第一章 §1.2 常用逻辑用语（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§1.2　常用逻辑用语 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、 性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 考试要求 内容索引 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 落实主干知识 第 一 部 分 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q⇏p p是q的 条件 p⇏q且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 p⇏q且q⇏p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 知识梳理 5 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“___”表示． (2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“____”表示． ∀ ∃ 知识梳理 6 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ____________ ____________ 否定 ∃x∈M，綈p(x) ______________ ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 知识梳理 7 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}. (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 3.命题p与p的否定的真假性相反. 常用结论 8 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.(　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　) (3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) √ √ √ × 思考辨析 1.命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是 A.∃x∈R，ex－1≥x B.∀x∈R，ex－1≤x C.∃x∈R，ex－1<x D.∀x∈R，ex－1<x √ 由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”. 教材改编题 2.(多选)下列命题中为真命题的是 A.∀x∈R，x2>0 B.∀x∈R，－1≤sin x≤1 C.∃x∈R，2x<0 D.∃x∈R，tan x＝2 √ √ 当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误； 当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确； 因为2x>0，所以C选项错误； 因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确. 教材改编题 11 3.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________. (3，＋∞) 因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件， 所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集， 由图可知m>3. 教材改编题 12 探究核心题型 第 二部 分 例1　(1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“ >1”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 题型一 充分、必要条件的判定 (2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 √ 当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N＋)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N＋)，不存在.所以甲是乙的必要条件. 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　(1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|， 所以cos〈a，b〉＝1， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝0， 所以a与b共线， 当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π， 所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|， 所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件. (2)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是 A. B.a2>b2 C.ln a>ln b D.2a>2b √ √ ln a>ln b⇔a>b>0，C符合题意； B，D选项中a，b均有可能为负数，B，D不符合题意. 例2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}. (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型二 充分、必要条件的应用 (1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}. 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 思维升华 跟踪训练2　(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}. (1)若m＝2，求集合A∩B； 由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0， 得x2－4x＋3<0，解得1<x<3， 所以B＝{x|1<x<3}， 又A＝{x|－2<x≤3}， 所以A∩B＝{x|1<x<3}. (2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0， 所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}. 由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集， 所以m的取值范围为[－1,2]. 命题点1　含量词命题的否定 例3　(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是 A.∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解 B.∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解 C.∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解 D.∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解 题型三 全称量词与存在量词 √ 因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”. 命题点2　含量词命题真假的判断 例4　(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是 A.∃x∈R， ≤1 B.对于∀x∈R，n∈N*且n>1，都有 ＝x C.∀x∈R，ln(x－1)2≥0 D.∃x∈R，ln x≥x－1 √ √ 当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题； 当x＝1时，ln x≥x－1，故D项是真命题. 命题点3　含量词命题的应用 √ 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 思维升华 跟踪训练3　(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为 A.∀n∈N，n2≥2n＋5 B.∃n∈N，n2≤2n＋5 C.∀n∈N，n2<2n＋5 D.∃n∈N，n2＝2n＋5 √ 由存在量词命题的否定可知，綈p为∀n∈N，n2<2n＋5. 所以C正确，A，B，D错误. (2)(多选)下列命题是真命题的是 A.∀x∈R，－x2－1<0 B.∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 √ √ √ ∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题； 当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题； 任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题； 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， (3)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是_______________________. 命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题， 则命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题， 即Δ＝(a－1)2－4>0， 解得a>3或a<－1， 故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞). (－∞，－1)∪(3，＋∞) 课时精练 第 三部 分 1.(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础保分练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若x2>2 022，因为2 022>2 021，故x2>2 021， 故“x2>2 022”可以推出“x2>2 021”， 取x2＝2 021.5，则满足x2>2 021，但x2>2 022不成立， 所以“x2>2 021”不能推出“x2>2 022”， 所以“x2>2 021”是“x2>2 022”的必要不充分条件. 2.已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为 A.∀x∉Q，都有x∉N B.∃x∉Q，使得x∈N C.∀x∈Q，都有x∈N D.∃x∈Q，使得x∈N √ 因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以由p：∃x∈Q，使得x∉N， 得綈p：∀x∈Q，都有x∈N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是 A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 “∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题， 故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足； 当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足. 故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 √ 因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题， 所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列命题是真命题的是 A.所有的素数都是奇数 B.有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0 C.“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件 D.命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0” √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题； 对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0， 所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题； 由α＝β⇒sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件，所以C是真命题； 根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题. 7.(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是 √ √ 由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”. 根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件； 当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为“sin x<cos x”的否定是“sin x≥cos x”， 10.使得“2x>4x”成立的一个充分条件是___________________. x<－1(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x， 解得x<0， 使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可. 11.已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是_______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，－4]∪[6，＋∞) 若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}， 使得m＝2x成立，则－4<m<6； 故若原命题为假命题， 则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞). 12.已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则 实数m的取值范围是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}， 若α是β的必要条件，则B⊆A， 13.(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是 A.(－∞，－5) B.(－3，－1] C.(3，＋∞) D.[0,3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合提升练 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵∃x∈M，x>3为假命题， ∴∀x∈M，x≤3为真命题， 可得M⊆(－∞，3]， 又∀x∈M，|x|>x为真命题， 可得M⊆(－∞，0)， ∴M⊆(－∞，0). 14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假.若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙. 15.(2022·九江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立； 若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k， 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B. 设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)， 则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0,1]， ∴f′(x)≥0， ∴f(x)在(0，π)上单调递增， ∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cos B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题.(　　) 由a>b>0，得>1，反之不成立， 如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0， 故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件. 0<< 由题设知4m－1＝1，可得m＝，故f(x)＝， 所以，要使f(a)>f(b)，则>，即a>b≥0. 0<<⇔a>b>0，A符合题意； (2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以 解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1). 所以⇒－1≤m≤2(两端等号不会同时取得)，   当x≥0时，0<≤1，故A项是真命题； 当n为偶数，且x<0时，＝－x ，故B项是假命题； 例5　若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为 A.　　　B.－　　　C.　　　D.－ 所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin＝－sin ＝－， 所以m≤－，所以实数m的最大值为－. 因为“∃x∈，sin x<m”是假命题， 所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题， 即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min， 因为y＝sin x在上单调递增， D.存在实数x，使得＝ 所以≤<，故D项是假命题. A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.3 所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋， 当x∈(0,2)时，由均值不等式可得2x＋≥2＝2， 当且仅当x＝时，等号成立，所以λ≤2. 9.命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是_______________________. ∃x∈，sin x≥cos x 所以“∀x∈，sin x<cos x”的否定是“∃x∈，sin x≥cos x”， 当2m－1>－m，即m>时，此时A＝R，B⊆A成立； 当2m－1≤－m，即m≤时，若B⊆A，此时无解. 综上，m>. 有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或. 当k＝时，an＋1＝an＋，此时an＝1，充分性不成立. $$