精品解析：山东省济宁市邹城市兖矿第一中学2024-2025学年高一上学期1月月考数学试卷

邹城市兖矿第一中学2024-2025学年高一第一学期1月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：D. 3. 已知，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，以及充分不必要条件的判定方法，即可求解. 详解】由不等式，可得， 即,解得， 结合选项，可得的一个充分不必要条件为. 故选：C. 4. 下列区间为函数的增区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入法求得题设函数的单调递增区间，从而检验得解. 【详解】对于， 令，，得，， 当时，， 当时，， 当时，， 对于A，不满足，故A错误； 对于B，不满足，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，不满足，故D错误； 故选：C. 5. 已知是定义在上的奇函数，若对于任意的、，当时，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性，分、解不等式即可. 【详解】对任意的、，当时，都有成立， 不妨设，则，即， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数是定义在上的奇函数，则在上为增函数， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，； 当时，则，由可得，此时，. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 6. 已知扇形面积为，周长为，则该扇形的圆心角可能为（ ）弧度． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据条件建立方程组，即可求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形面积为，周长为， 则，消得到，解得或， 当时，，当时，， 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可. 【详解】因为，所以，函数的周期为1， 所以． 故选：B． 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增， 外层函数为增函数，则内层函数在上为增函数， 且对任意的恒成立， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（ ） A B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分段函数、指数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围即可. 【详解】因为函数且在上为单调递增函数， 由题意可知，函数在上为增函数，则， 函数在上为增函数，则，可得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：CD. 10. 已知函数且，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象与直线一定没有交点 C. 若的图象与直线没有交点，则的取值范围是 D. 若的图象与直线交于，两点，则线段长度的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用偶函数的定义判断即可；对于B，令即可判断；对于C，的图象与直线没有交点，等价于方程没有实数根，根据的图象即可得到结果；对于D，由C项分析知，线段的长度为即可判断选项. 【详解】对A，，所以是偶函数，正确； 对B，当时，即， 故的图象与直线一定有交点，B错误； 对C，令，则，即. 若的图象与直线没有交点，则，解得. 又因为且，所以的取值范围是，C正确. 对D，由C若的图象与直线交于，两点，则，且， 解得，所以，故错误. 故选：AC. 11. 若，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算可得，对A，根据判断即可；对B，由，可得，再根据，结合基本不等式求解即可；对C，根据，代入结合基本不等式求解即可；对D，根据代入可得原式，再根据求解范围即可. 【详解】若，则，，，即. 对于A，，当且仅当， 即，时，等号成立，可得，故A错误； 对于B，由，可得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以， 当且仅当，时，等号成立，故C错误； 对于D，由，可得，可知， 故， 因为，故，，，故D错误. 故选：B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将代数式变形为，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为. 故答案为：. 13. 若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数在上的单调性，结合题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 因为函数在区间上存在零点， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 函数的值域为，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两类讨论，根据对数函数的性质结合二次函数的性质即可得出结论. 【详解】由题意可知，只需满足函数的值域取遍大于的所有数即可. 当时，，符合题意， 当时，只需满足即可，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且点在函数的图象上． （1）求的值； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值； （2）根据函数的解析式直接作图即可； （3）由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数，且点在函数的图象上， 则，解得，所以，， 所以，，因此，. 【小问2详解】 作出函数的图象如下图所示： 【小问3详解】 由可得， 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点， 当直线与函数的图象有三个交点时，， 因此，实数的取值范围是. 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 分析】（1）解分式不等式可求得，再由集合基本运算可求得结果； （2）易知，对集合是否为空集进行分类讨论即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 解不等式可得，则， 若，则， 所以． 【小问2详解】 若是的必要条件，则． 当，即时，，符合题意； 当，即时，，要满足， 可得， 解得， 综上实数的取值范围为或 17. 已知． （1）求的最简解析式； （2）设函数，，的增区间. （3）已知，求的值（用a表示）. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用整体代换法，令，求增区间； （3）利用诱导公式得，再利用同角基本关系式求即可. 【小问1详解】 根据诱导公式，； 【小问2详解】 根据题意，， 令， 解得，又因为， 所以的增区间为：和. 【小问3详解】 根据，即， 也就是，即， . 18. 已知函数． （1）解不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据一元二次方程根的情况对参数进行讨论，求解一元二次不等式即可. （2）运用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 首先，令，解得或， 当时，解，得到， 当时，，此时原不等式无解， 当时，解，得到， 综上，当时，原不等式解集为， 当时，原不等式无解， 当时，原不等式解集为， 【小问2详解】 因为对任意，恒成立， 所以恒成立， 故，即， 因为，所以，， 即，故，令， 从而，又， ， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)， 故，即实数的取值范围为. 19. 已知函数，其中. （1）若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； （2）若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出函数的最小正周期，可求出的值，然后利用余弦型函数的基本性质可求出函数在上的值域； （2）由可求出的取值范围，结合余弦函数的基本性质可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为， 因为，则，所以，， 当时，，则， 则， 因此，当时的值域为. 小问2详解】 当时，， 因为函数在开区间内恰有个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邹城市兖矿第一中学2024-2025学年高一第一学期1月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 4. 下列区间为函数的增区间的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上奇函数，若对于任意的、，当时，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形面积为，周长为，则该扇形的圆心角可能为（ ）弧度． A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数且，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象与直线一定没有交点 C. 若的图象与直线没有交点，则的取值范围是 D. 若的图象与直线交于，两点，则线段长度的取值范围是 11 若，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______. 13. 若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为______. 14. 函数的值域为，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且点在函数的图象上． （1）求值； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 16 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知． （1）求的最简解析式； （2）设函数，，的增区间. （3）已知，求的值（用a表示）. 18. 已知函数． （1）解不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中. （1）若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； （2）若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $