第三章 §3.2 导数与函数的单调性（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教A版（强基版）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀苏晋皖黑吉云贵桂新豫浙）

第三章　一元函数的导数及其应用 §3.2　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次). 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用. 考试要求 内容索引 第一部分 第二部分 第三部分 落实主干知识 探究核心题型 课时精练 落实主干知识 第 一 部 分 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________ 单调递增 单调递减 常数函数 知识梳理 5 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 ； 第2步，求出导数f′(x)的 ； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 知识梳理 6 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解. 常用结论 7 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性. (　　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增. (　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　) √ √ × √ 思考辨析 1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 √ 教材改编题 由f′(x)的图象知， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增； 当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减； 当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增. 教材改编题 2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 A.(0,1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－1,1) √ 令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)， ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 教材改编题 11 教材改编题 12 探究核心题型 第 二部 分 题型一 不含参函数的单调性 f(x)的定义域为(0，＋∞)， (0,1) f(x)的定义域为(0，＋∞)， φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1). 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 思维升华 思维升华 令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex， 可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以g(x)<g(0)＝－1<0. 所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 例2　已知函数f(x)＝aex－x，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 题型二 含参数的函数的单调性 因为a＝1， 所以f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1， 所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x. (2)试讨论函数f(x)的单调性. 因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a， 当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增， 综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时， f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增. (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 思维升华 跟踪训练2　(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R，讨论f(x)的单调区间. 函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R， 求导得f′(x)＝ex－a， 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)＝ex－a<0，解得x<ln a， 即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞). 命题点1　比较大小或解不等式 例3　(1)(多选)下列不等式成立的是 题型三 函数单调性的应用 √ √ 所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减. 因为e<4<5， 所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5， 故选项C不正确； 因为e<π， 所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确. (2)函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)>0的解集是 A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(0，π) D.(－π，0) √ 对函数f(x)求导得f′(x)＝ex＋e－x＋cos x， 因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增， 又因为f(0)＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f(x)>0的解集为(0，＋∞). 命题点2　根据函数的单调性求参数 例4　已知函数f(x)＝ln x－ ax2－2x(a≠0). (1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围； 因为f(x)在[1,4]上单调递减， (2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间， 所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞). 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立. (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集. 思维升华 跟踪训练3　(1)设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为 √ 根据题意，当x≥0时，f(x)＝ex－cos x， 此时有f′(x)＝ex＋sin x>0，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数. f(2x－1)＋f(x－2)>0⇒f(2x－1)>－f(x－2)⇒f(2x－1)>f(2－x)⇒2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集为(1，＋∞). (2)已知函数f(x)＝－ x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是______. [0,1) 当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1， ∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2)⊆(0，＋∞)， 课时精练 第 三部 分 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1＋ln x， 2.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则y＝f(x)函数的图象可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x∈(0,2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 所以只有D选项符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(1，e)上单调递增，则a的取值范围是 A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.[3，e2＋1] D.(－∞，e2＋1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 所以g(x)在(1，e)上单调递增，又g(1)＝3，所以a≤3. 即a的取值范围是(－∞，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足 <0，当m<0时，下列关系中一定成立的是 A.f(2)>f(3) B.f(4)<f(3) C.f(2)＋f(4)<2f(3) D.f(2)＋f(4)>2f(3) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又m<0，则(x－3)f′(x)>0， 当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x<3时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以f(2)>f(3)，f(4)>f(3)， 所以f(2)＋f(4)>2f(3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有 >0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F 函数”的是 A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2 C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x √ √ √ 依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数. 