第二章 必刷小题2 函数的概念与性质（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

必刷小题2　函数的概念 　　　　　 与性质 第二章　函　数 A.1 B.2 C.3 D.4 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题设，x2－3x≥0，可得定义域A＝{x|x≤0或x≥3}， 所以A∩B＝{x|－1<x≤0或3≤x<5}，故其中整数元素有0,3,4，共3个. 2.(2023·深圳模拟)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是 A.∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 B.∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 C.∃x∈R，f(x)≠f(－x) D.∀x∈R，f(x)≠f(－x) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为定义在R上的函数f(x)不是偶函数， 所以∀x∈R，f(x)＝f(－x)为假命题， 则∃x∈R，f(x)≠f(－x)为真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于 A.－7 B.－3 C.3 D.7 设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是 A.y＝ B.y＝x－sin x C.y＝tan x D.y＝x3－x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝x－sin x，因为y′＝1－cos x≥0，x∈R， 所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确； y＝tan x在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误； y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2022·镇江模拟) “函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数， 则sin(－x)＋(a－1)cos(－x)＝－sin x－(a－1)cos x， 化简得a－1＝0，故a＝1， 当a＝1时，f(x)＝sin x是奇函数， 因此“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2023·郑州模拟)已知f(x)＝x3＋2x，若a，b，c∈R，且a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值 A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)＝x3＋2x，x∈R， f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x3－2x＝－f(x)， 所以f(x)是R上的奇函数， 又因为f′(x)＝3x2＋2>0， 所以f(x)在R上单调递增， 又因为a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0， 所以a<－b，c<－a，b<－c， 所以f(a)<f(－b)＝－f(b)，f(c)<f(－a)＝－f(a)，f(b)<f(－c)＝－f(c)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(a)＋f(b)＋f(c)<－[f(a)＋f(b)＋f(c)]， 即f(a)＋f(b)＋f(c)<0. 7.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数， 所以函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上满足f(2－x)＝f(2＋x)， 所以f(1)＝f(3)， 8.已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f(－ln x)<2f(1)的解集为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2的定义域为R， f(－x)＝－xsin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsin x＋cos x＋x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数， f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，当x>0时，2＋cos x>0，则f′(x)>0， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 由f(ln x)＋f(－ln x)＝2f(ln x)<2f(1)， 可得f(|ln x|)<f(1)，得|ln x|<1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 9.(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝ln sin x知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故选ABC. 10.已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，且f(x)在区间[－1，2)上单调递增，在区间[2,5]上单调递减，则以下说法一定正确的是 A.f(2)>f(5) B.f(－1)＝f(5) C.f(x)在定义域上有最大值，最大值是f(2) D.f(0)与f(3)的大小不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减， 可得f(2)>f(5)，故A正确； 题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称， 所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确； 根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续， 所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确； x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性， 所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确. 11.若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，f(1＋x)＝－f(1－x)，下列四个结论正确的是 A.f(x)是周期为4的周期函数 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.f(x)是偶函数 D.f(x)的图象经过点(－2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x＋2)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4，故A正确； 又f(1＋x)＝－f(1－x)， 所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确； 又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数，故C正确； 又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)， 无法判断其值，故D错误. 12.(2023·淮北模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则 A.f(－2)＝0 B.f(1)＝0 C.f(2)＝0 D.f(4)＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x＋2)为奇函数， 所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C正确； 由f(x＋2)的图象向右平移2个单位可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)＝0， 因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝－x2或f(x)＝－|x|(答案不唯一) 14.已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)； ②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件， 若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|. 15.已知函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1,2]上的最大值是6，则实数a的值是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －9或－6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a≥0时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)， f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意； 当a<0时，y＝x3＋2x＋a在[1，2]上单调递增， 3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a， 而3＋a<3，3＋a<12＋a， 所以a＝－9或a＝－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(2023·太原模拟)已知函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－1<x<5}，则集合A∩B中整数的个数是 －  y＝－是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误； A.f(1)<f <f  B.f <f(1)<f  C.f <f <f(1) D.f <f(1)<f  因为2<<3<，所以f >f(3)>f ， 则f >f(1)>f . A.(e，＋∞) B.(0，e) C.∪(1，e) D. 即－1<ln x<1，解得<x<e. A.f(x)＝ex－e－x B.f(x)＝－1 C.f(x)＝ln D.f(x)＝ln sin x 由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称； 由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称； 所以当x＝时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D正确； 令f(x)＝sin x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B不满足． 13.(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f ＝____. 由题意，可得f ＝sin ＝－sin ＝－，则f ＝f ＝2＋1＝. 若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为(－∞，＋∞)，根据一次函数和分段函数，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 则或 16.已知函数f(x)＝－ln|x|，则使不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的 取值范围是____________________. ∪ 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－ln|－x|＝－ln|x|＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝－ln x， 因为函数y＝，y＝－ln x均在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由f(2t＋1)>f(t＋3)得f(|2t＋1|)>f(|t＋3|)，则 即即 解得－<t<2且t≠－， 故不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是∪. $$