第二章 §2.7 指数与指数函数（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

null §2.7　指数与 指数函数 第二章　函　数 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 考试要求 内容索引 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 落实主干知识 第 一 部 分 1.根式 (1)若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即 ，则称x是a的n次方根. (2)式子 (n∈N，n≥2)叫作 ，n叫作根指数，a叫作被开方数. xn＝a 根式 a a 知识梳理 5 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂： ＝______ (a>0，m，n∈N+，n>1). 正数的负分数指数幂： ＝____＝ (a>0，m，n∈N+，n>1). 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义. 0 知识梳理 6 3.指数幂的运算性质 aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q). 4.指数函数及其性质 (1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数 (x∈R)，这叫作指数函数，其中a>0，且a≠1. ar＋s ars arbr y＝ax 知识梳理 7   a>1 0<a<1 图象     定义域 ___ 值域 __________ (2)指数函数的图象与性质 R (0，＋∞) 知识梳理 8 性质 过定点 ，即x＝0时，y＝1 当x>0时， ； 当x<0时，_______ 当x<0时， ； 当x>0时，_______ 在(－∞，＋∞)上是_______ 在(－∞，＋∞)上是_______ (0,1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增函数 减函数 知识梳理 9 1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)， 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 常用结论 10 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝ 的值域是(0，＋∞).(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) × × × × 思考辨析 1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于 A.不确定 B.0 C.1 D.2 √ 由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 教材改编题 2.计算： ＝_____. 原式＝ ＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1. 1 教材改编题 13 3.若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________. 若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2； 教材改编题 14 探究核心题型 第 二部 分 例1　计算： 题型一 指数幂的运算 ＝1＋ ＝1＋1－10＋27＝19. (2) (a>0，b>0). (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　计算： (1) ； (2) 原式＝ ＝10－1＋8＋23·32＝89. 例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是 A.a<b B.若a<0，则b<a<0 C.|a|<|b| D.若0<a<log32，则ab<ba 题型二 指数函数的图象及应用 √ √ √ 如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确； D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确. (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_______. (0,2) 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示. ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴b的取值范围是(0,2). 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 思维升华 思维升华 跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0 √ √ 由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减， ∴0<a<1，故B正确； 分析可知， 函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图， ∴－b>0，∴b<0，故D正确. 命题点1　比较指数式大小 例3　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则 A.b<c<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 题型三 指数函数的性质及应用 √ b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1， 所以b<a<c. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是 A.[2,4] B.(－∞，0) C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2] √ ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. ∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 命题点3　指数函数性质的综合应用 例5　已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数. (1)求a的值； 因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， (2)若∀x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围. 令t＝2x，t∈[2,4]， (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝ ，下列说法正 确的有 A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的值域为(－1,1) D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2， <0 √ √ 可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误； (2)已知函数f(x)＝ ，若f(x)有最大值3，则a的值为_____. 1 ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 课时精练 第 三部 分 A.－7 B.－1 C.1 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 基础保分练 m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1. 2.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； ∴a＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为 ＝5，所以 ＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋ x－1＝23， 4.已知 ＝5，则 的值为 A.5 B.23 C.25 D.27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令g(x)＝|2x－a|， 由题意得g(x)的值域为[0，＋∞)， 又y＝2x的值域为(0，＋∞)， 所以－a<0，解得a>0， 所以a的取值范围为(0，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为 A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(0,1] D.(1，＋∞) √ 6.(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝ 的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为 A.(0,6] B.(0,20] C.[2,6] D.[2,20] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m＝1，n＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得x∈[0,1]， g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x， 则y＝t2＋t，t∈[1,2]， 所以g(x)的值域为[2,6]. 7.计算化简： (1) ＝________； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.09 (2) ＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.若不等式 成立，则实数a的取值范围是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 原不等式可化为2－2a－1<22(a－1)， 9.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， ∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，∴k＝2. (2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)， ∵f(1)<0， ∴0<a<1， 从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增， 故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f(m2－2)＋f(m)>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 可化为f(m2－2)>f(－m)， ∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0， 解得－2<m<1， ∴实数m的取值范围是(－2,1). 因为x∈[0,3]，f(x)＝(2x)2－4·2x＋a＝(2x－2)2＋a－4， 当2x＝2，即当x＝1时，函数f(x)取得最小值， 即f(x)min＝f(1)＝a－4＝1，解得a＝5. 10.已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1＋a，其中x∈[0,3]. (1)若f(x)的最小值为1，求a的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令t＝2x∈[1,8]，则f(x)＝t2－4t＋a， 由f(x)≥33可得a≥－t2＋4t＋33， 令g(t)＝－t2＋4t＋33，函数g(t)在[1,2)上单调递增，在(2,8]上单调递减， 因为g(1)＝36，g(8)＝1， 所以g(t)min＝g(8)＝1， 所以a≥1. (2)若存在x∈[0,3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(多选)(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则 A.2a＋2b>2 B.∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C.2a＋2b＝2 D.a＋b<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合提升练 √ √ 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示. 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对. 12.(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________. 1＋2ln 2 依题意，ex＝ey＋e，ey>0， 此时，(2x－y)min＝1＋2ln 2， 所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(2023·金昌模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为 A.f(cx)≥f(bx) B.f(cx)≤f(bx) C.f(cx)>f(bx) D.f(cx)＝f(bx) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)， 又由f(0)＝3，得c＝3， 所以bx＝2x，cx＝3x， 若x<0，则有cx<bx<1， 而f(x)在(－∞，1)上单调递减， 此时有f(bx)<f(cx)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若x＝0，则有cx＝bx＝1， 此时有f(bx)＝f(cx)， 若x>0，则有1<bx<cx， 而f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 此时有f(bx)<f(cx)， 综上可得f(bx)≤f(cx). 14.(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是 定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴ ＋m－1＝－ －m＋1， ∴2m＝－ － ＋2， 构造函数y＝－ － ＋2， x0∈[－1,1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在(1,3]上单调递减， ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)()n＝ . 当n为奇数时，＝ ， 当n为偶数时，＝|a|＝   . x－1 2或 若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝. (1)(－1.8)0＋－2·－＋； (－1.8)0＋－2·－＋ ＝1＋2·2－10＋33 ＝2××8＝. 因为有意义，所以a>0， 所以原式＝ ＝÷＝a÷a＝1.  f(x)＝×2x＋， 所以×＋2x＝－， 所以＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. 所以m≥4＋＝. 因为f(x)＝－2x，x∈[1,2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1,2]， 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增，   对于A中，由f(－x)＝＝－＝－f(x)， 对于C中，设y＝，可得3x＝，所以>0，即<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)，所以C正确； 对于D中，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0，可得函数f(x)为减函数， 而f(x)＝＝1－为增函数，所以D错误. 令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)， 则解得a＝1. 1.若m＝，n＝，则m＋n的值为 由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝. A. B.1 C. D.2 当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意. 3.函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是 当a>1时，0<<1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数  y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故A，B错误； 当0<a<1时，>1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数  y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故D正确，C错误. 所以＝x＋＝x＋x－1＝23. x  f(x)＝x＝2x，由 ＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. 2a＋1<4a－1 即－2a－1<2(a－1)，解得a>. ∴a－<0，又a>0，且a≠1， 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2， 则e2x－y＝＝＝ey＋＋2e≥2＋2e＝4e， 当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”， 则有＝1，即b＝2， 令t＝ ，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增， 当t＝或t＝3时， 函数取得最小值－， ∴y∈， 又∵m≠0，∴－≤2m<0， ∴－≤m<0. $$