精品解析：山东省淄博实验中学2024-2025学年高三上学期1月期末模拟数学试题

参照秘密级管理★启用前 2024—2025学年度高三上学期期末模拟检测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 96 2. 已知集合，，则集合中元素的个数为　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若，且，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，若集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知，为实数，则使得“”成立一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（ ） A. 若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面 B. 若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面 C D. 存在某一翻折位置，使 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的是（ ） A. 样本，，…，的极差 B. 样本，，…，的中位数 C. 样本，，…，标准差 D. 样本，，，…，的方差 10. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 11. 在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试.为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B C. 考生成绩的第70百分位数为76 D. 估计该市全体考生成绩的平均分为71 三.填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 函数的最小正周期是_________ 13. 已知实数,则的取值范围是________. 14. 已知数列的通项公式则的前项和_____． 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%. （1）写出第年(2019年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过万元? （参考数据） 16. 已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期和最小值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象. 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． （1）求数列和通项公式； （2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 18. 如图，四棱锥，底面为直角梯形，，底面， 为的中点，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）已知，求点P到平面的距离. 19. 在锐角中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理★启用前 2024—2025学年度高三上学期期末模拟检测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再计算模长即可求解. 【详解】由题意得，所以.又，所以. 故选：C. 2. 已知集合，，则集合中元素的个数为　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，得，求出根的判别式为0，由此能求出集合中元素的个数． 【详解】解：集合，， 把代入，得， ， 集合中元素的个数为1． 故选：． 【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3. 若，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和差角公式即可求解. 【详解】由于，， 所以， 则 ． 故选：B 4. 已知，若集合，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系，结合充分条件和必要条件的定义可得正确的选项. 【详解】若，则或，故“”推不出“”， 反之，若，则， 故“”是“”必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值. 【详解】由题意，解得，所以， 当时，， 所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：C. 6. 已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】对于A， ，不能推出，如，反之 ，则有 ， 即是的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，由，得，即， 不能推出 ，反之，则， 因此是的必要不充分条件，B正确； 对于C，，是的充分必要条件，C错误； 对于D，由，得，反之不能推出， 因此是的充分不必要条件，D错误. 故选：B. 7. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据参变分离可得，表示点与点连线的斜率.法一：根据直线与圆的位置关系运算求解即可；法二：根据图像结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，即， 注意到，可得， 令，则表示点与点连线的斜率， 且，所以点圆上， 所以表示点与圆上的动点连线的斜率． 法一： 因为直线与圆有公共点， 直线的方程为，即， 则，解得， 即的最大值为，所以； 法二：由图可知，的最大值即为切线的斜率， 设，则，可得， 则． 所以． 故选：D． 8. 如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（ ） A. 若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面 B. 若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面 C. D. 存在某一翻折位置，使 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据线面垂直的判定和面面垂直的判定可判断； 对于B：取中点，根据三角形的中位线的性质可证得四边形PECQ是平行四边形，再由线面平行的判定可判断； 对于C：过作平面，则在上，所以平面与平面所成锐二面角为或其补角，根据面面角和线面角的定义可判断； 对于D：根据面面角和线面角的定义可判断． 【详解】若为中点，连接交于点，则面，又面，所以平面平面，故A正确； 取中点，则，，又， 所以四边形PECQ平行四边形，又平面，平面，所以平面，故B正确； 过作平面，则在上，所以平面与平面所成锐二面角为（或其补角）， ，故C错误； 若，又，则，故D正确， 故选：C． 【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的是（ ） A. 样本，，…，的极差 B. 样本，，…，的中位数 C. 样本，，…，的标准差 D. 样本，，，…，的方差 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差，中位数，标准差，方差的含义，即可依次求解． 