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x， 故D中函数不是“F函数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－∞，0)∪(4，＋∞) 由函数f(x)存在三个单调区间，可得f′(x)有两个不相等的实数根， 则满足Δ＝a2－4a>0，解得a<0或a>4， 即实数a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； 当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，没有单调递减区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得a＝1. 10.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R. (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围. f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，若f(x)在(－1,1)上单调递增， 即当－1<x<1时，f′(x)≥0， 即－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是 A.f(ln 2)＝ B.f(x)是奇函数 C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D.f(x)的最小值为ln 2 综合提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0) 上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知函数f(x)＝ －2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则 实数a的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知函数f(x)＝ex－e－x＋ ＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b) ＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是 A.2a＋b<－1 B.2a＋b>－1 C.4a＋b<1 D.4a＋b>1 √ f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0， ∴g(x)是增函数， ∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(3a＋b)<－g(a－1)＝g(1－a)， 则3a＋b<1－a，即4a＋b<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2023·蚌埠模拟)若x1· ＝x2·log2x2＝2 024，则x1x2的值为________. 2 024 因为x1· ＝x2·log2x2＝2 024， 所以 log2 ＝x2·log2x2＝2 024， 则 >1，x1>0，x2>1， 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以 ＝x2， 所以x1x2＝x1· ＝2 024. ∵f′(x)＝2x－＝(x>0)， 3.已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为_____________. (用“<”连接)  f <f(1)<f  因为f(x)＝xsin x，当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数  f(x)在上单调递增，又因为0<<1<<，所以f <f(1)<f . 当x∈时，f′(x)<0， 当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为. 例1　(1)函数f(x)＝＋＋x的单调递减区间为________.  f′(x)＝－＋1＝， (2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________.  f′(x)＝， 令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，  φ′(x)＝－－<0， 跟踪训练1　已知函数f(x)＝x－ln x－.判断函数f(x)的单调性. 因为f(x)＝x－ln x－， 所以f′(x)＝1－－＝(x>0). A.2ln <ln 2 B.ln <ln  C.5ln 4<4ln 5 D.π>eln π 所以f <f(2)， 即2ln <ln 2，故选项A正确； 设f(x)＝(x>0)， 则f′(x)＝， 因为<2<e， 因为<<e， 所以f()<f()， 即ln >ln ，故选项B不正确； 因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以  f′(x)>0， 所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1， 因为x∈[1,4]，所以∈， 所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立. 设G(x)＝－，x∈[1,4]， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－， 又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞). 则f′(x)<0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a>－有解， 又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)， A.(－∞，1) B. C. D.(1，＋∞) 由题意，f′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)， ∴解得t∈[0,1). A. B. C. D.(e，＋∞) 令f′(x)<0，得0<x<， 所以f(x)的单调递减区间为. 3.(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f ，c＝ ，则 A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 所以f >f >f ，故c>a>b. 由f(x)＝ln x， 得f′(x)＝ln x＋， 因为c＝f ，0<<<<1， 则g′(x)＝2－＝>0， 依题意f′(x)＝2x－a＋≥0在区间(1，e)上恒成立， 即a≤2x＋在区间(1，e)上恒成立， 令g(x)＝2x＋(1<x<e)， 由<0，得m(x－3)f′(x)<0，   当x∈时，g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 当x∈时，g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 当x∈时，e－x>0，sin<0，则f′(x)>0， ∴f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.  f′(x)＝－e－xcos x－e－xsin x＝－e－x(cos x＋sin x)＝－e－xsin， 当x∈时，e－x>0，sin>0，则f′(x)<0； 8.已知函数f(x)＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是_____________________. 由函数f(x)＝＋＋ax＋1，可得f′(x)＝x2＋ax＋a， 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＝3x， 当a>0时，令f′(x)>0可得x∈∪(0，＋∞)，令f′(x)<0可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为； 当a<0时，令f′(x)>0，可得x∈(－∞，0)∪，令f′(x)<0，可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为. (2)若函数f(x)的单调递减区间是，求a的值. 由题意知，a>0，由(1)知，当a>0时，有＝， 所以－＝－， 令f′(x)>0，即x2－2<0，解得－<x<， ∴f(x)的单调递增区间是(－，). 即a≥x＋1－对x∈(－1,1)恒成立， 令y＝x＋1－，则y′＝1＋>0， ∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增， ∴y<1＋1－＝， ∴a≥， ∴a的取值范围是. ln   f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln 5－ln 2＝ln ，A正确；  f′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确； <a<1 令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增， 所以≥h(2)或≤h(1)，  f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数， 即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立， 即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立. 即≥或≤3， 又a>0，所以0<a≤或a≥1. 因为f(x)在[1,2]上不单调，故<a<1. sin x 设g(x)＝ex－e－x＋sin x，则g(x)＝f(x)－1， ∵g(－x)＝e－x－ex－sin x＝－g(x)，∴函数g(x)是奇函数， ∵g′(x)＝ex＋e－x＋cos x≥2＋cos x＝2＋cos x>0， 设f(x)＝xlog2x(x>1)，则f′(x)＝log2x＋>0， $$