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，， 故答案为：，． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．把变形为，把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，这是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”的A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标．根据，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线的性质，熟记概念并灵活运用是解本题的关键. 根据直角三角形斜边上的中线的性质先求解，再利用三角形的中位线的性质可得答案. 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，为的中点， ∴， 故答案为：5 15. 某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每个台灯的售价为元，根据售价每下降2元，其月销售量就增加400个即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每个台灯售价为元， 根据题意得，， 解得，， 当时，，不合，舍去； 当时，； ∴， 答：每个台灯的售价为元． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则，二次根式的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．利用公式法解该方程即可． 【详解】解：，， ， 方程有两个不相等的实数根 ， 方程的根为，． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键掌握几个特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解：原式， ． 20. 已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求m，n的值． （2）若A，B两点关于y轴对称，求m，n的值． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可作答． 【小问1详解】 解：∵点，关于原点对称，，， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵点，关于轴对称，，， ∴，， 解得：，． 21. 如图，在中，，，垂直平分线段． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质； （1）根据垂直平分线的性质得，，即可得出答案． （2）由（1）可知，是等边三角形，求出即可求出长． 【小问1详解】 解：证明：∠， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 解：由（1），得，是等边三角形， 在中， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，D是边上的一点，，，，． （1）在上找一点E，连接，使（尺规作图）． （2）根据你画出的图形，计算的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）过D作即可； （2）证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点E即为所求， 【小问2详解】 解：由作图知：， 又， ∴， 又， ∴； ∴，即， 解得． 四、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 假日出游已经成为生活新潮．在数学活动课上，某班级收集了4个甘肃景区图片，制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除字母和内容外，其余均相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，求抽到“七彩丹霞”的概率． （2）若从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“鸣沙山月牙泉”和“麦积山”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：一共4个甘肃景区，其中抽到“七彩丹霞”的概率为， 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“鸣沙山月牙泉”和“麦积山”有2种， ∴P（抽到的两张卡片恰好是“鸣沙山月牙泉”和“麦积山”）． 24. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． （1）若，求线段的长． （2）若的面积为36，求平行四边形的面积． 【答案】（1）4 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）由（1）中，根据相似三角形的性质求出的面积，然后证明，根据相似三角形的性质求出的面积，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴，即， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 25. 甘州木塔（图1）于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一，某校实践小组把“测量甘州木塔高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案． 活动课题 测量甘州木塔高度 工具 无人机 示意图 说明 如图2，用无人机在点C处测得木塔顶端A处的仰角为，木塔底端B处的俯角为，无人机距离木塔的水平距离为，木塔垂直于地面， A，B，C，D在同一平面内． 测量数据 ，，米． 请根据以上测量数据，计算甘州木塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据垂直的定义得到，在中，根据正切的定义可求出；在中，根据正切的定义可求出，即可求解． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 在中，， ， ∴， 中， ，， ∴， ∴， 即甘州木塔的高度为米． 26. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长为，宽为； （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 27. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，D是上的一个动点，过点D作于点F，延长D，交的延长线于点E． 请你解决下面各组提出的问题． （1）求证：； （2）在探究与的关系时，某小组发现当时，；当时，．请你继续探究：当时，猜想的值（用含m，n的式子表示）．并证明． （3）拓展应用：在图1中，过点E作于点P，垂足为P，连接，得到图2．当点D运动到某个位置使时，若，直接写出值（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论； （3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， 当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作， ∵，， ∴， 由（2）知，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$