寒假作业（三）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-2026学年北师大版（2024）七年级上册数学寒假作业（三） 一、单选题 1．（2023·安徽合肥·一模）的倒数是（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·全国·期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）有理数、、在数轴上分别对应点、、的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·云南昭通·月考）若，则（   ） A．3 B．1 C． D． 5．（25-26七年级上·山东德州·月考）已知两个多项式．若关于y的方程的解为整数，则符合条件的正整数m有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025七年级上·全国·专题练习）数轴上，有理数、、、的位置如图，则化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 7．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，现已成为城市交通出行的新方式．小张对他所在的小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（） A．组数为5 B．每个小组的组距为5 C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D．样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数多于40次~60次的人数 8．（25-26七年级上·广东汕头·期末）王博在做课外习题时遇到这样的一道题：，其中●是被涂损而看不清的一个数，他翻开答案后得知该题的计算结果为15，则●表示的数是（） A．10 B．或 C． D．10或 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若单项式与单项式的和是单项式，则的值是 ． 10．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若，，且，则的值为 ． 11．（25-26七年级上·重庆·月考）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 12．（25-26七年级上·福建福州·月考）已知关于的方程，无论取何值，方程恒成立，则的个位数字是 ． 13．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在如图所示的三阶幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等，则的值为 ． 三、解答题 14．（25-26七年级上·广东深圳·月考）计算与解方程： (1) (2) (3) (4) 15．（2023七年级上·广东佛山·期末）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)分别连接； (4)我们容易判断出线段与的数量关系是_________，理由是_________________． 16．（24-25七年级上·北京·期末）对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①  ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 17．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·月考）二初举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔，三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 滚珠直径 滚珠直径 滚珠直径 单价 2元 5元 6.8元 现在学校用3000元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用． 18．（25-26七年级上·贵州黔南·期末）【背景材料】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一点． 【探究发现】数轴是数形结合的重要工具，借助数轴可以更灵活地解决线段相关问题．如图，线段的长为 ．因为或，所以当点，表示的数分别为，时，与两点之间的距离． 【迁移应用】 （1）若点表示的数为，则与两点之间的距离 ． （2）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为）秒，当为何值时， 【拓广探索】对数轴进行深入研究后，发现线段的中点表示的数为．在（2）的条件下，将，的中点分别记为点，，在运动过程中，线段的长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查倒数的定义，掌握“若两个数的乘积为，则这两个数互为倒数”是解题的关键． 根据倒数定义，用除以这个数即可求出其倒数． 【详解】解：∵ 倒数定义为的倒数为， ∴的倒数为． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，等式仍成立．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：等式性质规定，等式两边除以同一数时，该数必须不为零， 选项D中，若，则和无意义，变形不正确； 选项A、B、C均符合等式性质，正确． 故选：D． 3．A 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值， 根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值． 平方项和绝对值均非负，和为零则每项为零，从而求出 x 和 y 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查整式的加减运算，已知方程的解的情况求参数的值，先根据整式的加减运算法则求出，再解方程，根据方程的解为整数，且m为正整数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于y的方程的解为整数，且m为正整数， ∴， ∴ ∴； 故选C． 6．C 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，利用数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，则有，，，再利用绝对值的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， ∴ ． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出样本容量及各组具体人数．