精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试卷

天津一中2024-2025-1高三年级第三次月考数学学科试卷 本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案写在答题卡规定的位置上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，再利用交集运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 故选：B． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较即可. 【详解】由指数函数单调性可知，， 由对数函数单调性可知，， 所以，所以， 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由可得，即，，故. 故选：C. 4. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，与相交或平行；对B，与可能相交但不垂直；对C，可推出；对D，可得，结合，得到答案. 【详解】对于A，由，，，则与相交或平行，故A错误； 对于B，由，，，则与可能相交但不垂直，故B错误； 对于C，由，，，则，故C错误； 对于D，由，，则，又，则，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合余弦函数性质计算可得，即可得，再将代入计算即可得. 【详解】由，则， 则有，解得， 则，又，则， 故. 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与轴交于点，连接，说明为矩形，得，求得的斜率为，直线方程可求. 【详解】设直线与轴交于点，连接， 因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为， 则，因为是等边三角形，的中点为， 则轴，所以准线为，为矩形，则， 故是边长为4的等边三角形， 易知，则. 因为，所以直线的斜率为, 直线的方程为. 故选：B 8. 已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率. 【详解】设的左焦点为，连接，过作于， 易知，所以为的中位线， 又图中双曲线的渐近线方程为， 则，， 则为线段的中点，所以为等腰三角形，即， 又， 即， ，即，， 解得. 故选：B. 9. 已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取的中点，连接，证明平面，从而可得点在平面内，再根据，得点在以为球心，半径为1的球面上，可得动点的轨迹为平面与球的球面的交线，求出平面截球所得截面圆的半径，即可得解. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 由，得点在平面内， 由，得点在以为球心，半径为1球面上， 因此动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆， 连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为， 则由得， 且，所以，则， 因此动点的轨迹长度为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 试题中包含两个空的，答对1个的给3分， 10. 若复数z满足(为虚数单位)，则________． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数运算法则及模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 11. 二项式的展开式中的系数为________． 【答案】90 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式可求. 【详解】由题知，当时，，故的系数为90． 故答案为：90. 12. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果. 【详解】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 13. 已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，点到直线距离的最大值转化为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求解. 详解】如图， 点到直线的距离为：， 所以点到直线距离的最大值为：. 故答案为：. 14. 已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得，从而求得的外接圆半径，再利用正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉，根据锐角三角形求出的范围即可求解. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 15. 已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为_________． ②记函数的最大值为，则的值域为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案. 【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立； ，两函数如下图所示： 由图可知，当时，的最大值为， 当时，的最大值为在区间的最大值，即为， 当时，的最大值为； ①若满足，当时，，不符题意； 当时，，解得或（舍去） 当时，，不符题意； ②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为. 故答案为：①；② 三、解答题：本大题共5小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数，且. （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得； （2）由正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得， 所以 ， 即，所以的最小正周期； 【小问2详解】 由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，. 17. 如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求点D到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明面可得结论； （2）先证明出两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角； （3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 因为四边形ABCD为菱形，且， 所以，为等边三角形， 所以，又面， 所以面，又面， 所以； 【小问2详解】 由，为边长为2等边三角形可得， 所以，结合面可得两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，， ， 设面的法向量为，直线与平面所成角为， 则，取得， ， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得点D到平面的距离为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案； （2）利用导数分别求出与的最大值，由最大值相等可得关于的方程，再构造关于的函数，然后利用导数求最值即可． 【小问1详解】 当时，则， 可得， 即切点坐标，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合，设为集合中的元素个数，当时，规定. （1）若，求，，的值； （2）若，设的前项和为，求； （3）若数列是等差数列，求数列的通项公式. 【答案】（1），，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的新定义和集合中元素的性质，可得所求； （2）由集合的新定义和，推得，再由数列的错位相减法求和，计算可得所求和； （3）分和两种情况讨论，结合集合的新定义和等差数列的定义求解． 【小问1详解】 若，可得，，，，， 由为集合中的元素个数，可得，，； 【小问2详解】 若，可得，，，，，， ，则， 可得， 上面两式相减可得， 即有； 【小问3详解】 由题可知，所以，即， 若，则，， 所以，，与是等差数列矛盾， 所以， 设， 因为是各项均为正整数的递增数列， 所以， 假设存在使得， 设，由得， 由得，，与是等差数列矛盾， 所以对任意都有， 所以数列是等差数列，． 【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 20. 已知椭圆：（）半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧） （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）结合长半轴、焦距与通径定义计算即可得； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，通过计算得到其范围后，即可得的范围；（ⅱ）结合点到直线的距离公式，由题意可得距离相等，代入计算可得点纵坐标，代入方程可得横坐标，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 则：； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线：，，， 联立，得， 则有，， 且，则， 则 ， 设， 则， 则. （ⅱ）设，则， 设直线，：，， 即分别为：，， 由，则到直线，的距离相等， 联立，有是其中一组解， 又与等价， 不妨设，则有， 即，即， 可得， 又，即， 则有， 通分并整理得： . 代入得 . 化简得. 故，则，则. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津一中2024-2025-1高三年级第三次月考数学学科试卷 本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案写在答题卡规定的位置上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 数列中，若，则（ ） A 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. 3 C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 试题中包含两个空的，答对1个的给3分， 10. 若复数z满足(为虚数单位)，则________． 11. 二项式的展开式中的系数为________． 12. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 13. 已知动圆C半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为_____． 14. 已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为_________． 15. 已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为_________． ②记函数的最大值为，则的值域为_________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数，且. （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上单调递增区间. 17. 如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求点D到平面的距离. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合，设为集合中的元素个数，当时，规定. （1）若，求，，的值； （2）若，设的前项和为，求； （3）若数列是等差数列，求数列的通项公式. 20. 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧） （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$