第二章 §2.2 函数的单调性与最值（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§2.2　函数的单调 性与最值 第二章　函　数 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 考试要求 内容索引 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 落实主干知识 第 一 部 分 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上是增函数 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 知识梳理 5 图象描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 知识梳理 6 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 知识梳理 7 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D 条件 ∀x∈D，都有___________ ∀x∈D，都有__________ 结论 f(x0)为f(x)的最大值 f(x0)为f(x)的最小值 2.函数的最值 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0) 知识梳理 8 1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 (<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数. 3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反. 4.复合函数的单调性：同增异减. 常用结论 9 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数.(　　) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3).(　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.(　　) × × × × 思考辨析 1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是 A.y＝x2－1 B.y＝x3 C.y＝2x D.y＝－x＋2 √ 教材改编题 √ 教材改编题 12 3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f  的x的取值范 围是________. 教材改编题 13 ∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， 教材改编题 14 探究核心题型 第 二部 分 题型一 确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是 A.y＝ex－e－x B.y＝|x2－2x| √ √ ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 对于选项C，y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 命题点2　利用定义证明函数的单调性 例2　试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性. 方法一　设－1<x1<x2<1， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法； (2)导数法； (3)图象法； (4)性质法. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为 √ (2)函数f(x)＝ 的单调递增区间是 A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1) C.(－∞，0) D.(0，＋∞) √ f(x)＝ 分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增， u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数单调性得到函数f(x)＝ 在(－∞，－1)上单调递增. 题型二 函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 例3　(2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b √ ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， ∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减， ∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增， 又f(x)＝ 在x∈(0，＋∞)上单调递增， ∴ ， ∴ ，即a<c<b. 命题点2　求函数的最值 y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减， ∴f(x)在[1,3]上单调递增， 命题点3　解函数不等式 f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3， (0,1) 解得0<a<1. 命题点4　求参数的取值范围 例6　已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值范 围是 √ (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 思维升华 √ 函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)在R上单调递增， 因为f(4)＝2， 所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)， [1,2) ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 课时精练 第 三部 分 1.下列函数在R上为增函数的是 A.y＝x2 B.y＝x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础保分练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误； y＝x在R上为增函数，故选项B正确； 2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为 A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[0,2] D.[0，＋∞) ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ A.(－∞，3] B.(2,3) C.(2,3] D.[3，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵x2≥0，∴x2＋1≥1， ∴f(x)∈(2,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c) C.f(a)>f(c)>f(b) D.f(c)>f(a)>f(b) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数， 所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0. 又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0， 所以f(x)在R上单调递增. 又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1， 即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.f(x)在R上为增函数 B.f(e)>f(2) C.若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D.当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2] √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确； 若f(x)在(a，a＋1)上单调递增， 则a≥0或a＋1≤0， 即a≤－1或a≥0，故C正确； 当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]， 当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]， 故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)＝x－ (a≠0)，下列说法正确的是 A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a>0时，f(x)的值域为R √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误； 又当x→－∞时，f(x)→－∞， 当x→0－时，f(x)→＋∞， ∴f(x)的值域为R，故D正确； 由其图象(图略)可知，B，C正确. 7.函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是__________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－∞，－3]，[0,3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]， 当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]， 8.已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4) _____________________________________________________. 由题意知， f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)， 则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增， 当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数图象如图所示. (2)写出函数f(x)的单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4). 10.已知函数f(x)＝a－ . (1)求f(0)的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x)在R上单调递增.证明如下： ∵f(x)的定义域为R， ∴任取x1，x2∈R且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ ， ∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2， ∴ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴ <0, ＋1>0, ＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在R上单调递增. 11.若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 A.(0，＋∞) B.(2，＋∞) C.(0,2] D.[2，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合提升练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增， 所以实数a的取值范围为[2，＋∞). 12.设函数f(x)＝x2 022－ ＋5，则f(x)的单调递增区间为__________，不等 式f(x－1)<5的解集为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (0,1)∪(1,2) (0，＋∞) 由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数. 当x>0时，f(x)＝x2 022－ ＋5，f(x)单调递增， 因此当x<0时，f(x)单调递减. 又因为f(1)＝f(－1)＝5， 所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有 >－1，则下列说法正确的是 A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 拓展冲刺练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数. 14.(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则 A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5<lg 10＝1，c＝log126<log1212＝1， ∴a>b，a>c， 显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵0<log25<log26， ∴f(log25)<f(log26)，即lg 5<log126， ∴a>c>b. (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) ∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.  y＝＝＝＋1， ∵y＝＋1在[3,4]上单调递减， 2.y＝在[3,4]上的最大值为 A.2 B. C. D.4 则x的取值范围为. ∴2x－1≥0，即x≥， ∴2x－1<，即x<， C.y＝2x＋2cos x  D.y＝ y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确.    f(x)＝a＝a，  f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 方法二　f′(x)＝＝＝－. A. B. C.[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) g(x)＝x·|x－1|＋1＝ 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. f(ln ) 又0<ln <1，∴ ， ∴f(x)max＝f(3)＝－0＝. 例4　函数f(x)＝－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________.  y＝＝x－在[1,3]上单调递增， 由f(x)＝x－log2(x＋2)知， 例5　已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________. 由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，∴ A. B. C.(0,1) D.(0,1] 因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0<a≤， 所以实数a的取值范围为. 跟踪训练2　(1)(2023·兰州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是 A. B. C. D. 故2x－1<4，即x<. ∴⇒1≤a<2. (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为______. f(x)＝＝＝1＋， C.y＝－ D.y＝ y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误. ∵y＝|x－2|＝ 3.若函数f(x)＝，则f(x)的值域为 f(x)＝＝2＋， ∴0<≤1， 4.(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有 5.(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是 当a>0时，f(x)＝x－， 当a＝－4时，f(x)＝x＋， 由题意得函数f(x)＝ 综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]. (答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) f(x)＝x|x－4|＝ f(0)＝a－＝a－1. 且∀x>1，ax－2>0，因此解得a≥2， ∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2， ∵lg 5＝＝，log126＝＝， ∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)， $$