从直方图中有效地获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、组数为6，故此选项不符合题意； B、每个小组的组距为10，故此选项不符合题意； C、样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人，故此选项符合题意； D、样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有（人），40次～60次的人数有（人），因为，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，绝对值的意义，掌握知识点是解题的关键． 设●表示的数为x，根据题意得方程，简化后解绝对值方程即可． 【详解】解：设●表示的数为x， ∵计算结果为15， ∴， 即， 即， ∴或， 解得或， ∴●表示的数是10或． 故选D． 9． 【分析】本题考查合并同类项，同类项概念，代数式求值． 根据两个单项式的和是单项式，说明它们是同类项，进而推出相同字母的指数必须相等，据此建立等式求出的值，再代入式子计算，即可解题． 【详解】解：∵单项式与单项式的和是单项式， ∴它们是同类项， ∴且， 解得，， 则． 故答案为：． 10．1或5 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的定义，有理数的加减法运算，根据绝对值的定义和有理数的加法运算法则可确定a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：1或5． 11．8 【分析】本题考查了方程的解，多项式，熟练掌握解方程，理解多项式的定义是解题的关键． 通过解方程得到关于的表达式，根据解为正整数确定的可能取值；再根据多项式为二次三项式的条件对进行筛选，最后求满足条件的整数的和． 【详解】解：方程， 两边同乘2得， 整理得， 即， 解得 由于解为正整数，故是8的正因数， 即或2或4或8， 解得或0或2或6， 关于的多项式是二次三项式， 需满足二次项系数且一次项系数， 即且， 因此满足条件的整数为2和6， 其和为 故答案为：8． 12．9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，数字类规律探索等知识点，解题的关键是找到幂的个位数字的规律． 由方程恒成立条件，得系数相等和常数项相等，求出m和n的值，再计算，然后求其2026次幂的个位数字，通过3的幂的个位循环周期确定． 【详解】解：由题意得， ， ∵方程恒成立， ∴，， 解得，， ∴， ∵，个位为3； ，个位为9； ，个位为7； ，个位为1； ，个位为3； ∴每四个一循环， ∴，对应个位数字为9． 故答案为：9． 13．9 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，根据题意完善三阶幻方是解题的关键． 先完善幻方，然后分别列一元一次方程求得x、y、m的值，最后代入计算即可． 【详解】解：如图：由第二行可得：， 则第一行第一列的空格为：； 第一行第三列的空格为：； 第三行第二列的空格为：； ∴，解得：； ，解得：； ，即，解得：． ． 故答案为9． 14．(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算，解含分母的一元一次方程，掌握计算方法是解题的关键； （1）先将除法运算转化成乘法，再计算即可； （2）先算乘方和小括号里面的，再算乘除，最后算加减； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 15．(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了基本作图，两点之间线段最短，掌握射线、直线、线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间线段最短即可求解； 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：线段与的数量关系是，理由是两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 16．(1)①3； ② (2)或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程． 解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）①根据新运算定义列式计算即可；②根据新运算定义列式计算即可； （2）根据新运算定义列方程求解即可； 【详解】（1）解：①， ②． （2）解：当，， ∴， 把代入， 则， 解得符合题意． 当时，， ∴， 把代入， 则， 解得：，符合题意， 综上：或． 17．(1)单色圆珠笔单价为0.4元，双色圆珠笔单价为0.6元 (2)选择球珠直径的三色圆珠笔，购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各400支，双色圆珠笔200支 (3)此时a的值为1，总费用为600元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据题意列出方程求解即可； （2）设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买滚珠直径、滚珠直径、滚珠直径三色圆珠笔的总费用等于3000列方程，解方程取符合题意的值即可； （3）设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选滚珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选滚珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， 则，不合题意； 当选滚珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：选择滚珠直径的三色圆珠笔，购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各400支，双色圆珠笔200支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得：， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 18．探究发现：；迁移应用：（1）；（2）的值为秒或秒；拓广探索：不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、绝对值方程的求解以及动点问题的分析，熟练掌握数轴上两点距离公式和中点坐标公式是解题的关键． 探究发现：利用数轴上两点距离公式，代入点、表示的数即可求出线段的长度． 迁移应用：（1）直接套用两点距离公式，用含的代数式表示与两点间的距离． （2）先根据点的运动速度和时间表示出点的坐标，再代入距离公式得到的表达式，结合列方程求解． 拓广探索：先根据中点坐标公式表示出、两点的坐标，再计算的距离，观察其表达式是否含时间，从而判断长度是否变化． 【详解】解：探究发现： ； 迁移应用： （1）； （2）∵点从点出发，速度为个单位/秒，运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴， ∵，且， ∴， ∴或， 解得或， ∴的值为秒或秒； 拓广探索：线段的长不变，为，理由如下： ∵为的中点，表示的数为，表示的数为， ∴表示的数为， ∵为的中点，表示的数为，表示的数为， ∴表示的数为， ∴， ∴线段的长不变，为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $