精品解析：内蒙古呼和浩特市和林格尔县民族中学2024-2025学年高三上学期第二次质量监测数学试题

和林民中2024--2025学年度第一学期 第二次质量监测考试高三数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数，则其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进而求出其共轭复数，进而求出复数在复平面内的坐标，即可得到答案． 【详解】复数， 所以复数的共轭复数， 故复数在复平面内对应的点的坐标，在第四象限. 故选：D． 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合，再根据集合的运算法则计算． 【详解】易得，， 则. 故选：D． 3. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：是，. 故选：C. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合函数零点存在定理可得零点所在的区间. 【详解】因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数. 因为，， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：C. 5. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：偶函数需要满足，由此验证可知A，C，D都是偶函数，但要满足在区间上单调递减，验证可知只有C符合． 考点：函数的单调性和奇偶性． 【易错点晴】B,C,D都是基本初等函数，单调性和奇偶性很容易区分清楚，而对于A选项，若则为单调递增函数且为非奇非偶函数；若则为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增.对于含有绝对值的函数，按去绝对值的方法分成两段来解决. 7. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系计算可得结果. 【详解】因为，， 故，故， 故选：B． 8. 函数且的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再由，可得结果. 【详解】由题可知函数的定义域为关于原点对称， ， 则，可知该函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AC； 又当时，，排除D. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得3分） 9. 设复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 在复平面内，对应的点位于第三象限 C. 的虚部为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先对化简，求出复数，然后逐个分析判断即可 【详解】解：由，得， 所以，所以A错误； 所以在复平面所对应点在第三象限，所以B正确； 的虚部为2，所以C错误； ，所以D正确， 故选：BD 10. 下列函数中,最小值为2的是 A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 对A,根据二次函数的最值判定即可. 对B,利用基本不等式判定即可. 对C,利用基本不等式判定即可. 对D,根据指数函数的值域判定即可. 【详解】对A, ,当且仅当时取等号.故A正确. 对B, ,当且仅当时取等号.故B正确. 对C, .取等号时,又故不可能成立.故C错误 . 对D,因为,故.故D错误. 故选：AB 【点睛】本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题. 11. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由即可判断A；根据诱导公式，先将转化为，再根据两角的差的正弦公式，即可判断B；根据诱导公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简，即可判断D． 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以 ，故B正确； 对于C，设， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D正确， 故选：BCD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平面向量的线性运算坐标形式求解即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 14. 若且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域. 【答案】（1）对称轴方程为（），最小正周期 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案； （2）先求出，再由正弦函数的性质即可得到值域. 【小问1详解】 . 令（），得，， 则的对称轴方程为（），最小正周期. 【小问2详解】 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在取最大值1，在取最小值， 所以，所以. 16. 如图为函数（，，）的图象的一段． （1）求其解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)根据图像以及已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，然后通过代点求出即可；(2)首先通过平移变换求出，然后结合正弦函数的性质，利用整体代入法求对称轴即可. 【小问1详解】 由图象和已知条件知，，， 则，故． 由图像可知，当时，， 故，，即，， 又，所以． 故所求解析式为． 【小问2详解】 结合(1)中条件可知，， 令，，则，， 故函数图象的对称轴方程为:，． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到； （2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值. 【小问1详解】 ， 所以，切线方程为， 又，所以，则． 【小问2详解】 的定义域为． ，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 18. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 【答案】（1），有两个零点 （2）证明如下： 当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【小问1详解】 的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 【小问2详解】 略 19. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】（1）有关 （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案； （2）由题结合全概率公式可得答案； （3）由题可得，后由期望与方差性质可得答案. 【小问1详解】 假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得， 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： ； 【小问3详解】 依题意，喜欢网上买菜的概率为：. 从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，. 又，所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和林民中2024--2025学年度第一学期 第二次质量监测考试高三数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数，则其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是 A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 函数且的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得3分） 9. 设复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 在复平面内，对应的点位于第三象限 C. 的虚部为 D. 10. 下列函数中,最小值为2的是 A. B. C. D. 11. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 数列的前项和，若，则______. 13. 已知，，则______. 14. 若且，则的最小值为________. 四、解答题 15. 已知. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域. 16. 如图为函数（，，）的图象的一段． （1）求其解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 18. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 19. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $