第二章 §2.4 函数的对称性（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§2.4　函数的对称性 第二章　函　数 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2.会利用对称公式解决问题. 考试要求 内容索引 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 落实主干知识 第 一 部 分 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于______对称，偶函数关于_____对称. (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为_______；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为_______. 2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点_____对称. 原点 y轴 x＝－2 (－2,0) (a,0) 知识梳理 5 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于_____对称. y轴 x轴 原点 知识梳理 6 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称. (　 　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称.(　 　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　 　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称. (　 　) √ × × √ 思考辨析 A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) √ 教材改编题 2.已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为___________. f(－4)>f(1) ∵f(－2－x)＝f(－2＋x)， ∴f(x)关于直线x＝－2对称， 又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减， ∴f(－4)＝f(0)>f(1)， 故f(－4)>f(1). 教材改编题 9 3.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝___. 5 ∵f(x)为偶函数， ∴f(－1)＝f(1)， 由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5. 教材改编题 10 探究核心题型 第 二部 分 例1　(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于 A.－2 B.2 C.0 D.－4 √ 题型一 轴对称问题 定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)， 故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(x)＝f(2－x)， 故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数. 则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________. (2,4) ∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增. 又f(x－1)>f(1)， ∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1， 解得2<x<4， ∴原不等式的解集为(2,4). 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 成轴对称. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是 A.f(－1)<f(1)<f(2) B.f(1)<f(2)<f(－1) C.f(2)<f(－1)<f(1) D.f(－1)<f(2)<f(1) √ 因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0， 所以f(x)的对称轴为x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1). (2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥ 时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为 A.2 B.3 C.4 D.－1 √ 那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和， 例2　(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是 A.f(x)＝f(－x) B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C.f(－x)＝－f(x＋4) D.f(x＋2)＝f(x－2) √ 题型二 中心对称问题 √ √ 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确； 因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确； 由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确； 由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误. (2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝ ＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为_____. 4 因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称， 所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4. 思维升华 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于 A.点(－2,0)对称 B.直线x＝－2对称 C.点(2,0)对称 D.直线x＝2对称 √ ∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x， f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex， 所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称. (2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是 A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1 √ 因为f(2－x)＋f(x)＝－2， 所以f(x)关于点(1，－1)对称， 所以将f(x)向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数. 例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象 A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3,0)对称 题型三 两个函数图象的对称 √ 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称. 思维升华 跟踪训练3　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象 A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.关于直线x＝1对称 D.关于直线y＝1对称 √ A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误； B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误； C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确； D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误. 课时精练 第 三部 分 1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点 A.(－1,2) B.(1,2) C.(－1，－2) D.(－2,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 基础保分练 函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2). 2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于 A.1 B.2 C.0 D.－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数y＝2|x|的图象关于y轴对称， 将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位可得函数y＝2|x－2|的图象， 所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 3.已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于 A.－1 B.1 C.0 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(－x)＝f(x＋2)， ∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是 A.f(x－1)－1 B.f(x＋1)＋1 C.f(x)－1 D.f(x)＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(－x)＋f(x)＝2， ∴f(x)的图象关于(0,1)对称， 将y＝f(x)的图象向下平移1个单位得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称， ∴y＝f(x)－1为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2) C.(e，e3) D.(e，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有 A.f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.f(x)在[0,1]上单调递增 C.f(x)在[1,2]上单调递减 D.f(2)＝f(0) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)， 则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数， 则有f(2)＝f(0)，故D正确； 若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数， 则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确； f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数， 则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数， 则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误. 7.与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y＝e2－x f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x， 即y＝e2－x. 8.(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝ __________________. ①f(x)是定义域为R的奇函数； ②f(1＋x)＝f(1－x)； ③f(1)＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2). (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数. 11.(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是 A.若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称 B.函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称 C.若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称 D.若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1 对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合提升练 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确； 对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确； 对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确. 12.已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， 又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位得到函数f(x)的图象， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|， 所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 拓展冲刺练 A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 再作出－y＝f(－x)，记为曲线C， 由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4， 所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4， 则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 由f(2＋log4x)>f(1－log4x)可得|2＋log4x－2|>|1－log4x－2|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.函数f(x)＝图象的对称中心为 因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)对称， 所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称. 根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称， 因为f(x)＝log2(3x－1)在上单调递增，所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.    y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称， 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称. 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3. 5.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为 2sin x(答案不唯一) 由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 9.已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； 又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数，  f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22， 所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为.  g(x)＝＝， (2)求函数g(x)＝图象的对称中心. 则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0,1). 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得 所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n. 13.已知函数f(x)＝则此函数图象上关于原点对称的点有 14.已知函数f(x)＝则满足f(2＋log4x)>f(1－log4x)的x的取值范围是 A. B. C.(0,2) D.(2，＋∞) 当x≤2时，f(x)＝x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4， 即|log4x|>|1＋log4x|，不等式|log4x|>|1＋log4x|两边平方得log4x<－，解得0<x<. $$