精品解析：山东省德州市优高联盟九校2025届高三上学期1月联考数学试题

德州市优高联盟九校联考数学试题 考试时间：120分钟；2025年1月 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名，班级，考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共8个小题，总分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，根据交集的概念求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：B. 2. “数列为等差数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案. 【详解】如果数列是等差数列，根据等差数列下标性质可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 比如满足，但是数列不是等差数列， 所以“数列为等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的平移变换与诱导公式，得到关于的表达式，从而得解. 【详解】依题意，得， 所以或， 得或（不恒成立，舍去）， 故选：C 4. 某科学兴趣小组的同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某病毒的成活率与温度的关系，病毒数量个与温度的部分数据如下表，由表中数据算得经验回归方程中的，预测当温度为时，病毒数量为（ ） 温度 4 8 10 18 病毒数量个 30 22 18 14 A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本点中心，代入回归方程得到，得回归方程，即可进行求解. 【详解】由表格数据可得，，， 因为点在直线上，，所以， 所以，故当时，， 即预测当温度为22℃时，病毒数量为9个，故B正确. 故选：B. 5. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】   过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 6. 2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ） A. 1440种 B. 1360种 C. 1282种 D. 1128种 【答案】D 【解析】 【分析】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可. 【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)． 故选：D． 7. 已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解. 【详解】如图， 过点向圆引两条切线，切点分别为， 则与分别为的最大､最小角，设， 由，可得， 由可知, 所以. 故选：D. 8. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设在渐近线上，结合角的关系求出即可代入渐近线结合离心率公式计算求解. 【详解】由题双曲线一条渐近线为，不妨设在该渐近线上， 则可得， 由得，故， 所以，所以， 所以或，由对称性不妨设即， 因为即，所以， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 二、多选题（每小题6分，共3个小题，总分18分） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】在复数范围内求解一元二次方程，利用模的运算即可判断A，结合复数的运算代入计算，即可判断BC，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，当时，，，此时， 当时，，，此时，故C正确； 对于D，由已知得，即，故D不正确. 故选：AC. 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 与为互斥事件 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件、相互独立事件的定义判断AB；利用概率的基本性质计算判断C；求出条件概率判断D. 【详解】依题意，不放回的随机取两次，共有种不同结果， ，共个不同结果， ，共个不同结果， ，共个不同结果， 对于A，事件能同时发生，如基本事件，与不互斥，A错误； 对于B，，， 共6个不同结果，，与相互独立，B正确； 对于C，，共9个不同结果， ，，C错误； 对于D，由选项B知，，D正确. 故选：BD 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法及偶函数的定义判断ABC，根据单调性的定义判断D. 【详解】令，，， 再令，得（1）， 即，所以，故B正确； 令，得， 由（1）得，，故A正确； 令，，，，， 即，故C不正确； 设，则，则由B，C的分析及题意可得 即，在上单调递减，又是偶函数， 在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值以及赋变量，化抽象为具体函数，再判断奇偶性和单调性. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共3个小题，总分15分） 12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴， 故. 故答案为： 13. 展开式中含的项的系数为______. 【答案】120 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 中的乘以展开式的常数项得到一部分， 中的乘以展开式中的含的项得到一部分， 故展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 14. 如图，曲线是四叶玫瑰花瓣曲线，若点是曲线上一点，则的最大值为__________，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横､纵坐标均为整数）的个数为__________. 【答案】 ①. 8 ②. 17 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值；求出圆及内部的整点个数，再剔除在玫瑰花瓣外的点即可得解. 【详解】由基本不等式，解得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为8； 在圆及其内部的整点横向最上面一排有，共5排； 纵向每一列也有5个点，有5列，共25个，验证知只有坐标轴上除原点外的8个点不在花瓣内，所以共有17个. 故答案为：8；17 【点睛】关键点点睛：确定圆及其内部的整点个数是解决第2空的关键. 四、解答题（共5个大题，总分77分） 15. 在中，角所对的边分别为，设向量，，，. （1）求函数的最大值； （2）若，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得，利用降幂公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求最大值； （2）解得，由利用正弦定理边化角得，再结合余弦定理求得，面积公式求的面积． 【小问1详解】 . 因为，所以， 所以当，即时，有最大值； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理，所以，， 又因为，所以，得， 由余弦定理有：，即，所以， 所以． 16. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 【答案】（1）亿人 （2）， 【解析】 【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出与的拟合函数关系式，再将代入函数关系式，即可得出结论； （2）由题意可知，，由结合独立重复试验的概率公式可求得的值，然后利用二项分布的期望和方差公式可求得结果. 【小问1详解】 设，则， 因为，，， 所以，， 所以，与的拟合函数关系式为 当时，， 则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人. 【小问2详解】 由题意知，所以，， ， 由，可得， 因为，解得， 所以，，. 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于），当直线的斜率不存在时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由. 【答案】（1）（2）点恒在定直线上． 【解析】 【详解】试题分析：（1）椭圆的方程为：；（2）设直线的方程为，联立方程得，，得，故点恒在定直线上． 试题解析： 解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为， 由题意得： 所以椭圆的方程为： (2)设直线的方程为，， 联立 由是上方程的两根可知： 直线的方程为： 直线的方程为： 得： 把代入得： 即，故点恒在定直线上． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数求解单调区间即可. （2），由得，则除1外还有两个零点，对求导分类讨论其单调性，当时，在单调递减，不满足，当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，则，再由韦达定理求出其余两个零点的范围，结合函数的单调性说明所求范围即为所求. 【小问1详解】 当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 ， ，，则除1外还有两个零点， ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，， 则，，所以 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，或借助数形结合思想分析解决问题. 19. 已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. （1）数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； （2）若为的“伴随数列”，证明：； （3）已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 【答案】（1）存在，“伴随数列”是15,13,11,10 （2）见解析 （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据定义求出即可； （2）证明即可得出； （3）首先证明的伴随数列是存在的，最小的，然后确定得到范围，求得到最大值，由（2）知，利用累加法可得，得出，从而，（是整数）又由知是的正约数，这样得出得到最大值为，构造数列，，它存在伴随数列，从而得证. 【小问1详解】 ，, ,，均为正整数， 所以数列4，10，16，19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是15,13,11,10. 【小问2详解】 因为数列存在“伴随数列”， 所以，且， 所以， 所以，即， 所以. 【小问3详解】 ①因为，，其中， 当时，，，有，均为正整数， 即当时，数列1,2025存在“伴随数列”：， 因此的最小值为2； ②一方面，由（2）知，， 于是， 所以， 另一方面，由数列存在“伴随数列”，知， 所以是的正约数， 取， 即取， 综合上述最大值，取，， 当时， ，符合条件， 当，，符合条件 因此的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义， 新定义求解，在求的最大值时，注意数列与不等式的综合应用，解题时分两个方面，两方面确定满足题意的伴随数列存在，至少是可以的，另一方面，确定得到最大值，利用累加法估计出得到范围，再由伴随数列的性质得出满足的性质，由这两个确定出得到最大值，但要构造出一个满足题意的数列，它的项数是，且存在伴随数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德州市优高联盟九校联考数学试题 考试时间：120分钟；2025年1月 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名，班级，考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共8个小题，总分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “数列为等差数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（ ） A B. C. D. 4. 某科学兴趣小组同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某病毒的成活率与温度的关系，病毒数量个与温度的部分数据如下表，由表中数据算得经验回归方程中的，预测当温度为时，病毒数量为（ ） 温度 4 8 10 18 病毒数量个 30 22 18 14 A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 6. 2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ） A. 1440种 B. 1360种 C. 1282种 D. 1128种 7. 已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3个小题，总分18分） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 与为互斥事件 B. 与相互独立 C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共3个小题，总分15分） 12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________. 13. 的展开式中含的项的系数为______. 14. 如图，曲线是四叶玫瑰花瓣曲线，若点是曲线上一点，则最大值为__________，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横､纵坐标均为整数）的个数为__________. 四、解答题（共5个大题，总分77分） 15. 在中，角所对的边分别为，设向量，，，. （1）求函数的最大值； （2）若，，，求的面积. 16. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于），当直线的斜率不存在时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 19. 已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. （1）数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； （2）若为“伴随数列”，证明：； （3）已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$