第二章 §2.10 函数的图象（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§2.10　函数的图象 第二章　函　数 考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 内容索引 落实主干知识 第 一部 分 1.利用描点法作函数图象的方法步骤： 、 、 . 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 f(x)＋k f(x＋h) f(x－h) f(x)－k 列表 描点 连线 知识梳理 5 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝ . ②y＝f(x) y＝ . ③y＝f(x) y＝ . ④y＝ax (a>0，且a≠1) y＝ . －f(x) f(－x) －f(－x) logax(a>0，且a≠1) 知识梳理 6 (3)翻折变换 ①y＝f(x) y＝ . ②y＝f(x) y＝ . |f(x)| f(|x|) 知识梳理 7 1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换. 2.函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的 图象关于直线x＝ 对称. (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔ f(x)＝2b－f(2a－x). 常用结论 8 3.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称. (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称. 常用结论 9 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.(　　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　) × × × × 思考辨析 √ 教材改编题 2.函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为 A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3 √ 由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位得到的， 函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴 为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上， 所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示， 故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点. 教材改编题 12 3.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. e－x＋1 ∵f(x)＝e－x， ∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1. 教材改编题 13 探究核心题型 第 二部 分 例1　作出下列各函数的图象： (1)y＝|log2(x＋1)|； 题型一 作函数图象 将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示. (3)y＝x2－2|x|－1. 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图. (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画. (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图. (4)画函数的图象一定要注意定义域. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　作出下列各函数的图象： (1)y＝x－|x－1|； (3)y＝|log2x－1|. 先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示. 例2　(1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝ 的图象大致为 题型二 函数图象的识别 √ 由解析式知，定义域为{x|x≠0}， (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是 √ 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B； 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断. (2)利用函数的零点、极值点等判断. (3)利用特殊函数值判断. 思维升华 √ √ 所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0， 故选项A，C错误； 当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减， 故选项D错误，选项B正确. 命题点1　利用图象研究函数的性质 例3　(多选)已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称 B.函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 C.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 题型三 函数图象的应用 √ √ 所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误； 命题点2　利用图象解不等式 例4　(2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为 √ 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例5　已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个 不同的实数解，则实数m的取值范围是 A.(0,1) B.[0,1) C.(1,3)∪{0} D.[1,3)∪{0} √ 因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点， 作出函数图象，如图所示， 所以当m∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}. 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 思维升华 跟踪训练3　(1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为 A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 √ 把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象， 则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增， 又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a－2≤0，即a≤2. 所以a的最大值为2. (2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的 实数根，则实数k的取值范围是________. 课时精练 第 三部 分 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象 A.向右平移3个单位，再向下平移1个单位 B.向左平移3个单位，再向下平移1个单位 C.向右平移3个单位，再向上平移1个单位 D.向左平移3个单位，再向上平移1个单位 √ 将函数y＝2x的图象向右平移3个单位得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位得到y＝2x－3－1的图象. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　(特值法) 方法二　令y＝f(x)， 则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B，D； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式 <0的解集为 A.(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5] B.(－π，－2)∪(π，5] C.[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5] D.[－5，－2)∪(π，5] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得f(x)>0的解集为[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0的解集为(－2,2)， 当x∈[－5,5]时，sin x>0的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sin x<0的解集为(－π，0)∪(π，5]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)＝ 方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是 A.函数f(x)的图象关于直线x＝ 对称 B.函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增 C.当m∈(1,2)时，方程有3个不同的实数根 D.当m∈(－1,0)时，方程有4个不同的实数根 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e， 对于选项B，f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增； 作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图所示， 对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.将函数f(x)的图象先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝_______. －2 由函数f(x)的图象先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1 ， 故f(x)＝g(x－1)－1， 所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2023·衡水质检)函数f(x)＝ 的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝_____. 2 (1)画出函数f(x)的图象； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围. 10.已知f(x)＝ 是定义在R上的奇函数. (1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题意，列表如下， x －2 －1 0 1 2 f(x) 0 －1 0 1 0 f(x)的大致图象如图所示，其中有A，O，B三个零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围； 由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1<a－2≤1，即1<a≤3，故a的取值范围为1<a≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数. φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图象交点的 横坐标， 又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)， 结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点， 即φ(x)只有一个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合提升练 A.a>0 B.b<0 C.c>0 D.abc<0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数的定义域为{x|x≠－c}， 由图可知－c>0，则c<0， 综上，a>0，b<0，c<0. 12.(2023·济南模拟)若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知 函数f(x)＝ 则f(x)的“和谐点对”有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝ (x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2， 即f(x)的“和谐点对”有2个. 拓展冲刺练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)， ∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位，纵坐标变为原来的2倍. 当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴要使对任意x∈(－∞，m]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是 A.函数y＝f(x)是奇函数 B.对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4) C.函数y＝f(x)的值域为 D.函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的 圆； 此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误； 因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)， 即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确； 由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在[－2,0]上的图象相同，即单调递增，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.函数y＝1－的图象是 将函数y＝－的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得到y＝1－的图象，故选B. (2)y＝； 原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示. 因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示. 根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图①所示. (2)y＝|x|； 作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图②实线部分所示.  f(－x)＝·ln|－x|＝·ln|x|＝f(x)， 故y＝为偶函数，排除D； 又f(1)＝0，f ＝－<0，排除A，C. A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D； 对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜≤1，与图象不符，所以排除C.故选A. 跟踪训练2　(1)(2022·吕梁模拟)函数f(x)＝的大致图象为 因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R， 又f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项； 因为<1<，所以0<f(1)＝＝sin 1<，排除B，D选项. (2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为 函数f(x)＝ 所以y＝g(x)＝f(1－x)＝   因为f(x)＝＝＝＋2， 所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， 易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误. A.(－，0)∪(，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D.(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为. 2.(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0； 取x＝－1，则y＝cos(－1)＝－cos 1<0.结合选项知选A. 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故选A. A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 对于B选项，函数f(x)＝有意义，则解得x≠0且x≠1且x≠2，故不满足，错误； 对于C选项，函数f(x)＝有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故不满足，错误； 对于D选项，当x∈(0,1)时，f(x)＝>0，故不满足，错误. 故根据排除法得f(x)＝与此图象最为符合. 不等式<0等价于或 由解得x∈(－π，－2)∪(π，5]， 由解得x∈(0,2)， 所以不等式<0的解集为(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]. 显然函数f(x)的图象不关于直线x＝对称；   因为f(x)＝＝＋1，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，而直线y＝kx＋1过(0,1)点，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以＝1，即y1＋y2＝2. 9.已知函数f(x)＝ 由题得f(x)＝其图象如图所示， 由题可得或 解得x≤－或0<x≤， 所以实数x的取值范围为(－∞，－]∪. 11.(多选)函数f(x)＝的图象如图所示，则 由图可知f(0)＝<0，所以b<0， 由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－， 由图可知－>0，得<0，所以a>0， 13.(2023·贵阳模拟)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当  x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是 A. B. C. D. 令4(x－2)(x－3)＝－， 解得x1＝，x2＝， 都有f(x)≥－， 则m≤， ∴m∈. [0,2] 当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆； 当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示. 由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确； $$