【详解】对于A，极差为一组数据中最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故该样本的极差能度量该样本的离散程度，故A正确； 对于B，中位数为一组数据中中间的数，故该样本的中位数刻画了该样本的集中趋势，故B错误； 对于C，标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据离散程度越大，标准差越小，数据的离散程度越小，故该样本的标准差能度量该样本的离散程度，故C正确； 对于D，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，又样本，，，…，的方差与样本，，…，的方差是一样的，故样本，，，…，的方差能度量样本，，…，的离散程度，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算法则、向量的模的计算公式、向量的共线的判定方法和向量的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由 ，所以A不正确； 对于B中，由，，所以B正确； 对于C中，由，，可得，所以C不正确； 对于D中，由向量的夹角公式，可得，所以D正确． 故选：BD． 11. 在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试.为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. C. 考生成绩的第70百分位数为76 D. 估计该市全体考生成绩的平均分为71 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1，即可判断A，根据成绩落在区间内的人数和频率可判断B，根据百分位数的定义和平均数的定义可判断CD． 【详解】对于A，因为，解得，故A正确； 对于B，因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量，故B错误； 对于C，因为，， 所以考生成绩的第70百分位数落在区间， 设考生成绩的第70百分位数为,则，解得， 即考生成绩的第70百分位数为76，故C正确； 对于D，学生成绩平均分为,故D错误． 故选:AC． 三.填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 函数的最小正周期是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可 【详解】的最小正周期为， 故答案为： 13. 已知实数,则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 因为,可得,根据不等式的基本性质,即可求得的取值范围. 【详解】 , 又 根据不等式的基本性质可得: 故答案为: 【点睛】本题考查了不等式的基本性质可乘性,解题的关键是掌握,属于基础题. 14. 已知数列的通项公式则的前项和_____． 【答案】241 【解析】 【分析】讨论、对应的通项可得，结合等差数列前n项和公式求值即可. 【详解】当且时， 当且时，， 所以 . 故答案为：241 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%. （1）写出第年(2019年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过万元? （参考数据） 【答案】（1），定义域为； （2）从第8年开始，每年投入的资金数将超过400万元． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得万元，其定义域为， （2）由，解得即可． 【详解】解：（1）第一年投入的资金数为万元， 第二年投入的资金数为万元， 第年年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式万元，其定义域为 ； （2）由可得，即 ， 即企业从第8年开始年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元． 【点睛】本题主要考查函数模型的选择，属于基础题． 16. 已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期和最小值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，最小值为；（Ⅱ）图象见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用三角函数的有界性可得最值；（Ⅱ）利用五点法：列表、描点、连线作图，即可在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象. 【详解】（Ⅰ） 所以的最小正周期，最小值为-2. （Ⅱ）列表： x 0 2 0 －2 0 故画出函数在区间上的图象为 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可； （ⅱ）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，由题意知，，解得，所以， 因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，也满足上式， 综上得，． 【小问2详解】 （ⅰ）在和之间插入个数，，， 因为，，，…，成等差数列， 所以设公差为，， 则． （ⅱ）设， 则 ， 设， 即， ， ． 所以，． 18. 如图，四棱锥，底面为直角梯形，，底面， 为的中点，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）已知，求点P到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，可知为的中点，利用三角形中位线性质可得，利用直线与平面平行的判定定理可得平面； （2）由（1）可知，平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积法求解. 【详解】（1）连接交于，连接. 因为，为的中点，所以为的中点，又为的中点，故，又平面，平面，所以平面. （2）解由（1）可知，平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以. 取的中点，连接，所以∥，. 又底面，所以底面. 又，，所以， ， 所以. 因为, 所以， 所以点到平面的距离. 19. 在锐角中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）证明详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，进而证得. （2）结合三角恒等变换、函数的单调性等知识求得的取值范围，进而求得的取值范围，从而求得的最大值. 【小问1详解】 依题意，是锐角三角形， ，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 则， 即，所以， 由正弦定理得，， ，， ，，则，，， 则或（舍去）， 所以，所以. 【小问2详解】 由于， 由于都是锐角，所以，解得，则， 所以， 对于函数， 任取， ， 由于， 所以， 所以在区间上递减， 所以在上递减， ，则， 所以. 由于， 所以，则，所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $