18.2.2 菱形（第2课时 菱形的判定）（分层作业）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂(人教版)

18.2.2菱形（第2课时 菱形的判定）（分层作业） 基础训练 1．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AD∥BC 2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 4．如图，以O为圆心，OA长为半径画弧分别交OM、ON于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（　　） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（　　） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件 　 　，使四边形ABCD是菱形． 7．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示．请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 　 　． 8．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．求证：四边形ABOE是菱形． 能力提升 11．小明用四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC、BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC＝BD B．AB＝CD C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90° 13．如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB＝AC B．AE＝CE C．CD⊥AB D．CD平分∠ACB 14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有 　 ．（只填写序号） 15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，请你添加一个条件 　 　，使四边形BECF是菱形． 16．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，，∠B＝45°，点M，N分别以A，C为起点，以1cm/秒的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t秒（0≤t≤6），连接AN，CM，当t＝　　时，四边形AMCN为菱形； 17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 18．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形． 20．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F使得EF＝OE，连接FD，FC，FC交BD于点G． （1）判断四边形FOCD的形状，并说明理由． （2）当AB与AC的数量关系满足 　 　时，四边形FOCD是菱形．请说明理由． 拔高拓展 21．课本再现：探究：如图1，将两个30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间数量关系吗？ 定理证明：（1）如图2．已知Rt△ABD和Rt△ACD关于AD对称，∠BAD＝30°，∠ADB＝90°，求证：BD＝0.5AB． 知识应用：（2）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形． 22．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.2菱形（第2课时 菱形的判定）（分层作业） 基础训练 1．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AD∥BC 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，但不一定是菱形， 故A不符合题意； ∵平行四边形的两组对边分别相等， ∴AB＝DC，但由AB＝DC不能证明四边形ABCD是菱形， 故B不符合题意； ∴四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 故C符合题意； ∵平行四边形的两组对边分别平行， ∴AD∥BC，但由AD∥BC不能证明四边形ABCD是菱形， 故D不符合题意， 故选：C． 【小结】此题重点考查菱形的判定，正确理解与运用菱形的判定定理，根据所给的条件证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、32+42＝52，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，四边形的对角线又互相平分，判定是四边形是菱形，故A不符合题意； B、四边形的四条边相等，判定四边形是菱形，故B不符合题意； C、四边形的对角线互相平分，只能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是菱形，故C符合题意； D、由同旁内角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又相等，判定四边形是菱形，故D不符合题意． 故选：C． 【小结】本题考查菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【小结】本题主要考查了矩形的判定定理和菱形的判定定理，熟知矩形和菱形的判定定理是解题的关键． 4．如图，以O为圆心，OA长为半径画弧分别交OM、ON于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（　　） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【解答】解：由题意可得：OA＝OB＝AC＝BC， 则四边形ABCD是菱形． 故选：B． 【小结】此题主要考查了基本作图以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定方法是解题关键． 5．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（　　） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【解答】解：由“甲测量出两组对边分别相等”推知该地板砖是平行四边形， 则当一组邻边相等时，该平行四边形的地板砖是菱形， 则根据菱形的性质知：乙测量出一组邻边相等， 故选：B． 【小结】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握判定定理即可． 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件 　AC⊥BD（答案不唯一）　，使四边形ABCD是菱形． 【解答】解：∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 【小结】此题考查菱形的判定，关键是根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答． 7．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示．请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 　四条边相等（答案不唯一）　． 【解答】解：∵四条边相等的四边形是菱形， ∴该条件可以是四条边相等， 故答案为：四条边相等（答案不唯一）． 【小结】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 8．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OAAC＝12，OBBD＝5， ∵OA2+OB2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 【小结】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质和勾股定理的逆定理．熟练掌握菱形的判定和勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．求证：四边形ABOE是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝ODBD，BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴AB＝OB， ∵AE∥BD，OE∥AB， ∴四边形ABOE是平行四边形， ∵AB＝OB， ∴平行四边形ABOE是菱形． 【小结】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 能力提升 11．小明用四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中， 第一个与第三个四边形的四条边都相等， ∴第一个与第三个图形是菱形， 如图， 由四个全等的含30°角的直角三角板拼成的四边形， ∴AD＝BC＝EF，CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ADF＝∠FEB＝30°，∠AFD＝∠FBE＝90°， ∴，， ∴， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； 故选：D． 【小结】本题考查的是菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 12．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC、BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC＝BD B．AB＝CD C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90° 【解答】解：∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点， ∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF， ∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， ∴EN＝FMAB，FN＝EMCD， ∴四边形EMFN为平行四边形， 当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形， 故选：B． 【小结】本题考查的是三角形中位线定理、菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理、菱形判定定理是解题的关键． 13．如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB＝AC B．AE＝CE C．CD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解答】解：当CD平分∠ACB时，四边形DECF是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE＝EC， ∴四边形DECF是菱形． 其余选项均无法判断四边形DECF是菱形， 故选：D． 【小结】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有 　①③　．（只填写序号） 【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确； ∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是矩形，故②错误； ∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形，故③正确； ∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形， 不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误； 故答案为：①③． 【小结】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答． 15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，请你添加一个条件 　AB＝AC　，使四边形BECF是菱形． 【解答】解：添加一个条件是AB＝AC， 理由是：∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴EF⊥BC，BD＝DC， ∵DE＝DF， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵EF⊥BC， ∴四边形BECF是菱形， 【小结】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能熟记菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键． 16．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，，∠B＝45°，点M，N分别以A，C为起点，以1cm/秒的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t秒（0≤t≤6），连接AN，CM，当t＝　　时，四边形AMCN为菱形； 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3cm， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AEAB33（cm）， ∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）， ∴AM＝CN＝t cm， ∵AM∥CN， ∴四边形AMCN为平行四边形， ∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形， ∵BE＝AE＝3cm，EN＝（6﹣t）cm， ∴AN2＝32+（6﹣t）2， ∴32+（6﹣t）2＝t2， 解得：t， ∴当t时，四边形AMCN为菱形， 故答案为：． 【小结】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）． （2）解：平行四边形ABCD是菱形， 理由：由（1）得△ABE≌△ADF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【小结】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的定义等知识，推导出∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD，进而证明△ABE≌△ADF是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 【解答】（1）证明：∵CM∥BN， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∴四边形BMCN是平行四边形． （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下： 由（1）可知，四边形BMCN是平行四边形， ∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AN⊥BC， ∴平行四边形BMCN是菱形． 【小结】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形． 【解答】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）在▱ABCD中，∵AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形． 【小结】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 20．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F使得EF＝OE，连接FD，FC，FC交BD于点G． （1）判断四边形FOCD的形状，并说明理由． （2）当AB与AC的数量关系满足 　ABAC　时，四边形FOCD是菱形．请说明理由． 【解答】解：（1）四边形FOCD是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，AB∥CD， ∵E是AD中点， ∴OE是△ACD的中位线， ∴OE∥CD，CD＝2OE， ∵EF＝OE， ∴OF＝2OE， ∴CD＝OF， ∵OF∥CD， ∴四边形FOCD是平行四边形； （2）当ABAC 时，四边形FOCD是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OCAC，CD＝AB， ∵ABAC， ∴OC＝AB， ∴OC＝CD， ∵四边形FOCD是平行四边形， ∴四边形FOCD是菱形． 故答案为：ABAC． 【小结】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，关键是由三角形中位线定理得到OE∥CD，CD＝2OE，由平行四边形的性质推出OC＝CD． 拔高拓展 21．课本再现：探究：如图1，将两个30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间数量关系吗？ 定理证明：（1）如图2．已知Rt△ABD和Rt△ACD关于AD对称，∠BAD＝30°，∠ADB＝90°，求证：BD＝0.5AB． 知识应用：（2）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形． 【解答】（1）证明：∵Rt△ABD和Rt△ADC关于AD对称， ∴AB＝AC，BD＝CD，∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC+∠ADB＝180°， ∴B、D、C三点在同一条直线上， ∴BD＝CD＝0.5BC， ∵∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CBD＝30°， ∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB， ∴BD＝0.5AB． （2）证明：∵AE∥CD，AC∥ED， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝ADAB， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAD＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AC＝CD， ∴四边形ACDE是菱形． 【小结】此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，证明△ABC是等边三角形及△ADC是等边三角形是解题的关键． 22．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【解答】证明：（1）由题意得：AE＝2t，CD＝4t， ∵DF⊥BC， ∴∠CFD＝90°， ∵∠C＝30°， ∴DFCD4t＝2t， ∴AE＝DF； ∵DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠B＝90°， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形． （2）四边形AEFD能够成为菱形，理由是： 由（1）得：AE＝DF， ∵∠DFC＝∠B＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 若▱AEFD为菱形，则AE＝AD， ∵AC＝100，CD＝4t， ∴AD＝100﹣4t， ∴2t＝100﹣4t， ∴t， ∴当t时，四边形AEFD能够成为菱形． 【小结】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，也是运动型问题，难度不大，是常出题型；首先要表示出两个动点在时间t时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$