第二章 §2.1 函数的概念及其表示（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§2.1　函数的概念及其表示 第二章　函　数 1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 考试要求 内容索引 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 落实主干知识 第 一 部 分 1.函数的概念 给定两个非空_______A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中________ ____，在集合B中都有_________的实数y与x对应，则称___为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：_______、__________、_____. (2)如果两个函数表达式表示的函数_______相同，_________也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 实数集 每一个实 数x 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 唯一确定 f 知识梳理 5 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有_______、图象法和_______. 4.分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 解析法 列表法 知识梳理 6 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 常用结论 7 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数. (　　) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.(　　) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数.(　　) √ × × × 思考辨析 1.(多选)下列所给图象是函数图象的是 A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象； B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象； CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象. √ √ 教材改编题 √ 教材改编题 10 y＝x－1的定义域为R，y＝ 的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确； 教材改编题 11 教材改编题 12 √ 教材改编题 13 探究核心题型 第 二部 分 例1　(1)函数y＝ 的定义域为 A.(－4，－1) B.(－4,1) C.(－1,1) D.(－1,1] 题型一 函数的定义域 √ (2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋ 的定义域为____________. [－2，－1) ∵f(x)的定义域为(－4，－2)， ∴函数g(x)的定义域为[－2，－1). (1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 思维升华 思维升华 A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3] C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3) 所以1<x<2或2<x≤3， 所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]. √ 跟踪训练1　(1)函数f(x)＝ √ 即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1， 所以函数f(x)的定义域为(－1,1). 例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； 题型二 函数的解析式 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]. ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式. ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x， ① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x， ② 由①②解得f(x)＝3x. (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 函数解析式的求法 (1)配凑法； (2)待定系数法； (3)换元法； (4)解方程组法. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是 A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7 C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10 √ f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1， 则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， 故f(x)＝x2＋6x. (3)已知函数f(x)满足f(x)＋ ＝3x，则f(2)等于 A.－3 B.3 C.－1 D.1 √ 题型三 分段函数 所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)， 又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1. 例3　(1)已知函数f(x)＝ 则f(2 024)的值为 A.－1 B.0 C.1 D.2 √ －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞) 若f(a)＝4， 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2， 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 思维升华 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝ 若f(f(a))＝2，则a等于 A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－1 √ 令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1. _____________. 当x≤0时，x＋1≤1， 当0<x≤1时，x＋1>1， 此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0， ∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，x＋1>2， f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立. 课时精练 第 三部 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础保分练 A.(2，＋∞) B.(2,3) C.(3，＋∞) D.(2,3)∪(3，＋∞) ∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞). √ 2.(2023·北京模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是 A.y＝x＋1 B.y＝ex C.y＝x2 D.y＝|x| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当x＝－1时，由y＝x＋1得y＝0，但0∉B，故A错误； 对于B，因为从A＝{x|－2<x≤1}中任取一个元素，通过y＝ex在B＝{x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确； 对于C，当x＝0时，由y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误； 对于D，当x＝0时，由y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误. 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 令x3＝10，则x＝ ， ∴f(10)＝lg  ＝ . 4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 水壶的结构：底端与上端细、中间粗， 所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快， 由图可知选项A符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]， 所以当x>2时，函数f(x)＝6＋logax的值域为(－∞，4]的子集， 当a>1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递增， 此时f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合题意， 当0<a<1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递减， 此时f(x)<f(2)＝6＋loga2≤4，即loga2≤－2， 7.(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.y＝－x＋1 B. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对A，函数的定义域和值域都是R； 对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R； 对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R； 所以ABD是定义域和值域相同的函数. 8.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有 A.f(x2)＝|x| B.f(x2)＝x C.f(cos x)＝x D.f(ex)＝x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知f( )＝x－1，则f(x)＝___________. x2－1(x≥0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得－1≤x≤0， 所以函数g(x)的定义域是[－1,0]. 11.已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为__________. [－1,0] 12.已知f(x)＝ 若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若 f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是_____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1或－3 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1； 当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍). 综上，a＝1或－3. ②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1. 13.(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合提升练 √ ∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1， ∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1， ① 当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2， ② ②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数f(x)的图象，如图所示. 因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2， 15.∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是 A.(－2,2) B.(－2,0)∪(0,2) C.[－2,2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1， 当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1， 若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1， 当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2， 综上，－2<n<0或0<n<2. 16.(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函 数F(x)＝ 被称为狄利克雷函数.关于狄利克雷函数，下列 说法正确的是 A.F(F(x))＝0 B.对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立 C.任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立 D.存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等 边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误； 因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确； 若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)函数f(x)＝的定义域为R.(　　) 2.下列各组函数表示同一个函数的是 A.y＝x－1与y＝ B.y＝x－1与y＝－ C.y＝2与y＝2x D.y＝与v＝ y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确； y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确； y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确. 所以f ＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝. 由题意可知，f ＝ln ＝－ln 3， 3.已知函数f(x)＝则函数f 等于 A.3 B.－3 C. D.－ 由题意得解得－1<x<1，故定义域为(－1,1). 要使g(x)＝f(x－1)＋有意义， 则解得－2≤x<－1， ＋的定义域为 由题意知 (2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是 A.{x|x>2或x<0} B. C.{x|x>2} D. 所以函数g(x)的定义域为. 要使f(x)＝lg 有意义，则>0， 要使g(x)＝f(x－1)＋有意义， 则解得≤x<2， (2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式； (配凑法)∵f ＝x2＋＝2－2， ∴解得 (2)若f ＝，则f(x)＝____________________. (x≠0且x≠1) f(x)＝＝(x≠0且x≠1). 联立①②解得f(x)＝－－x，则f(2)＝－－2＝－3. 2f   f(x)＋2f ＝3x， ① 则f ＋2f(x)＝－， ② 因为f(x)＝ (2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是_____________________. 则或 则或 (2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为 f(x)<f(x＋1)等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－<x≤0； 综上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. ∵f(x)＝lg(x－2)＋， 1.函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是 ∴解得x>2，且x≠3， 3.已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为 A.1 B. C. D. 5.函数y＝1＋x－的值域为 A. B. C. D. 设＝t，则t≥0，x＝， 所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2， 因为t≥0，所以y≤. 所以函数y＝1＋x－的值域为. 6.已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是 A. B. C.(1，] D.(1，) 所以a2≥，可得≤a<1，所以实数a的取值范围是. C.y＝ln|x| D.y＝ 对D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪ (2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±|＝，故A符合函数定义； 令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数定义； 设t＝cos x，当t＝时，x可以取±等无数多个值，故C不符合函数定义； 由已知得f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝cos＝. 9.已知函数f(x)＝则f ＝________. 令t＝，则t≥0，x＝t2， 由条件可知，函数的定义域需满足 [－，－1] 由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1. A.－1 B.1 C.－ D. 14.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于 A.2 B. C.1 D.0 所以即－2<a≤3， 此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝， 所以a＝，即a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，则f(a)＝. D.(－，) 所以M(x)＝ 取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以 A，B(0,1)，C ，恰好△ABC为等边三角形，故D正确. $$