第二章 §2.8 对数与对数函数（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§2.8　对数与 对数函数 第二章　函　数 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用 对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调 性与特殊点. 3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数. 考试要求 内容索引 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 落实主干知识 第 一 部 分 1.对数的概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝_______，其中a称为对数的______，N称为对数的______. 以10为底的对数叫做常用对数，记作 . 以e为底的对数叫做自然对数，记作 . logaN 底数 真数 lg N ln N 知识梳理 5 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ， ＝___(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝______________； ② ＝______________； ③logaMn＝_________ (n∈R). (3)对数换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 0 1 N logaM－logaN nlogaM logaM＋logaN 知识梳理 6   a>1 0<a<1 图象     定义域 __________ 值域 ___ 3.对数函数的图象与性质 (0，＋∞) R 知识梳理 7 性 质 过定点 ，即x＝1时，y＝0 当x>1时， ； 当0<x<1时，_____ 当x>1时， ； 当0<x<1时，_____ 在(0，＋∞)上是_______ 在(0，＋∞)上是_______ (1,0) y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 知识梳理 8 4.反函数 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么___是___的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数. x y 知识梳理 9 2.如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 常用结论 10 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　　) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(　　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝ 的图象重合.(　　) × × √ × 思考辨析 1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为 A.[0,1] B.(0,1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) √ 根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增， 因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22， 即f(x)∈[0,1]. 教材改编题 2.函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点______. ∵loga1＝0，令x－2＝1， ∴x＝3，y＝2， ∴函数的图象过定点(3,2). (3,2) 教材改编题 13 4 教材改编题 14 探究核心题型 第 二部 分 例1　(1)若2a＝5b＝10，则 的值是 由2a＝5b＝10， ∴a＝log210，b＝log510， 题型一 对数式的运算 √ (2)计算：log535＋ － －log514＝_____. 2 ＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝_______. 因为2a＝3，所以a＝log23， 又b＝log85， －1 例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是 A.0<a－1<b<1 B.0<b<a－1<1 C.0<b－1<a<1 D.0<a－1<b－1<1 题型二 对数函数的图象及应用 √ 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 综上，0<a－1<b<1. (2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是__________. (3，＋∞) f(x)＝|ln x|的图象如图， 因为f(a)＝f(b)， 所以|ln a|＝|ln b|， 因为0<a<b， 所以ln a<0，ln b>0， 所以0<a<1，b>1， 所以－ln a＝ln b， 所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0， 则g(x)在(0,1)上单调递减， 所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3， 所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞). 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 思维升华 思维升华 跟踪训练2　(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象可能是 √ ∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)， ∴g(x)＝ ＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ 互为反函数， ∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性. (2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为 √ 由函数y＝ax的图象可得a>1. 当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数. 因为y＝logax与y＝loga(－x)关于y轴对称， 所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数. 而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右 平移一个单位得到的， 所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数.结合选项可知选D. 命题点1　比较对数式的大小 例3　(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b √ a＝log30.5<log31＝0，即a<0； b＝log3π>log33＝1，即b>1； 0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1， ∴a<c<b. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点2　解对数方程、不等式 例4　若loga(a＋1)<loga(2 )<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是 ________. 命题点3　对数函数的性质及应用 例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增 √ 函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， 当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数. 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 思维升华 令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数. 又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减， 可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1， 跟踪训练3　(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是 A.(1,3] B.(1,3) C.(0,1) D.(1，＋∞) √ (2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)有最小值， 则实数a的取值范围是________. 课时精练 第 三部 分 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础保分练 2.若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于 A.－1 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)， 则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1， 所以f(log28)＝1. 函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C； 由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)， 可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D. √ 3.函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h.则该蓄电池的Peukert常数n大约为 (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是 A.(－1,1) B.(0,1) C.(－1,0) D.∅ √ 不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|， 分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象， 由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有 两个交点，分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)， 即不等式f(x)>0的解集是(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是 A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减 C.函数f(x)在区间 上的最小值为0 D.若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确； 当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误； 所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确； 当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 8.函数f(x)＝ 的最小值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知f(x)＝ (1)若a＝2，求f(x)的值域； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a＝2时，f(x)＝ 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ∴t≥9，f(x)≤ ＝－2， ∴f(x)的值域为(－∞，－2]. (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. 令u(x)＝x2－ax＋5a， ∵y＝ (x)为减函数， ∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数. (1)求k； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立， ∴k＝－1. (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0， 由7·3x－1>0，解得x>－log37； 由3x＋3－x≥7·3x－1， 得6·(3x)2－3x－1≤0， 即x≤－log32， 综上，不等式的解集为(－log37，－log32]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合提升练 √ 由已知，得2a＝3b＝6c＝k， 得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是 A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上为增函数 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)， 当x＝2 时，4x－x2 取到最大值4， 故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2 ，A错误； f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x (0<x<4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数， u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减， 故f(x)在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确； 因为f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误. 13.已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有 >1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为 A.(ln 2，＋∞) B.(－∞，ln 2) C.(ln 2,1) D.(0，ln 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 拓展冲刺练 √ 则f(x1)－x1>f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x， 则g(x)在R上单调递增， 又f(0)＝1， 则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)， 等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0， 即g(ln(ex－1))<g(0)，所以ln(ex－1)<0， 则0<ex－1<1，解得 0<x<ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(多选)已知函数f(x)＝ 若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3， x4且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是 A.0<a<1 B.x1＋2x2∈(3，＋∞) C.x1＋x2＋x3＋x4∈ D.x4∈[4，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<x4， 可得0<a<1，故选项A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵x3＋x4＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 loga 1.logab·logba＝1， ＝logab. 3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象 恒过点(1,0)，(a,1)，. 3.eln 2＋＝______. eln 2＋＝2＋log416＝2＋2＝4. A.－1 B. C. D.1 ＋ ∴＝lg 2，＝lg 5， ∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. log5 原式＝log535－log5－log514＋ ＝log5＋ 所以a－3b＝log2，4a－3b＝ ＝. 所以b＝log25， 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋ －×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1. (2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝_____. 解得<b<1. 所以ab＝1，则b＝， 所以a＋2b＝a＋， 令g(x)＝x＋(0<x<1)， ∴ab＝1，∴a＝， 解得<a<1.   由题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1， 得或 故有解得1<a≤3. loga (1，) 则有 解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，). 令u(x)＝x2－ax＋＝2＋－， 则u(x)有最小值－， 欲使函数f(x)＝loga有最小值， 由题意，要使函数f(x)＝有意义，则满足log0.5(2x－1)≥0， 所以0<2x－1≤1，解得<x≤1，即函数f(x)的定义域为. 1.函数f(x)＝的定义域为 A. B. C. D.[1，＋∞) A. B. C. D.2 两式相比得＝1，即n＝， 所以n＝ ＝＝≈＝. 当x∈时，x＋1∈， －2＋ ＝4＋2＋4＝10. 7.(2023·淮北模拟)计算：－2＋ ＝______. － 依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－， 当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为－. ∴a的取值范围是. ∴ 解得－<a≤2， ∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x， 由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)， 得0<3x≤， A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝ 所以＝logk2，＝logk3，＝logk6， 而2×3＝6，所以＋＝.   因为 >1，不妨设x1>x2， 由图象可得x1·x2＝1，则＝x2， ∴x1＋2x2＝x1＋， 作函数f(x)＝的图象如图所示，  x1＋x2＝＋x1，∵<x1<1，∴＋x1∈， ∴x1＋x2＋x3＋x4∈，故选项C正确； 故当<x1<1时，x1＋2x2＝x1＋∈，故B错误； ∵<x1<1，且1<x2<2，对勾函数y＝x＋在区间上单调递减， 由图象可知x4∈(4＋，6)，故选项D错误. 令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±， $$null