第二章 §2.9 指、对、幂的大小比较[培优课]（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§2.9　指、对、幂的大小 比较[培优课] 第二章　函　数 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 命题点1　利用函数的性质 例1　设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 题型一 直接法比较大小 √ 所以 < ，即a<b， 又因为函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增， 所以 < ， 所以b<c，故c>b>a. 命题点2　找中间值 例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝ ，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a √ 命题点3　特殊值法 例3　已知a>b>1,0<c< ，则下列结论正确的是 A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc √ 则ac＝ ，bc＝ ， ∴ac>bc，故A错误； abc＝4× ＝ ，bac＝2× ＝ ， ∴abc>bac，故B错误； ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误. 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0， ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b √ 因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增， 所以1.60.6>0.60.6>0， 又b＝lg 0.6<lg 1＝0， 所以c>a>b. A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b √ 且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log3 >log34，即a>b. 又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1， 即b>c，所以a>b>c. 例4　(1)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 √ a＝ ＝ ＝ ，b＝ ＝ ， 所以a<b， 所以a<b<c. (2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b √ ∴log53<log85. ∵55<84，134<85， ∴5log85<4，4<5log138， ∴log85<log138， ∴log53<log85<log138，即a<b<c. 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 思维升华 思维升华 跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3 ≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a √ c＝930＝360， a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c. (2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则 A.b<a<c B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c √ 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log26<log28<log210， 所以a<b<c. 题型三 构造函数比较大小 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a √ ∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， ∴a<c，b<c， ∴b<a<c. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝－ln 0.9，则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b √ 设u(x)＝xex(0<x≤0.1)， w(x)＝－ln(1－x)(0<x≤0.1). 则当0<x≤0.1时，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0. ①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)] ＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)] ＝x＋ln(1－x)(0<x≤0.1)， 所以f(x)在(0,0.1]上单调递减， 所以f(0.1)<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0， 即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0， 所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)]. 又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以a<b. ②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤0.1)， 设h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤0.1)， 则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立， 所以h(x)在(0,0.1]上单调递增， 所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0， 即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立， 所以g(x)在(0,0.1]上单调递增， 所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0， 即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0， 所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c. 综上，c<a<b，故选C. 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 思维升华 跟踪训练3　(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为 A.b>c>a B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c √ 令f(x)＝(14－x)ln x， 所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0. 所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减. 所以f(6)>f(7)>f(8)， 即8ln 6>7ln 7>6ln 8， 故68>77>86.故a>b>c. √ ∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f(1)＝0， ∴c<b， 又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0， ∴a<c<b. 课时精练 A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b √ 故c<a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝ ，则下列判断正确的是 A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c √ 3.设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为 A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以a>c，所以b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则 A.x>y>z B.y>x>z C.z>x>y D.x>z>y √ 因为3x＝4y＝10， 所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2， 则1<y<2，所以x>y>1， 而z＝logxy<logxx＝1， 所以x>y>z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 由x，y，z为正实数， 设log2x＝log3y＝log5z＝k>1， 可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5. 令f(x)＝xk－1， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(2)<f(3)<f(5)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(2023·茂名模拟)已知a＝sin 2，b＝ln 2，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴a>c，∴b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a √ 令f(x)＝sin x－x， 则f′(x)＝cos x－1≤0， 所以f(x)为减函数， 所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sin x<x， 所以b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知a＝5ln 4π，b＝4ln 5π，c＝5ln π4，则a，b，c的大小关系是 A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减， ∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b， ∴4ln π>πln 4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴π4>4π， ∴5ln π4>5ln 4π， ∴c>a，∴b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则 A.a>c>b B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c √ 由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1， 令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)， 所以f′(x)在[－1,1]上单调递减， 所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，所以f(x)在[－1,1]上单调递增， 所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b √ 令f(x)＝x－sin x， 则f′(x)＝1－cos x≥0， 所以函数f(x)在R上单调递增， 所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0， 即有x>sin x(x>0)成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以令g(x)＝tan x－x， 所以函数g(x)在定义域内单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0， 即有tan x>x(x>0)成立， 综上，c>b>a. 因为函数y＝x是增函数， 即0<c<，所以b>a>c. 因为1＝log55>log53>log5＝log5 ＝， 即<a<1， b＝ >20＝1,7－0.5＝ < ＝， logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2， 取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝， (2)已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为 因为a＝＝log3 ， ＝34＝81>43＝64， 因为y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，且<， c＝ > ＝1， 又 <0＝1，即b<1， ∵log53－log85＝log53－＝ <＝<＝0， 由题意得，a＝log63＝log6＝1－log62＝1－， b＝log84＝log8＝1－log82＝1－， c＝log105＝log10＝1－log102＝1－， 则>>， 例5　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为 a＝＝，c＝＝， 令f(x)＝， ∴a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)， ∴f′(x)＝， ∴f(x)max＝f(e)＝＝c， 又b＝＝＝＝f(4)，∵4>， ∴f(4)<f ，∴b<a， v(x)＝(0<x≤0.1)， 则f′(x)＝1－＝<0在(0,0.1]上恒成立， 所以u(0.1)<v(0.1)，即0.1e0.1<， 则g′(x)＝(x＋1)ex－＝(0<x≤0.1). 则f′(x)＝－ln x＋－1. 因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝－1在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)＝－ln x＋－1在(0，＋∞)上单调递减. 而f′(5)＝－ln 5＋－1>0，f′(6)＝－ln 6＋－1<0， (2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b ∴f′(x)＝－＝， ∵(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(2)2＝28>33， ∴e1.3<2，∴a<0； b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)， 令f(x)＝2－2－ln x， ∴f(1.1)>0，即2－2－ln 1.1>0， 又c＝log2<log22＝1. 1.设a＝ ，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系是 a＝ ＝ >1，且 <2＝b， a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 由c＝2－log32＝log39－log32＝log3>log34＝2log32＝b， a－c＝log23＋log32－2>2－2＝2－2＝0， 5.设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则，，的大小关系是 A.<< B.<< C.<< D.＝＝ ∴＝2k－1>1，＝3k－1>1，＝5k－1>1， 即<<. 即b<，∴a>b； ∵ ＝＝，3＝， ∴ >，∴c>b； a＝sin 2>sin ＝>， ＝e3>24⇒ >2⇒ ＝>ln 2， ∵6＝， ＝＝， ∴> ， 7.设a＝，b＝9sin ，c＝，则 所以b＝9sin <9×＝<1， 又a＝>＝1，c＝>＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105， 令f(x)＝(x≥e)，则f′(x)＝， ∴>， 同理可得>， 则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋， 又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0， 10.(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则 因为b＝cos ＝1－2sin2， 所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2＝2. 所以>sin ，得>sin2，所以b>a. 因为＝＝4tan ， 则g′(x)＝－1＝≥0， 所以tan >，即4tan >1， 所以>1，又b>0，所以c>b. $$