精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期1月月考数学试题

高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（ ） A B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 5. 在等差数列中，若存在正整数，当时，成立，则该数列的公差（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 6. 《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 7. 已知为双曲线的上、下焦点，为的上支上一点，过作的平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，交于点，点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ） A. 长轴长为6 B. 两个焦点的坐标分别为， C. 的最大值是5 D. 的周长为12 10. 已知为正项等比数列的前项积，若，，则（ ） A. 的公比的取值范围为 B. 数列为递增数列 C. 当时，最小 D. 当时，最大 11. 已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交的右支于两点，若，，则（ ） A. 的离心率为2 B. C. 的面积为4 D. 的周长为18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知1，，，，4成等比数列，则______. 13. 如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则_____. 14. 已知两定点，若动点到两定点的距离之比为，则点的轨迹是一个圆，该圆称为阿波罗尼斯圆．已知点是圆上一动点，，，若为定值，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知：抛物线顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线相交于两点，且，求抛物线的方程． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点满足，，记． （1）当平面平面时，求的值； （2）当时，求直线与平面所成角的大小． 17. 已知等比数列满足，其中，为的前项和，． （1）求； （2）设，若，恒成立，求的最小值． 18. 已知圆，点，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）证明：直线是曲线的切线. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 【答案】B 【解析】 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参. 【详解】经过，的直线的斜率，又直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：D. 3. 下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的性质，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁，分别计算各个选项离心率即可判断. 【详解】由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁， 四个椭圆的离心率分别为，，，，其中离心率最小的为， 所以椭圆的形状与圆更接近． 故选:C． 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 则方程组无解，所以，，不共面； 故选：D 5. 在等差数列中，若存在正整数，当时，成立，则该数列的公差（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由，得， 所以， 因为，所以，所以， 故选：C 6. 《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 7. 已知为双曲线的上、下焦点，为的上支上一点，过作的平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的性质和渐近线方程求解即可. 【详解】延长交于点，因为为的平分线，所以，， 又，所以，所以， 因为，所以， 又，所以，即，所以的渐近线方程为， 故选：A 8. 如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，交于点，点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理， 【详解】因为点在直线上，且，所以， 直线的方程为，整理得， 设、，联立得， 恒成立， 所以，，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ） A. 长轴长为6 B. 两个焦点的坐标分别为， C. 的最大值是5 D. 的周长为12 【答案】AC 【解析】 【分析】先把椭圆C方程化为，然后结合椭圆定义和性质等一一判断即可. 【详解】椭圆化为， 于是，，所以长轴长为，A正确； 由方程可知，椭圆C的两个焦点在y轴上， 又，所以两个焦点的坐标分别为，，B错误; 由椭圆的性质知的最大值为，C正确; 根据椭圆的定义知的周长，D错误. 故选：AC. 10. 已知为正项等比数列的前项积，若，，则（ ） A. 的公比的取值范围为 B. 数列为递增数列 C. 当时，最小 D. 当时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求解即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正， 所以由可得，即， 由可得，即， 所以，，所以，故， 所以为递增数列，当时，最小，无最大值，故A，D错误，B，C正确； 故选：BC 11. 已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交的右支于两点，若，，则（ ） A. 的离心率为2 B. C. 的面积为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的几何定义，结合角相等可得三角形相似，从而得到边的关系，即可求解各边，从而可求解并判断各选项. 【详解】 如图所示，不妨设在第一象限，则， 由于，得，， 由于，所以， 故，可得，故， 而，故，由，得，所以的离心率；故A正确； 由以上分析可知，故B正确； 在中，，，，故，故C错误； 的周长为．故D正确； 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知1，，，，4成等比数列，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】因为1，，，，4成等比数列，根据等比数列的性质，可得 ，再利用 ，确定取值. 【详解】因1，，，，4成等比数列， 所以 ， 所以 或， 又因为 ， 所以. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题. 13. 如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量，将二面角的大小用表示，将条件和目标都用表示，再运用向量数量积求模长即可． 【详解】因为二面角的大小为，所以， 又且， 所以， 所以. 故答案： 14. 已知两定点，若动点到两定点的距离之比为，则点的轨迹是一个圆，该圆称为阿波罗尼斯圆．已知点是圆上一动点，，，若为定值，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用两点间的距离公式表示出，，结合条件是圆上一动点，代入等式可得点坐标进而即可求解. 【详解】设，则，即， 所以， 因为为定值，设为，所以， 整理得， 所以，解得，或（舍去）， 所以，， 因为点在圆内部，的最小值为， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知：抛物线顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线相交于两点，且，求抛物线的方程． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设抛物线的方程为， 联立，得， 则， 则，解得（负值舍去）， 此时，满足题意， 所以抛物线的方程为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点满足，，记． （1）当平面平面时，求的值； （2）当时，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用求解即可； （2）求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，又， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，，， 所以，，，． 设平面的一个法向量，则， 即，令解得，，所以， 设平面的一个法向量，则， 即，令，解得，，所以， 因为平面平面，所以， 所以，即， 所以． 【小问2详解】 当时，，结合（1），得，， 设直线与平面所成角为， 所以， 又，所以． 17. 已知等比数列满足，其中，为的前项和，． （1）求； （2）设，若，恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得数列的公比，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）利用等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 由可得， 两式相减得，即，所以数列公比， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）知当时，所以， 所以， 因为，恒成立， 所以的最小值为． 18. 已知圆，点，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）证明：直线是曲线切线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为结合椭圆的定义求得曲线的方程. （2）设直线的方程为再结合判别式得出是的切线. 【小问1详解】 由线段的垂直平分线的性质，得， 所以， 所以点的轨迹，即曲线是以点C，D为焦点的椭圆，设的方程为， 则，焦距，即， 所以， 故曲线的方程为. 【小问2详解】 设，则的中点为，又， 所以直线的方程为， 因为点在圆上，所以， 所以直线的方程可化为， 所以， 由，得， 将代入上式，得 ， 由，得， 所以， 所以， 所以是的切线. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【小问1详解】 因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. 【小问2详解】 ①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$